因式分解 ★
对应人教版八年级上册第十七章。
把一个多项式化成几个整式的积，叫因式分解；它是整式乘法倒过来做。
从哪里来#
整式乘法把积变成和：。同一个等式从右往左读，就是把和变成积：
| 方向 | 从 | 到 | 例子 |
|---|---|---|---|
| 整式乘法 | 积 | 和 | |
| 因式分解 | 和 | 积 |
这和把整数分解质因数是一回事： 是把一个数写成几个数的积，因式分解是把一个多项式写成几个整式的积。
在图上，乘法是“知道长方形的两边，求面积”；因式分解是反过来：手里有一些面积块，把它们拼成一个长方形，找出两边。 是一个 的正方形、三个 的长条和两个 的小正方形。它们能拼成一个长方形，两边分别是 和 ：
所以 。
为什么要把和化成积？因为积有和没有的好处：
- 积为 0，至少有一个因式为 0。 解方程 ，化成 ，就得到 或 ，即 或 （见第四部分“一元二次方程”）。
- 积可以约分。 分式的分子、分母都化成积，公因式才看得出来，才能约掉（见第三部分“分式”）。
- 积好算。 。
提公因式法#
如果多项式的每一项都含有同一个因式 ，用分配律倒过来，就能把 提到括号外面：
各项都含有的因式叫公因式。找公因式分三部分：
- 系数： 取各项系数的最大公约数；
- 字母： 取各项都含有的字母；
- 指数： 每个字母取各项中最低的次数。
这样找出的公因式“最大”，提出来以后，括号里的各项就没有公因式了。
例 1 分解因式：。
思路： 系数 6、、3 的最大公约数是 3；三项都含 和 ， 的最低次数是 2， 的最低次数是 1。公因式是 。再用每一项除以公因式，得到括号里的各项。
解：
检验： 用乘法展开 ，得到原式。最后一项 ，这个 1 不能丢，丢了之后项数就少了一项。
例 2 分解因式：。
思路： 公因式可以是一个多项式。 和 互为相反数，，先把它们统一成同一个式子。
解：
公式法#
把乘法公式倒过来写，就得到两种分解的方法：
面积图也倒过来看：挖去一角的正方形拼成长方形，四块拼成一个大正方形。下面是验证这两个公式时用过的两张图（见第三部分“整式的乘法”）：
用公式之前，先看多项式的样子对不对得上：
| 公式 | 项数 | 特征 |
|---|---|---|
| 平方差 | 两项 | 两项都能写成某个式子的平方，符号相反 |
| 完全平方 | 三项 | 两项能写成平方且同号，另一项是这两个式子的积的 2 倍（符号可正可负） |
例 3 分解因式：。
思路： 两项，，，中间是减号，是平方差，公式里的 是 ， 是 3。
解：
例 4 分解因式：（1）；（2）。
思路： （1）三项， 和 是平方，中间项 ，是差的平方。（2）两个平方项都带负号，先提出 ，括号里就是完全平方。
解：
分解要彻底#
因式分解要分解到每一个因式都不能再分解为止，就像分解质因数要分到每个因数都是质数。
例 5 分解因式：。
思路： 本身不是平方差， 不是一个整式的平方，直接套公式行不通。先看各项有没有公因式：有 。提出来以后，括号里剩 ，这才是平方差。
解：
想一想： 如果只写到 就停下，也是“化成了积”，但 还能再分，分解就不彻底。再看 ：
是平方和，不能再分解（在有理数范围内）。
从这两个例子能看出思考的顺序，每一步都有它的道理：
- 先看有没有公因式。 提公因式后，括号里的式子更简单，也更容易看出公式的样子。
- 再看项数和形式，能不能用公式。 两项想平方差，三项想完全平方。
- 最后检查每个因式还能不能再分。
十字相乘（拓展）#
由整式乘法里的展开式（见第三部分“整式的乘法”）
倒过来读：要分解 ，只要找两个数 、，使 ，。开头拼长方形的例子 ，就是 、。
例 6 分解因式：（1）；（2）。
思路： 先从乘积入手找 、，因为乘积的可能比较少，再用和去挑。
解： （1），。积为正，两数同号；和为负，两数都是负数。 和 符合。
（2），。积为负，两数异号；和为正，正数的绝对值较大。 和 符合。
二次项系数不是 1 时，要同时拆二次项系数和常数项。比如 ：把 拆成 ，把 拆成 ，交叉相乘再相加，看能不能得到一次项 ：
，正好是一次项，所以
交叉相乘就是在检验： 展开时，一次项正是由“外项乘外项” 和“内项乘内项” 相加得到的。拆法不对，就换一种拆法再试。
易错点#
- 分解不彻底。 还没完，，应该写成 。
- 提公因式后漏掉 1。 ，不是 。提出的公因式和某一项完全相同时，那一项剩下 1。
- 结果不是积。 不是因式分解，整个式子最后一步是减法，还是“和”的形式。正确结果是 。
- 把乘法当成分解。 是整式乘法，方向反了。
- 误用完全平方公式。 不是完全平方，，中间项应该是 。先检查中间项是不是两个平方的底数的积的 2 倍。
- 平方和当成平方差。 不能用平方差公式分解。
- 提负号忘了变号。 ，括号里的每一项都要变号，道理和去括号一样。
联系#
- 整式的乘法： 每一种分解方法，都是一个乘法等式倒过来读；分解完可以乘回去检验。见第三部分“整式的乘法”。
- 一元二次方程： 因式分解法解方程，靠的是“两个数的积为 0，至少有一个为 0”。见第四部分“一元二次方程”。
- 分式： 约分和通分之前，先把分子、分母因式分解。见第三部分“分式”。
- 二次函数： ，图象和 轴交于 和 ，因式里直接看出交点。见第七部分“二次函数”。