尺规作图 ★
对应人教版七年级上册第六章，八年级上册第十四章、第十五章等，散见各册。
尺规作图是只用没有刻度的直尺和圆规作图；每一种作法为什么是对的，都由全等三角形的判定或线段垂直平分线的有关定理来保证。
从哪里来#
用刻度尺和量角器，想画多长就画多长，想画多大的角就画多大的角，但量出来的数总有误差。尺规作图把工具限制到最少，只允许做两件事：
| 工具 | 能做的事 | 背后的几何事实 |
|---|---|---|
| 直尺（没有刻度） | 过两个已知点画直线、射线、线段 | 两点确定一条直线 |
| 圆规 | 以已知点为圆心、已知长度为半径画圆或圆弧 | 圆上每一点到圆心的距离都等于半径 |
圆规的作用可以说成两句话：截取相等的线段（把一条线段的长度“搬”到别处），找到到两个已知点的距离分别等于给定长度的点（两段弧的交点）。新的点只能从交点得来：直线和直线的交点、直线和弧的交点、弧和弧的交点。
工具这样少，作图就不能靠“量”，只能靠“推理”：每一步作出的东西为什么符合要求，都要能说出理由。所以每一种作法后面，都有一条定理撑腰：
| 基本作图 | 关键的一步 | 依据 |
|---|---|---|
| 作一条线段等于已知线段 | 用圆规量出已知线段，在射线上截取 | 圆上的点到圆心距离相等 |
| 作一个角等于已知角 | 用圆规复制一个含这个角的三角形 | 全等三角形的判定 SSS |
| 作角的平分线 | 两段半径相等的弧交出一点 | 全等三角形的判定 SSS |
| 作线段的垂直平分线 | 找两个到线段两端距离相等的点 | 到线段两端距离相等的点在垂直平分线上；两点确定一条直线 |
| 过一点作已知直线的垂线 | 转化成作一条线段的垂直平分线 | 同上 |
作图题的写法一般包括：已知、求作、作法，需要时再写证明。作图语言要规范，比如“以点 为圆心、 的长为半径画弧，交射线 于点 ”。作图时要保留作图痕迹（画过的弧），最后写出结论，如“ 就是所求作的线段”。
下面每种基本作图的图都是作图过程的动画，一步一步画出来；图中灰色的弧是作图痕迹，红色是作出的结果，蓝色虚线是说明依据时要连的线。
作一条线段等于已知线段#
已知： 线段 。求作： 线段 ，使 。
作法：
- 作射线 ；
- 用圆规量出线段 的长，以点 为圆心、 的长为半径画弧，交射线 于点 。
线段 就是所求作的线段。
依据： 点 在以 为圆心、 为半径的圆上，所以 。
这一步虽然简单，却是后面所有作图的基本动作：圆规就是用来“搬运长度”的。
作一个角等于已知角#
已知： 。求作： ，使 。
圆规不能直接量角，只能量长度。办法是：把角放进一个三角形里，复制三角形的三条边，角也就跟着复制过去了。
作法：
- 以点 为圆心、任意长为半径画弧，分别交 、 于点 、；
- 画射线 ，以点 为圆心、 的长为半径画弧，交 于点 ；
- 以点 为圆心、 的长为半径画弧，与第 2 步画的弧交于点 ；
- 过点 画射线 。
就是所求作的角。
依据： 连接 、。由作法，，，，所以 （SSS），所以 （全等三角形的对应角相等）。
会作等角，就会作平行线。已知直线 和直线外一点 ：过点 任画一条直线，交 于点 ，它和 所成的一个角记作 ；再以 为顶点，用上面的方法作 ，并让 和 成为同位角， 的另一边所在的直线记作 。由“同位角相等，两直线平行”，， 就是过点 的平行线（见第五部分“相交线与平行线”）。
作角的平分线#
已知： 。求作： 的平分线。
作法：
- 以点 为圆心、适当长为半径画弧，分别交 、 于点 、；
- 分别以点 、 为圆心、大于 的长为半径画弧，两弧在 的内部交于点 ；
- 画射线 。
射线 就是 的平分线。
依据： 连接 、。由作法，，，又 （公共边），所以 （SSS），所以 ，即 平分 。
作法里有两个细节，都能从依据里找到原因：
- 第 2 步的两个半径必须相等。 证明中用到了 ；半径不相等，交点就不在平分线上。
- 半径要大于 。 两弧的交点 和 、 组成三角形，由三边关系，，即 。半径小于 的一半，两段弧碰不到一起；正好等于一半，两段弧只在 的中点碰一下，交点落在线段 上，组不成三角形，作图也不准（见第五部分“三角形”）。
作线段的垂直平分线#
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫这条线段的垂直平分线。它有一条重要的性质和它的逆命题（见第五部分“轴对称与等腰三角形”）：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反过来，到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
已知： 线段 。求作： 线段 的垂直平分线。
作法：
- 分别以点 、 为圆心、大于 的长为半径画弧，两弧交于点 、；
- 作直线 。
直线 就是线段 的垂直平分线，它与 的交点 就是 的中点。所以这个作法也用来作线段的中点。
依据： 由作法，，所以点 在 的垂直平分线上；同理点 也在。两点确定一条直线，所以直线 就是 的垂直平分线。
只用全等也能说明： 连接 、、、。由 ，，，得 （SSS），所以 。再由 ，，，得 （SAS），所以 ，。这两个角是邻补角又相等，所以都是 。两次全等，就同时得到了“平分”和“垂直”。
过一点作已知直线的垂线#
过一点作垂线，分点在直线上和点在直线外两种情况。两种情况的想法相同：先在直线上截出一条线段，使这一点恰好在这条线段的垂直平分线上，再作这条垂直平分线。
点 在直线 上。
- 以点 为圆心、任意长为半径画弧，交直线 于点 、；
- 分别以点 、 为圆心、大于 的长为半径画弧，两弧交于点 ；
- 作直线 。
依据： 由作法，，，所以 、 都在线段 的垂直平分线上，直线 就是 的垂直平分线，所以 。换个角度看，这也是在作平角 的平分线。
点 在直线 外。
- 以点 为圆心、适当长为半径画弧，交直线 于点 、；
- 分别以点 、 为圆心、大于 的长为半径画弧，两弧在 的另一侧交于点 ；
- 作直线 ，交 于点 。
依据： 由作法，，，所以直线 是 的垂直平分线，。
第 1 步的“适当长”要大于点 到 的距离，否则弧碰不到直线，因为垂线段最短（见第五部分“相交线与平行线”）。第 2 步让两弧交在另一侧，是因为交点 离 远一些，画出的直线 更准。
作三角形#
全等三角形的判定说的是“哪些条件能把三角形定死”，作三角形就是把“定死”真的画出来。
已知三边作三角形（SSS）。 已知线段 、、，求作 ，使 ，，。
- 作射线 ，在 上截取 ；
- 以点 为圆心、 的长为半径画弧，以点 为圆心、 的长为半径画弧，两弧交于点 ；
- 连接 、。
其他条件的作法，用的都是上面的基本作图：
| 已知条件 | 作法 | 为什么作出的三角形唯一 |
|---|---|---|
| 三边 | 截取一边，另两边的长作两段弧，交点是第三个顶点 | SSS |
| 两边及其夹角 | 作一个角等于已知角，在角的两边上分别截取两条已知边，连接两个端点 | SAS |
| 两角及其夹边 | 截取已知边，在它的两端分别作两个已知角，两条射线的交点是第三个顶点 | ASA |
两弧（或两射线）的交点在同一侧只有一个，所以作出的三角形是唯一的，这正是判定定理的意思。反过来也能看出另外两种情况：
- 三边不满足三边关系，作不出三角形。 比如 ，两段弧根本碰不到。
- 已知两边和其中一边的对角，可能作出两个三角形。 比如已知 和两边 、，要求 、：先在 的一边上截取 ，再以 为圆心、 的长为半径画弧，这段弧和 的另一边 可能有两个交点 、。 和 都满足条件，却不全等，这就是 SSA 不能判定全等的原因（见第五部分“全等三角形”）。
读作图痕迹#
作图题常常不让你作图，而是给出作图步骤或作图痕迹，问作出的东西有什么性质。第一步永远是认出作的是哪种基本作图，再用它的依据。
例 1 如图，在 中，，。按以下步骤作图：① 以点 为圆心、适当长为半径画弧，分别交 、 于点 、；② 分别以点 、 为圆心、大于 的长为半径画弧，两弧交于点 ；③ 作射线 ，交 于点 。求 的度数。
思路： 从一个角的顶点出发画弧、再用两段等弧交出一点、最后画射线，这是作角的平分线，所以 平分 。 由内角和可以求出； 是 的外角。
解： 在 中，。
由作图可知， 平分 ，所以 。
是 的外角，所以 。
检验： 在 中，，，，一致。
例 2 如图，在 中，，。分别以点 、 为圆心、大于 的长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，交 于点 ，交 于点 ，连接 。求 的周长。
思路： 以 、 为圆心、相同半径画弧，过两个交点作直线，这是作 的垂直平分线。点 在这条直线上，所以 。周长 里， 和 单独都不知道，但把 换成 ， 正好是 。
解： 由作图可知， 是线段 的垂直平分线，点 在 上，所以 。
所以 的周长为
回顾： 垂直平分线的作用是把一条线段“换”成另一条相等的线段，让分散的线段首尾相接、合成一条已知的线段。例 1 中的角平分线也是一样，把一个角“分”成两个已知的角： 平分 ，把 的 分成两个 的角。
易错点#
- 用刻度尺量长度、用量角器量角度。 这不是尺规作图。直尺只用来连线，圆规只用来画弧和截取长度。
- 半径小于或等于一半。 作角平分线、垂直平分线时，半径必须大于 或 。小于一半，两弧不相交；等于一半，两弧只在中点碰一下，作垂直平分线时只得到一个点，定不出直线。
- 作角平分线时，第二步的两个半径不相等。 依据是 SSS，用到了两个半径相等；半径不同，交点就不在平分线上。
- 擦掉作图痕迹，或不写结论。 作图痕迹就是“作法”的证据，要保留；最后要写“射线 就是所求作的角平分线”之类的结论。
- 作图语言不规范。 应说“以点 为圆心、 的长为半径画弧”，不说“以 为半径”；应说“延长线段 ”，不说“延长直线 ”。
- 看到作图痕迹认不出作的是什么。 从角的顶点出发画弧、再交出一点连射线，是角平分线；以线段两端为圆心交出两点连直线，是垂直平分线。先认图，再用性质。
联系#
- 全等三角形： 作一个角等于已知角、作角的平分线的依据都是 SSS；已知三边、两边夹角、两角夹边作三角形，分别对应 SSS、SAS、ASA。见第五部分“全等三角形”。
- 轴对称与等腰三角形： 作垂直平分线、过一点作垂线的依据是“到线段两端距离相等的点在垂直平分线上”；作最短路径时要先作对称点，用的也是作垂线。见第五部分“轴对称与等腰三角形”。
- 三角形： 两弧能不能相交，由三边关系决定。见第五部分“三角形”。
- 几何图形初步： 作一条线段等于已知线段、作角的平分线、作线段的中点，是把那里的概念用圆规和直尺实现出来。见第五部分“几何图形初步”。
- 与圆有关的位置关系： 作三角形两边的垂直平分线，交点是外接圆的圆心；作两个角的平分线，交点是内切圆的圆心。见第九部分“与圆有关的位置关系”。
真题： 2026 年第 19 题、2025 年第 19 题、2024 年第 19 题、2023 年第 18 题、2022 年第 18 题。