轴对称与等腰三角形 ★
对应人教版八年级上册第十五章。
沿一条直线对折后能够完全重合，就是轴对称；等腰三角形是有对称轴的三角形，它的性质都可以从这条对称轴读出来。 线段的垂直平分线是轴对称的“骨架”：对称轴就是对应点连线的垂直平分线。
从哪里来：对折能重合#
蝴蝶的两翼、剪纸的“囍”字、脸的左右两半，都有同一个特点：沿某条直线对折，两边完全重合。数学里把这件事说成两种情况：
- 一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形叫轴对称图形，这条直线叫它的对称轴。
- 两个图形沿一条直线折叠后能够完全重合，叫这两个图形关于这条直线对称。重合的点叫对称点（对应点）。
前者说的是一个图形自己和自己，后者说的是两个图形之间；把两个成轴对称的图形合起来看，就是一个轴对称图形。
对折的时候，点 落到 。折痕 和线段 有什么关系？设它们交于点 。对折时 在折痕上不动， 正好盖住 ，所以 ； 和 所成的角，折过去正好盖住 和 所成的角，这两个角相等，合起来是平角，所以都是 。于是：
对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 另外，成轴对称的两个图形全等（能重合），对应线段相等，对应角相等（见第五部分“全等三角形”）。
要研究轴对称，先要把“垂直平分线”弄清楚。
线段的垂直平分线#
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）。
性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
如图，直线 垂直平分 ，垂足为 ，点 在 上。在 和 中，，，，所以 （SAS），。从轴对称看更直接：沿 对折， 落到 ， 不动， 就盖住了 。
反过来：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
已知 。取 的中点 ，连接 。在 和 中，，，，所以 （SSS），。这两个角合起来是平角，所以都是 ， 就是 的垂直平分线， 在它上面。（ 在 上时， 就是中点 。）
两句话合起来说明：线段的垂直平分线，就是到线段两端距离相等的所有点组成的直线。 以后要证“两条线段相等”，可以想到垂直平分线；要证“一个点在垂直平分线上”，只要证它到两端距离相等。尺规作图里“作线段的垂直平分线”，找的正是两个到两端距离相等的点（见第五部分“尺规作图”）。
例 1 求证：三角形三条边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。
思路： 三条线交于一点，可以先让两条线相交，再证第三条线也经过这个交点。“点在垂直平分线上”和“到两端距离相等”可以互相转化，所以把问题都换成距离来说。
证明： 设 、 的垂直平分线交于点 ，连接 、、。
- 点 在 的垂直平分线上，所以 ；
- 点 在 的垂直平分线上，所以 ；
- 所以 ，点 在 的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点在垂直平分线上）。
所以三条垂直平分线都经过点 ，并且 。
回顾： 以 为圆心、 为半径画圆，这个圆经过三个顶点，叫三角形的外接圆， 叫外心（见第九部分“与圆有关的位置关系”）。第五部分“全等三角形”里，角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等）和它的逆命题（角的内部到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上）配合使用，也能证出三条角平分线交于一点，思路完全一样。
等腰三角形：对称轴带来的性质#
有两条边相等的三角形叫等腰三角形。相等的两边叫腰，另一边叫底边，两腰的夹角叫顶角，腰和底边的夹角叫底角。
先用垂直平分线看一看：，说明点 到 、 的距离相等，所以 在底边 的垂直平分线上。沿这条垂直平分线对折， 和 互相重合， 不动，整个三角形和自己重合。所以等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边的垂直平分线，它经过顶点 。
对折时重合的东西都相等，于是得到两条性质：
- 等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）： 和 重合。
- 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“三线合一”）：对称轴平分顶角，平分底边，又垂直于底边，一条线身兼三职。
写成证明，要借助全等。作 的平分线 ，交 于点 。在 和 中，
- （已知），
- （ 平分 ），
- （公共边），
所以 （SAS）。于是 ；， 是底边上的中线；，两角合起来是平角，都是 ， 是底边上的高。
三线合一怎么用： 在等腰三角形里，只要知道这三条线中的一条，就可以说它也是另外两条。比如已知 、 是 的中点，就能直接得到 和 ，不必再证一次全等。
例 2 等腰三角形的一个内角是 ，求另外两个角。
思路： 题目没说 是顶角还是底角，两种都可能，要分别算，再检查每种情况能不能构成三角形。
解：
- 如果 是顶角，两个底角相等，各是 ；
- 如果 是底角，另一个底角也是 ，顶角是 。
所以另外两个角是 、，或者 、。
想一想： 如果那个内角是 呢？它要是底角，两个底角加起来就是 ，超过了 ，不可能。所以 只能是顶角，底角各 ，只有一种答案。钝角或直角只能当顶角。
判定：等角对等边#
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）。它和“等边对等角”的条件、结论互换，是逆命题，而且也是真命题（见第一部分“定义、命题与定理”）。
证明： 在 中，。作 的平分线 ，交 于点 。在 和 中，，，，所以 （AAS），。
这样，判断一个三角形是不是等腰三角形就有了两条路：边相等（定义），或者角相等（这条判定）。题目里出现角平分线和平行线时，常常会“生出”相等的角，再用等角对等边得到相等的边，例 4 就是这样。
例 3 如图，在 中，，点 、 在 上，。求证：。
思路一：找全等。 在 里， 在 里。已知 、，还缺一个条件； 说明两个底角相等， 正好是这两边的夹角，用 SAS。
证明一： 因为 ，所以 （等边对等角）。在 和 中，，，，所以 （SAS），。
思路二：用对称轴。 整个图形看起来左右对称，对称轴是底边上的高。如果能说明 在 的垂直平分线上， 就直接出来了。
证明二： 作 ，垂足为 。因为 ，所以 （三线合一）。又 ，所以 ，即 。于是 垂直平分 ，所以 （垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）。
想一想： 两种证法用的都是“对称”：证法一把对称藏在全等里，证法二直接用对称轴。证法二还说明了更多的东西：只要 、 关于 对称，不管它们在 上还是在 的延长线上，结论都成立。遇到明显左右对称的图形，先找对称轴，常常比找全等更快。
等边三角形#
三条边都相等的三角形叫等边三角形（正三角形）。它是特殊的等腰三角形：把任何一条边看成底边，另两条边都是腰。
性质：等边三角形的三个内角都相等，都等于 。 由 得 ，由 得 ，所以三个角相等；内角和是 ，每个角是 。等边三角形有三条对称轴，每条都是一个角的平分线所在的直线，也是对边上的中线、高所在的直线。
判定：
- 三个角都相等的三角形是等边三角形（由等角对等边，三边两两相等）；
- 有一个角是 的等腰三角形是等边三角形。
第二条为什么成立？分两种情况： 是顶角时，两个底角各是 ； 是底角时，另一个底角也是 ，顶角是 。两种情况三个角都是 ，所以是等边三角形。
含 30° 角的直角三角形#
在直角三角形中，如果一个锐角等于 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
从哪里想到： 是 的一半，而 是等边三角形的角。把这个直角三角形沿较长的直角边翻折一下，看能不能拼出等边三角形。
证明： 在 中，，，所以 。延长 到点 ，使 ，连接 。
- 且 ，所以 垂直平分 ，；
- 是有一个角（）为 的等腰三角形，所以是等边三角形，；
- ，所以 ，即 等于斜边 的一半。
正是 沿 翻折得到的，所以这个直角三角形就是等边三角形的一半。学了勾股定理后还能算出另一条直角边：三边之比是 （见第五部分“勾股定理”）。
例 4 如图，在 中，，， 平分 ，交 于点 ，。求 的长。
思路： 被 分成 和 两段， 已知，只要求 。先算角：，被平分成两个 。于是图里有两件事可用： 是含 角的直角三角形；， 是等腰三角形。
解： 因为 ，，所以 。 平分 ，所以 。
- 在 中，， 是斜边 的一半，所以 ；
- 在 中，，所以 （等角对等边）；
- 。
回顾： 结果 ， 是 的一个三等分点。这道题里，角平分线“生出”了相等的角，相等的角又“生出”了相等的边，这是等角对等边最常见的用法。
大边对大角（拓展）#
等腰三角形说的是“边相等 ⇔ 角相等”，自然会问：边不相等时，角怎样？
在一个三角形中，较大的边所对的角也较大。
证明： 在 中，，要证 。想法是把“不等”转化成“相等”：在 上截取 ，连接 。
- ，所以 （等边对等角）；
- 是 的外角，所以 ；
- 在 的内部，所以 。
于是 。
反过来，较大的角所对的边也较大。可以用反证法：如果 ，而 不大于 ，那么要么 ，得到 ；要么 ，由上面的结论得到 。两种情况都和 矛盾（见第一部分“怎样证明”）。
由此马上知道：直角三角形中直角最大，所以斜边最长；从直线外一点到直线的所有线段中，垂线段最短。
最短路径问题#
问题 如图，、 两个村庄在一条河 的同侧，要在河边修一个水泵站 ，分别向两村供水。 修在哪里，所用水管 最短？
思路： 能直接用的基本事实是“两点之间，线段最短”（见第一部分“基本事实”）。可是 、 在 处拐了个弯，不是一条线段。如果能把 换成一条等长的线段，放到 的另一侧，折线 就可能被拉直。轴对称正好能做到：对称不改变长度。
作法： 作点 关于直线 的对称点 ，连接 ，交 于点 。点 就是所求的位置。
为什么最短： 垂直平分 ，所以 上任意一点到 和 的距离相等。
- 对点 ：；
- 对 上另外任意一点 ：。、、 不在一条直线上时，它们组成三角形，两边之和大于第三边，所以 。
所以 最短。不管 在 上的什么位置，折线 都比线段 长，只有 落在 时，折线才被拉成直线。
同类问题：造桥选址。 、 两地在一条河的两岸，河的两岸平行，要在河上垂直于河岸造一座桥 ，使路径 最短。桥长 等于河宽，是固定的，只要 最短。
这次两段路被桥隔开，接不起来。办法是把 沿垂直于河岸的方向平移一个河宽，得到 。 和 平行且相等，四边形 是平行四边形，（见第五部分“四边形”）。于是 ，连接 交对岸于 时最短。
两道题是同一个想法： 用一种不改变长度的变换（轴对称、平移），把拐弯的路径或断开的路径接成一条线段，再用“两点之间线段最短”。
易错点#
- 等腰三角形不分情况。 只说“一个角是 ”，要分它是顶角还是底角；只说“两边长 3 和 7”，要分哪条是腰，并检查三边关系：腰为 3 时 ，不能构成三角形，只能是 7、7、3，周长 17。
- 三线合一用错了线。 重合的是顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高。腰上的中线和腰上的高一般不重合。
- 把对称轴说成线段或射线。 对称轴是直线。等腰三角形的对称轴是“顶角平分线所在的直线”，不能说“对称轴是顶角平分线”，因为角的平分线是射线，三角形的角平分线是线段。
- 30° 角的结论用错边。 等于斜边一半的是 角所对的直角边，也就是较短的那条直角边；而且只在直角三角形里成立。
- 垂直平分线的性质和判定弄反。 已知点在垂直平分线上，推距离相等，是性质；已知距离相等，推点在垂直平分线上，是判定。写理由时要分清。
- 最短路径不看两点在直线的哪一侧。 两点在直线两侧时，直接连接两点，和直线的交点就是所求；在同侧时，才需要作对称点。
联系#
- 全等三角形： 本页的性质都借助全等来证；轴对称的两个图形本来就全等。见第五部分“全等三角形”。
- 平移、轴对称与旋转： 画轴对称图形，坐标系中关于 轴、 轴对称的点的坐标。见第六部分“平移、轴对称与旋转”。
- 有理数： 互为相反数的两个数在数轴上关于原点对称，是对称最早的样子。见第二部分“有理数”。
- 二次函数： 抛物线是轴对称图形，顶点在对称轴上，和等腰三角形的顶点在对称轴上是同一种样子；对称点的纵坐标相等，常用来求对称轴。见第七部分“二次函数”。
- 尺规作图： 作线段的垂直平分线、作角平分线、过一点作垂线，依据都是轴对称。见第五部分“尺规作图”。
- 勾股定理： 含 角的直角三角形三边之比 ，要用勾股定理算出。见第五部分“勾股定理”。
- 四边形： 菱形的对角线互相垂直，靠的就是等腰三角形的三线合一。见第五部分“四边形”。
- 圆： 外心是三边垂直平分线的交点；圆是轴对称图形，垂径定理就是圆的对称性。见第九部分“圆的有关性质”和第九部分“与圆有关的位置关系”。
- 分类讨论： 等腰三角形的边、角不确定时要分情况，是分类讨论最常见的场合。见第十一部分“分类讨论”。