附录

公式与定理汇总

这里按部分列出全书的公式、性质和判定定理，每一条后面都链接回推导它的页面。 汇总只写结论，结论从哪里来、为什么成立、什么时候用，要回到原页去看。复习时，试着先不看原页，自己把每一条的来由说出来。

第一部分：数学的语言与推理#

名称	内容	出处
基本事实 1	两点确定一条直线	第一部分“基本事实”
基本事实 2	两点之间，线段最短	第一部分“基本事实”
基本事实 3	同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直	第一部分“基本事实”
基本事实 4（平行公理）	过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行	第一部分“基本事实”
基本事实 5	两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行	第一部分“基本事实”
基本事实 6～8	两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（SAS）；两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（ASA）；三边分别相等的两个三角形全等（SSS）	第一部分“基本事实”
基本事实 9	两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例	第一部分“基本事实”
平行公理的推论	平行于同一条直线的两条直线互相平行	第一部分“基本事实”
逆命题	把命题的条件和结论互换得到逆命题；原命题是真命题，逆命题不一定是真命题	第一部分“定义、命题与定理”
反证法	假设结论不成立，推出矛盾，说明假设不成立，所以结论成立	第一部分“怎样证明”

第二部分：数#

名称	内容	出处
有理数	整数和分数统称有理数，都能写成（、是整数，）；也就是有限小数和无限循环小数	第二部分“有理数”
相反数	只有符号不同的两个数互为相反数，的相反数是；在数轴上关于原点对称	第二部分“有理数”
绝对值	数轴上表示的点与原点的距离；时，时，时	第二部分“有理数”
绝对值的性质	；	第二部分“有理数”
大小比较	数轴上右边的点表示的数总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小	第二部分“有理数”
加法法则	同号相加，取相同的符号，绝对值相加；异号相加，取绝对值较大的数的符号，用较大的绝对值减去较小的绝对值；，	第二部分“有理数的运算”
减法法则		第二部分“有理数的运算”
数轴上两点的距离	表示、的两点之间的距离是	第二部分“有理数的运算”
乘法法则	同号得正，异号得负，绝对值相乘；任何数与 0 相乘得 0；几个不为 0 的数相乘，负因数有奇数个时积为负，有偶数个时积为正	第二部分“有理数的运算”
除法法则	（）；乘积是 1 的两个数互为倒数，0 没有倒数	第二部分“有理数的运算”
乘方的符号	正数的任何次幂是正数；负数的偶数次幂是正数，奇数次幂是负数；0 的任何正整数次幂是 0	第二部分“有理数的运算”
运算律	，，，，	第二部分“有理数的运算”
运算顺序	先乘方，再乘除，最后加减；同级运算从左到右；有括号先算括号里面的	第二部分“有理数的运算”
科学记数法	，；绝对值大于或等于 10 的数，等于整数位数减 1	第二部分“有理数的运算”
平方根	时，是的平方根；正数有两个平方根，0 的平方根是 0，负数没有平方根	第二部分“实数”
算术平方根	中，且；（）	第二部分“实数”
立方根	每个数有且只有一个立方根；	第二部分“实数”
无理数	无限不循环小数叫无理数；不是有理数	第二部分“实数”
实数与数轴	实数和数轴上的点一一对应	第二部分“实数”
估算	对正数，与同时成立，用平方夹紧	第二部分“实数”

第三部分：式#

名称	内容	出处
单项式的次数	所有字母的指数的和	第三部分“整式的加减”
合并同类项	系数相加，字母和字母的指数不变：	第三部分“整式的加减”
去括号	，；括号前的数乘括号里的每一项	第三部分“整式的加减”
同底数幂相乘		第三部分“整式的乘法”
幂的乘方		第三部分“整式的乘法”
积的乘方		第三部分“整式的乘法”
同底数幂相除	（）	第三部分“整式的乘法”
零指数幂	（）	第三部分“整式的乘法”
负整数指数幂	（，是正整数）	第三部分“分式”
单项式乘多项式		第三部分“整式的乘法”
多项式乘多项式		第三部分“整式的乘法”
平方差公式		第三部分“整式的乘法”
完全平方公式	，	第三部分“整式的乘法”
多项式除以单项式		第三部分“整式的乘法”
立方展开（拓展）	；的系数排成杨辉三角	第三部分“整式的乘法”
提公因式法		第三部分“因式分解”
公式法	；	第三部分“因式分解”
十字相乘（拓展）		第三部分“因式分解”
分式有意义、值为 0	有意义：；值为 0：且	第三部分“分式”
分式的基本性质	（）	第三部分“分式”
分式的符号	；	第三部分“分式”
分式的乘除和乘方	；；	第三部分“分式”
分式的加减	；异分母先通分	第三部分“分式”
科学记数法（小数）	绝对值小于 1 的数写成，	第三部分“分式”
二次根式的性质	（）；	第三部分“二次根式”
二次根式的乘除	（，）；（，）	第三部分“二次根式”
最简二次根式	被开方数不含分母，不含能开得尽方的因数或因式	第三部分“二次根式”
二次根式的加减	化成最简二次根式后，被开方数相同的合并：	第三部分“二次根式”

第四部分：方程与不等式#

名称	内容	出处
等式的性质 1	如果，那么	第四部分“一元一次方程”
等式的性质 2	如果，那么；如果，，那么	第四部分“一元一次方程”
等量代换	如果，，那么	第四部分“一元一次方程”
一元一次方程	总能整理成（）；步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1	第四部分“一元一次方程”
消元的依据	代入消元：等量代换；加减消元：如果，，那么	第四部分“二元一次方程组”
方程组解的情况	两条直线相交：唯一解；平行：无解；重合：无数个解	第四部分“二元一次方程组”
比较大小		第四部分“不等式与不等式组”
不等式的性质 1	两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变	第四部分“不等式与不等式组”
不等式的性质 2	两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变	第四部分“不等式与不等式组”
不等式的性质 3	两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变	第四部分“不等式与不等式组”
传递性	如果，，那么	第四部分“不等式与不等式组”
不等式组的解集	设：，的解集是；，的解集是；，的解集是；，无解	第四部分“不等式与不等式组”
分式方程的检验	两边乘最简公分母化成整式方程；解出的值使最简公分母为 0 时是增根，要舍去	第四部分“分式方程”
一元二次方程的一般形式	（）	第四部分“一元二次方程”
直接开平方	（）时，	第四部分“一元二次方程”
配方	：加上一次项系数一半的平方	第四部分“一元二次方程”
求根公式	（）	第四部分“一元二次方程”
因式分解法	如果，那么或	第四部分“一元二次方程”
判别式	：时有两个不相等的实数根，时有两个相等的实数根，时没有实数根	第四部分“一元二次方程”
根与系数的关系	，	第四部分“一元二次方程”
黄金分割数（拓展）	的正根	第四部分“一元二次方程”

第五部分：图形与推理#

名称	内容	出处
两点间的距离	连接两点的线段的长度	第五部分“几何图形初步”
线段的中点	是的中点：	第五部分“几何图形初步”
角的平分线	平分：	第五部分“几何图形初步”
角的单位	周角，平角，直角；，	第五部分“几何图形初步”
余角和补角	的余角是，补角是；同角（或等角）的余角相等，同角（或等角）的补角相等	第五部分“几何图形初步”
对顶角	对顶角相等	第五部分“相交线与平行线”
垂线	同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；垂线段最短	第五部分“相交线与平行线”
点到直线的距离	直线外一点到这条直线的垂线段的长度	第五部分“相交线与平行线”
平行线的判定	同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行	第五部分“相交线与平行线”
平行线的性质	两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补	第五部分“相交线与平行线”
三边关系	三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边：	第五部分“三角形”
三角形的中线	中线把三角形分成面积相等的两部分；三条中线交于一点（重心）	第五部分“三角形”
三角形的稳定性	三条边的长度确定了，三角形的形状和大小就确定了	第五部分“三角形”
内角和	三角形的内角和等于；直角三角形的两个锐角互余	第五部分“三角形”
外角	三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，大于任何一个与它不相邻的内角	第五部分“三角形”
多边形的内角和	边形的内角和是；共有条对角线	第五部分“三角形”
多边形的外角和	等于；正边形每个外角是	第五部分“三角形”
全等三角形的性质	对应边相等，对应角相等	第五部分“全等三角形”
全等三角形的判定	SSS，SAS，ASA，AAS；直角三角形还有 HL（斜边和一条直角边分别相等）；SSA、AAA 不能判定	第五部分“全等三角形”
角平分线的性质	角平分线上的点到角两边的距离相等	第五部分“全等三角形”
角平分线的判定	角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上	第五部分“全等三角形”
轴对称的性质	对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；成轴对称的两个图形全等	第五部分“轴对称与等腰三角形”
线段垂直平分线的性质	垂直平分线上的点到线段两端的距离相等	第五部分“轴对称与等腰三角形”
线段垂直平分线的判定	到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上	第五部分“轴对称与等腰三角形”
三边垂直平分线	三角形三条边的垂直平分线交于一点，这一点到三个顶点的距离相等	第五部分“轴对称与等腰三角形”
等腰三角形的性质	两个底角相等；顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合	第五部分“轴对称与等腰三角形”
等腰三角形的判定	有两个角相等的三角形，这两个角所对的边相等	第五部分“轴对称与等腰三角形”
等边三角形	三个内角都等于；三个角都相等的三角形、有一个角是的等腰三角形是等边三角形	第五部分“轴对称与等腰三角形”
含 30° 角的直角三角形	角所对的直角边等于斜边的一半	第五部分“轴对称与等腰三角形”
大边对大角（拓展）	在一个三角形中，较大的边所对的角也较大	第五部分“轴对称与等腰三角形”
勾股定理	直角三角形两直角边为、，斜边为，则	第五部分“勾股定理”
勾股定理的逆定理	三角形三边满足，则它是直角三角形，边所对的角是直角	第五部分“勾股定理”
勾股数	能成为直角三角形三边长的三个正整数，如 3、4、5，5、12、13	第五部分“勾股定理”
平行四边形的性质	两组对边分别平行且相等；两组对角分别相等，邻角互补；对角线互相平分；是中心对称图形	第五部分“四边形”
平行四边形的判定	两组对边分别平行；两组对边分别相等；一组对边平行且相等；两组对角分别相等；对角线互相平分	第五部分“四边形”
平行线间的距离	两条平行线之间的距离处处相等	第五部分“四边形”
三角形的中位线	平行于第三边，并且等于第三边的一半：，	第五部分“四边形”
矩形	性质：四个角都是直角，对角线相等；判定：有一个角是直角的平行四边形，有三个角是直角的四边形，对角线相等的平行四边形	第五部分“四边形”
直角三角形斜边上的中线	等于斜边的一半；反过来，一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形	第五部分“四边形”
菱形	性质：四条边都相等，对角线互相垂直且每条对角线平分一组对角；判定：有一组邻边相等的平行四边形，四条边都相等的四边形，对角线互相垂直的平行四边形	第五部分“四边形”
菱形的面积	等于两条对角线乘积的一半：（、是两条对角线的长）	第五部分“四边形”
正方形	兼有矩形和菱形的全部性质；先证矩形再加一组邻边相等，或先证菱形再加一个直角	第五部分“四边形”
基本作图的依据	作一个角等于已知角、作角的平分线：SSS；作线段的垂直平分线、过一点作垂线：到线段两端距离相等的点在垂直平分线上	第五部分“尺规作图”

第六部分：坐标与图形的变化#

名称	内容	出处
点与坐标	坐标平面内的点和有序实数对一一对应	第六部分“平面直角坐标系”
象限	第一象限，第二象限，第三象限，第四象限；轴上的点纵坐标为 0，轴上的点横坐标为 0	第六部分“平面直角坐标系”
点到坐标轴的距离	点到轴的距离是，到轴的距离是	第六部分“平面直角坐标系”
平行于坐标轴的线段	、：；、：	第六部分“平面直角坐标系”
平移的性质	对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等；对应线段平行且相等；对应角相等	第六部分“平移、轴对称与旋转”
旋转的性质	对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角	第六部分“平移、轴对称与旋转”
中心对称的性质	对应点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心平分	第六部分“平移、轴对称与旋转”
正多边形的对称性	正边形有条对称轴；是偶数时才是中心对称图形	第六部分“平移、轴对称与旋转”
点的坐标变化	向右平移、向上平移：；关于轴对称：；关于轴对称：；关于原点对称：	第六部分“平移、轴对称与旋转”
两次翻折	沿互相垂直的两条直线各翻折一次，等于绕交点旋转	第六部分“平移、轴对称与旋转”
图象的平移	图象向右平移个单位，解析式中的换成；向上平移个单位，函数值加	第六部分“平移、轴对称与旋转”

第七部分：函数#

名称	内容	出处
函数	对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值和它对应	第七部分“函数”
自变量的取值范围	分母不能为 0；被开方数不能是负数；符合实际意义	第七部分“函数”
函数的图象	图象上每个点的坐标都满足解析式，满足解析式的点都在图象上	第七部分“函数”
一次函数	（），图象是直线，与轴交于；时是正比例函数	第七部分“一次函数”
一次函数的增减性	时随的增大而增大；时随的增大而减小；越大，直线越陡	第七部分“一次函数”
一次函数与方程、不等式	的解是直线与轴交点的横坐标；的解集是直线在轴上方的部分对应的的范围；方程组的解是两条直线的交点	第七部分“一次函数”
两条直线平行	相等，不等	第七部分“一次函数”
反比例函数	（），即；，	第七部分“反比例函数”
反比例函数的图象和性质	时在第一、三象限，在每一个象限内随的增大而减小；时在第二、四象限，在每一个象限内随的增大而增大	第七部分“反比例函数”
双曲线的对称性	关于原点中心对称；关于直线、轴对称	第七部分“反比例函数”
的几何意义	过图象上一点向两坐标轴作垂线，围成的长方形面积是，对应的三角形面积是	第七部分“反比例函数”
二次函数	（），图象是抛物线	第七部分“二次函数”
顶点式	：由向右平移、向上平移得到；顶点，对称轴是直线	第七部分“二次函数”
顶点坐标	，对称轴是直线	第七部分“二次函数”
二次函数的性质	时开口向上，顶点是最低点；时开口向下，顶点是最高点；越大，开口越小；以对称轴为界，两侧增减性相反	第七部分“二次函数”
与轴的交点		第七部分“二次函数”
交点式	抛物线与轴交于、时，	第七部分“二次函数”
与一元二次方程的关系	的根是抛物线与轴交点的横坐标；、、分别对应两个、一个、没有交点	第七部分“二次函数”
最值	顶点的横坐标在取值范围内时，在顶点取到最大值或最小值	第七部分“二次函数”

第八部分：相似与锐角三角函数#

名称	内容	出处
相似多边形	对应角相等，对应边成比例；相似比为 1 时就是全等	第八部分“相似”
比例的基本性质	可以化成	第八部分“相似”
比例中项	如果，那么	第八部分“相似”
合比	可以化成	第八部分“相似”
黄金分割	时，点把黄金分割，	第八部分“相似”
平行线分线段成比例的推论	平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例	第八部分“相似”
相似的起点	平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似	第八部分“相似”
相似三角形的判定	两角分别相等；两边成比例且夹角相等；三边成比例；直角三角形斜边和一条直角边成比例	第八部分“相似”
相似三角形的性质	对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比；周长比等于相似比；面积比等于	第八部分“相似”
位似	对应点的连线都经过位似中心，对应边平行（或在同一条直线上）；以原点为位似中心、位似比为时，的对应点是或	第八部分“相似”
锐角三角函数	，，（是对边，是邻边，是斜边）	第八部分“锐角三角函数”
取值和增减	，；、随的增大而增大，随的增大而减小	第八部分“锐角三角函数”
三个比值的关系	；；时，，	第八部分“锐角三角函数”
特殊角	，，；，；，，	第八部分“锐角三角函数”
解直角三角形	；；边角关系用三角函数；已知两个元素，其中至少有一条边，就能解出其余的	第八部分“锐角三角函数”
坡度	（是坡角）	第八部分“锐角三角函数”
平行投影	同一时刻，物高与影长的比相等	第八部分“投影与视图”
正投影	线段平行于投影面时，正投影和它等长；与投影面成角时，正投影长	第八部分“投影与视图”
三视图	主视图反映长和高，俯视图反映长和宽，左视图反映宽和高；主视图和俯视图的长对齐，主视图和左视图的高对齐，俯视图和左视图的宽相等	第八部分“投影与视图”

第九部分：圆#

名称	内容	出处
圆	平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形；直径是最长的弦	第九部分“圆的有关性质”
圆的对称性	圆是中心对称图形，绕圆心旋转任意角度都和自身重合；任何一条直径所在的直线都是对称轴	第九部分“圆的有关性质”
圆心角、弧、弦	在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组相等，另外两组也相等	第九部分“圆的有关性质”
弧的度数	圆心角是多少度，它所对的弧就是多少度	第九部分“圆的有关性质”
垂径定理	垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧	第九部分“圆的有关性质”
垂径定理的推论	平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧	第九部分“圆的有关性质”
半径、弦心距、弦	（是弦心距，是弦长）	第九部分“圆的有关性质”
圆周角定理	一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半	第九部分“圆的有关性质”
圆周角定理的推论	同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径	第九部分“圆的有关性质”
圆内接四边形	对角互补；任意一个外角等于它的内对角	第九部分“圆的有关性质”
点和圆	：点在圆内；：点在圆上；：点在圆外	第九部分“与圆有关的位置关系”
确定圆的条件	不在同一直线上的三个点确定一个圆；三角形的外心是三边垂直平分线的交点	第九部分“与圆有关的位置关系”
直线和圆	：相交；：相切；：相离（是圆心到直线的距离）	第九部分“与圆有关的位置关系”
切线的判定	经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线	第九部分“与圆有关的位置关系”
切线的性质	圆的切线垂直于经过切点的半径	第九部分“与圆有关的位置关系”
切线长定理	从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角	第九部分“与圆有关的位置关系”
内心	三角形的内心是三条角平分线的交点，到三条边的距离相等	第九部分“与圆有关的位置关系”
直角三角形的内切圆半径	（、是直角边，是斜边）	第九部分“与圆有关的位置关系”
正多边形与圆	把圆等分，依次连接各分点得到正边形；中心角是	第九部分“与圆有关的计算”
正多边形的计算	，，，面积（是半径，是边心距，是边长，是周长）	第九部分“与圆有关的计算”
正六边形	边长等于半径	第九部分“与圆有关的计算”
圆的周长和面积	，	第九部分“与圆有关的计算”
弧长		第九部分“与圆有关的计算”
扇形面积		第九部分“与圆有关的计算”
圆锥	母线、高、底面半径满足；侧面积，全面积；侧面展开图的圆心角	第九部分“与圆有关的计算”

第十部分：统计与概率#

名称	内容	出处
频数和频率	频率 = 频数 ÷ 数据总数；所有频数的和等于数据总数，所有频率的和等于 1	第十部分“数据的收集、整理与描述”
扇形图的圆心角	扇形的圆心角 = × 这一部分所占的百分比	第十部分“数据的收集、整理与描述”
平均数	；各数据与平均数的偏差之和为 0	第十部分“数据的分析”
加权平均数		第十部分“数据的分析”
中位数和众数	从小到大排列后处在最中间的数（偶数个时取中间两个数的平均数）；出现次数最多的数	第十部分“数据的分析”
极差	最大值减最小值	第十部分“数据的分析”
方差	；方差的算术平方根叫标准差	第十部分“数据的分析”
数据的变化	每个数据加：平均数加，方差不变；每个数据乘：平均数乘，方差乘	第十部分“数据的分析”
四分位数	前一半数据的中位数是第一四分位数，后一半数据的中位数是第三四分位数	第十部分“数据的分析”
概率的范围	必然事件的概率是 1，不可能事件的概率是 0，随机事件的概率在 0 和 1 之间	第十部分“概率”
等可能的结果	一次试验有种等可能的结果，事件包含其中的种，则	第十部分“概率”
用频率估计概率	大量重复试验中，事件发生的频率稳定在它的概率附近	第十部分“概率”

第十一部分：数形结合#

名称	内容	出处
两点间的距离	、：	第十一部分“以数解形”
中点坐标	线段的中点是	第十一部分“以数解形”
平行四边形的顶点坐标	平行四边形中，，	第十一部分“以数解形”
绝对值的几何意义	是数轴上到的距离	第十一部分“以形助数”
方程的解与交点	方程的解，是抛物线与直线交点的横坐标；一般地，两个式子相等时的值，是两个图象交点的横坐标	第十一部分“以形助数”
面积与不等式	，所以，时取等号	第十一部分“以形助数”