第十一部分：数形结合

总览：一体两面

这一部分把全书的数和形收拢到一起：每个代数关系都有一个几何的样子，每个几何关系都能写成数，能在两者之间来回翻译，综合问题就有了思路。

代数和几何对照表#

前面十个部分里，同一件事常常以两种面貌出现过：

每一行都是同一件事的两种说法。遇到一个代数问题，可以问“它画出来是什么样子”；遇到一个几何问题，可以问“它写成数是什么式子”。

主线	经过的地方
数轴 → 坐标系 → 函数图象	数轴上的点和距离 → 不等式的解集画在数轴上 → 平面直角坐标系 → 一次、反比例、二次函数的图象
面积模型	乘法公式的拼图 → 因式分解 → 勾股定理的拼图证明 → 配方法
方程是数与形的交点	方程组的解是两直线的交点 → 一元二次方程的根是抛物线与轴的交点 → 判别式与交点个数 → 直线与圆的位置关系
对称	相反数 → 轴对称与等腰三角形 → 坐标系中的对称点 → 抛物线的对称轴 → 圆的对称性和垂径定理
比	比例 → 相似 → 锐角三角函数 → 一次函数的
变化与对应	代数式的值 → 函数 → 动点问题

数与形之间有两个方向：以形助数、以数解形；动点与函数两边都用；方程思想、分类讨论、辅助线贯穿各部分

页面	要回答的问题	典型的例子
以形助数	代数问题怎样画成图	绝对值之和的最小值；方程在某个范围内的根的个数；比较两个函数的大小
以数解形	几何问题怎样写成数来算	坐标系中判断三角形的形状；平行四边形的第四个顶点；三角形面积的最大值；点的存在性
动点与函数	运动中的量怎样变化	按转折点分段写函数；从图象反推图形；两个动点的面积
方程思想与建模	不知道的量怎样求出来	折叠求线段长；购买方案；拱桥的宽度
分类讨论	条件不确定时怎样不重不漏	等腰三角形的腰；相似的对应关系；平行弦的位置
辅助线从哪里来	条件和结论怎样接上	倍长中线；取中点构造中位线；切线连半径

前两页是同一种翻译的两个方向：第十一部分“以形助数”把数画成形，第十一部分“以数解形”把形写成数。第十一部分“动点与函数”两个方向都用：从图形里写出函数，再用函数的图象读懂运动。

后三页讲的是贯穿各部分的想法，不局限于数形结合：第十一部分“方程思想与建模”讲怎样把未知的量设出来、找等量关系；第十一部分“分类讨论”讲条件没说死时怎样把情况列全；第十一部分“辅助线从哪里来”讲几何证明里缺的那座桥怎样补上。这三种想法在前面各部分的例题里已经反复出现，这里把它们单独拿出来看清楚。

这一部分用到前面各部分的知识，适合在相关内容学完以后阅读，也适合总复习时通读：

每页的例题都跨了几个部分。读的时候如果某一步看不懂，按页末“联系”里的链接回到原来的页面去补。