三种数学语言
对应人教版七年级上册第三章、七年级下册 7.3。
同一个数学关系可以用三种语言来说：文字语言好懂，符号语言简洁、能直接运算，图形语言直观。 读题、列式、画图、写证明，其实都是在这三种语言之间翻译。
从哪里来#
小学学过的乘法分配律，可以用三种方式说出来：
| 语言 | 乘法分配律 |
|---|---|
| 文字语言 | 一个数乘两个数的和，等于把这个数分别乘这两个数，再把两个积相加 |
| 符号语言 | |
| 图形语言 | 宽为 、长为 的长方形，面积可以整体算，也可以分成两块算 |
三种说法讲的是同一件事。文字适合第一次理解；符号只用一行，而且可以接着算下去；图形让人一眼看出它为什么对：大长方形被虚线分成两块，整体的面积当然等于两块面积的和。
三种语言各有长处#
| 语言 | 长处 | 短处 | 适合做什么 |
|---|---|---|---|
| 文字语言 | 好懂，能说清前因后果 | 长，不便计算，有时有歧义 | 读题；叙述定义、定理 |
| 符号语言 | 简洁、准确，能按规则运算和推理 | 抽象，看不出直观的意思 | 列式、计算、写证明 |
| 图形语言 | 直观，容易看出位置关系和解题方向 | 只画出一种情况，看出来的不能当依据 | 理解题意、找思路、检验答案 |
文字的歧义是真实存在的。“ 与 的和的平方”和“ 与 的平方和”只差一个“的”字，意思却不同，前者是 ，后者是 。写成符号，就不会有第二种理解。
用字母表示数#
符号语言的核心是用字母表示数。字母可以表示：
- 一般规律： 这一个式子，代替了 、 等无数个算式；
- 公式： 长方形面积 ，圆的周长 ；
- 未知数： 列方程时，用 表示要求的量（见第四部分“一元一次方程”）；
- 变量： 一个量随另一个量变化时，用 、 表示它们（见第七部分“函数”）。
字母代表的数可以是正数、负数，也可以是 0。所以 不一定是负数： 时，。
例 1 用火柴棒按下图的方式摆正方形。摆 个正方形，需要多少根火柴棒？
思路： 先数具体的：1 个正方形 4 根，2 个 7 根，3 个 10 根，4 个 13 根。再看是怎样多出来的：第 1 个正方形用 4 根，以后每多摆一个，左边那根和前一个正方形共用，只要再加 3 根。把这个“数法”翻译成符号就行。
解： 第 1 个正方形用 4 根，后面还有 个正方形，每个用 3 根，共需
根火柴棒。
检验： 时，，和数出来的一样。
想一想： 同一张图，换一种看法，就得到另一个式子：
| 看法 | 式子 |
|---|---|
| 第 1 个正方形 4 根，以后每个再加 3 根 | |
| 每个正方形都只算上、下、右 3 根，最后补上最左边 1 根 | |
| 横放的分上下两排，每排 根；竖放的有 根 | |
| 每个正方形都算 4 根，再减去重复算了的 根 |
四个式子化简后都是 （见第三部分“整式的加减”）。数的方法不同，数的却是同一堆火柴，所以结果一定相等。这正是化简的意义：看起来不同的式子，其实表示同一个数量。
例 2 任意写一个个位不是 0 的两位数，把它的十位数字和个位数字交换，得到一个新的两位数。说明：这两个数的和一定是 11 的倍数。
思路： 试几个：，，都是 11 的倍数。但“任意”一个两位数有很多个，一个个试不完，要用字母表示一般的两位数。
解： 设原来的两位数十位数字是 ，个位数字是 ，这个数是 ；交换后的数是 。它们的和是
是整数，所以和是 11 的倍数。
这里的关键一步是翻译：十位数字是 、个位数字是 的两位数，是 ，不是 。用字母说明一般规律，就是代数推理（见第一部分“怎样证明”）。
几何里的翻译#
几何题常常三种语言一起出现：题目用文字叙述，配一张图，证明要用符号写。常见的说法这样对应：
| 文字语言 | 符号语言 |
|---|---|
| 点 是线段 的中点 | |
| 射线 平分 | |
| 直线 与 垂直，垂足为 | 于点 ， |
| 直线 与 平行 | |
| 与 互补 | |
| 与 全等 |
一个用文字叙述、没有图的几何命题，要证明它，先要做三件事：
- 分清条件和结论（见第一部分“定义、命题与定理”）；
- 按条件画图，给点和线起名字，画一般的情况，不要画成特殊图形；
- 用图上的字母把条件写成“已知”，把结论写成“求证”。
例 3 把命题“两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直”写成已知、求证，并证明。
思路： 条件是“两条平行线被第三条直线所截”和“画出一对同旁内角的平分线”，结论是“这两条平分线互相垂直”。文字里一个字母也没有，要先画图、起名字，再用这些名字写出已知和求证。
已知： 如图，，直线 分别交 、 于点 、， 平分 ， 平分 ， 与 交于点 。
求证： 。
图中 、 是 被 分成的两个角，、 是 被 分成的两个角。翻译好了，证明的方向也就清楚了：要证垂直，就是要证 ；它在 里，只要算出另外两个角 、 的和。
证明： 因为 ，所以 （两直线平行，同旁内角互补）。因为 平分 ， 平分 ，所以
在 中，（三角形内角和等于 ），所以 。
图形语言也能说代数#
图形不只属于几何。代数里的很多关系，都能画出来：
| 符号语言 | 图形语言 | 见 |
|---|---|---|
| 数轴上表示 的点到原点的距离 | 第二部分“有理数” | |
| 数轴上 2 右边的部分 | 第四部分“不等式与不等式组” | |
| 边长为 的正方形分成四块 | 第三部分“整式的乘法” | |
| 一条直线 | 第七部分“一次函数” | |
| 二元一次方程组的解 | 两条直线的交点 | 第四部分“二元一次方程组” |
一道代数题卡住了，试着把它画出来；一张图看不出结论，试着用字母把它算出来。这两个方向的翻译，贯穿整本书。
易错点#
- 文字翻成符号时弄错运算顺序。 先找出最后一步做的是什么运算：“ 与 的和的平方”最后做平方，是 ；“ 与 的平方和”最后做加法，是 。“比 的 2 倍少 3”是 ，不是 。
- 把两位数写成 。 字母连写表示相乘， 是 。十位数字是 、个位数字是 的两位数是 。
- 以为 一定是负数。 字母可以表示任何数， 是负数时， 是正数。
- 代数式书写不规范。 数字写在字母前面，写 不写 ；字母和字母、数字和字母相乘时乘号可以省略，数字和数字相乘不能省略；带分数和字母相乘要写成假分数，一又二分之一乘 写成 ；除法一般写成分数的形式。
- 把图上“看起来”的关系当成条件。 看起来垂直、相等、在一条直线上，题目没有给出、也没有证明，就不能用。图形语言帮助找思路，不能当依据。
- 画图只画了特殊情况。 题目说“三角形”，却画成等腰三角形或直角三角形，就容易把特殊图形才有的性质当成一般结论。
联系#
- 代数式： 用字母表示数量关系，就是把文字语言翻译成符号语言。见第三部分“代数式”。
- 整式的加减： 例 1 摆 个正方形的火柴棒问题，、、 这几个式子看起来不同，化简后都是 。见第三部分“整式的加减”。
- 整式的乘法： 分配律、乘法公式都有面积模型，是符号和图形的互相翻译。见第三部分“整式的乘法”。
- 函数： 函数的解析式和图象，是同一个对应关系的符号语言和图形语言。见第七部分“函数”。
- 证明： 写“已知、求证”就是把文字命题翻译成图形和符号。见第一部分“怎样证明”。
真题： 2026 年第 18 题、2026 年第 22 题、2025 年第 10 题、2023 年第 11 题、2022 年第 21 题。