代数式
对应人教版七年级上册第三章。
用运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子，叫代数式。 字母代表“任意一个数”，一个代数式就代表了一整类计算：字母取不同的值，式子就算出不同的结果。
从哪里来#
用火柴棒摆正方形，一个挨一个排成一排：摆 1 个正方形要 4 根，摆 2 个要 7 根，摆 3 个要 10 根。摆 100 个要多少根？
一个一个数太慢。看看火柴是怎样增加的：最左边先放 1 根竖的，之后每添一个正方形，只要再加上、下、右 3 根。所以
- 摆 1 个： 根；
- 摆 2 个： 根；
- 摆 100 个： 根。
这些算式的样子完全一样，变的只是正方形的个数。用字母 表示正方形的个数，就能一次说清所有情况：摆 个正方形要 根火柴。
就是一个代数式。像 、、、、 这样，用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数和字母连起来的式子都是代数式。单独一个数或一个字母，比如 、，也算代数式。
换一种数法也可以：第一个正方形用 4 根，后面 个正方形每个再加 3 根，共 根。两个式子样子不同，算出来的结果却总是一样，它们是“相等的式子”。怎样不用一个一个代数就看出它们相等，是下一页要讲的内容（见第三部分“整式的加减”）。
从算式到代数式，就是从“文字语言”翻译成“符号语言”：“正方形个数的 3 倍再加 1”写成 ，短而且准确（见第一部分“三种数学语言”）。
代数式里没有等号和不等号。 是代数式； 是方程， 是不等式。
代数式的写法#
代数式里字母和数混在一起，为了不产生误会，写法有几条约定：
| 约定 | 例子 | 为什么 |
|---|---|---|
| 数和字母、字母和字母相乘，乘号写成“·”或者省略 | 写成 ， 写成 | 乘号“×”和字母 容易看混 |
| 数写在字母前面 | 写成 | 统一写法，一眼看出字母前面的数 |
| 带分数和字母相乘，带分数要化成假分数 | 写成 | 带分数本身是“整数加分数”，后面紧跟字母容易读错 |
| 除法写成分数的形式 | 写成 | 分数线就是除号，写起来更紧凑 |
数和数相乘，乘号不能省： 不能写成 。
列代数式#
列代数式的关键是先用文字把“谁和谁、按什么顺序算”说清楚，再换成符号。 运算顺序靠括号表达，文字里先算的部分，式子里就要先算，必要时加括号。
| 文字 | 代数式 | 说明 |
|---|---|---|
| 与 的和的平方 | 先求和，再平方 | |
| 与 的平方和 | 先各自平方，再求和 | |
| 比 的 3 倍少 5 的数 | 先算 3 倍，再减 5 | |
| 与 1 的差的一半 | 先求差，再除以 2 | |
| 十位数字是 、个位数字是 的两位数 | 十位上的 表示 个十 | |
| 三个连续整数，中间一个是 | ，， | 相邻整数相差 1 |
例 1 某商品每件进价 元，商店按进价提高 40% 标价，再打八折出售。每件商品的利润是多少元？
思路： 利润 = 售价 − 进价。售价还不知道，要先求标价，再求售价，一步一步往前推。
解：
- 标价：比进价提高 40%，是 （元）。
- 售价：打八折，是标价的 0.8 倍，（元）。
- 利润：（元）。
答：每件商品的利润是 元。
回顾： 结果说明，不管进价是多少，利润总是进价的 12%。这是用字母算一次就得到的一般规律，换成具体的数就得每次重算。
例 2 一个两位数，十位数字是 ，个位数字是 。把十位数字和个位数字交换位置，得到一个新的两位数。说明：原数与新数的差一定是 9 的倍数。
思路： “说明对所有两位数都成立”，不能只举几个例子，要用字母表示任意一个两位数，再算差。
解： 原数是 ，新数是 。它们的差是
是整数，所以差是 9 的倍数。
比如 ，这里 ，和算出来的一样。这种用字母和运算说明一般规律的方法叫代数推理（见第一部分“怎样证明”）；式子的变形用到了去括号和合并同类项（见第三部分“整式的加减”）。
代数式的值#
用数值代替代数式里的字母，按照式子中的运算算出的结果，叫代数式的值。 求值分两步：先代入，再计算，计算就是有理数的混合运算（见第二部分“有理数的运算”）。
代入时要注意两点：
- 字母换成负数或分数时，要加上括号。 时， 是 ，不是 。
- 代数式里省略的乘号，代入数后要写回来：， 时， 是 。
例 3 当 ， 时，求 和 的值。
解：
两个式子的值相等。换别的 、 试试，比如 ，，两个式子都得 9。这不是巧合： 和 是同一个式子的两种写法（见第三部分“整式的乘法”）。
例 4 已知 ，求 的值。
思路： 只有一个条件，求不出 、 各是多少。但看所求的式子： 正好是 的 倍。把 当成一个整体，就不必知道 、 各自的值。
解：
想一想： 也可以随便找一组满足条件的数，比如 ，，代入得 。这样能检验答案，但不能代替解答：满足 的数有无数组，“整体代入”说明了不管取哪一组，结果都是 ；只试一组，说明不了其他组也是 。
值随字母变化#
回到开头的火柴棒：摆 个正方形要 根火柴。让 取 1，2，3，…，代数式 的值依次是：
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 4 | 7 | 10 | 13 | 16 | 19 |
把每一对数画成一个点，横坐标是 ，纵坐标是 的值：
每增加 1，值就增加 3，这些点排在一条直线上。代数式的值随字母的变化而变化，而且字母每取一个值，式子只有一个值和它对应。 把这种对应关系本身当作研究对象，就是函数（见第七部分“函数”）；像 这样“每一步增加同样多”的关系，是一次函数（见第七部分“一次函数”）。
这里的 是正方形的个数，只能取正整数，所以图上是一个一个分开的点，不能连成线。字母能取哪些值，要看它在问题里代表什么。
易错点#
- 省略乘号时出错。 数和数之间的乘号不能省： 不能写成 ；两位数写成 也是错的， 表示 ，两位数是 。
- 顺序和括号没弄清。 “ 与 的和的平方”是 ，“ 与 的平方和”是 ；“ 的一半与 1 的差”是 ，“ 与 1 的差的一半”是 。文字里哪部分先算，式子里就要先算。
- 代入负数不加括号。 时，，。 是“ 的平方”， 换成 后，平方的是整个 。
- 把求代数式的值当成解方程。 代数式没有等号，“求值”是已知字母求结果；解方程是已知结果求字母。
- 忽略字母的实际意义。 表示个数、人数的字母只能取正整数（或自然数），表示长度的字母只能取正数。
联系#
- 三种数学语言： 列代数式就是把文字语言翻译成符号语言。见第一部分“三种数学语言”。
- 整式的加减： 和 为什么总相等，靠去括号、合并同类项说明。见第三部分“整式的加减”。
- 方程： 用了 61 根火柴，摆了几个正方形？令 ，得 。已知代数式的值反过来求字母，就是解方程。见第四部分“一元一次方程”。
- 函数： 代数式的值随字母变化，字母每取一个值，式子只有一个值和它对应，这就是函数。见第七部分“函数”。
- 一次函数： 每一步增加 3，画出来的点在一条直线上。见第七部分“一次函数”。
真题： 2025 年第 13 题、2023 年第 11 题。