2024 年河南中考数学
河南省 2024 年普通高中招生考试数学试卷，共 23 题，满分 120 分，考试时间 100 分钟。
第 1 题#
考点：第二部分“有理数”
如图，数轴上点 表示的数是
- A. −1
- B. 0
- C. 1
- D. 2
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答案： A
思路： 数轴上的点和数一一对应。点 在原点左边，和原点隔一个单位长度，表示的数是 。
第 2 题#
考点：第二部分“有理数的运算”
据统计，2023 年我国人工智能核心产业规模达 5 784 亿元。数据“5 784 亿”用科学记数法表示为
- A.
- B.
- C.
- D.
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答案： C
思路： 先把“亿”换成数：1 亿 ，所以 5 784 亿 。科学记数法要求 中 ，A、D 的 都不在这个范围内。
第 3 题#
如图，乙地在甲地的北偏东 方向上，则 的度数为
- A.
- B.
- C.
- D.
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答案： B
思路： 两地的“正北”方向都是竖直向上的，所以两条指北的直线互相平行。连接甲、乙的线段是它们的截线， 的角和 是内错角，两直线平行，内错角相等，所以 。
第 4 题#
考点：第八部分“投影与视图”
信阳毛尖是中国十大名茶之一。如图是信阳毛尖茶叶的包装盒，它的主视图为
- A. 矩形，中间有两条竖线（见选项图 A）
- B. 矩形，中间有一条竖线（见选项图 B）
- C. 矩形（见选项图 C）
- D. 正六边形（见选项图 D）
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答案： A
思路： 包装盒是正六棱柱，主视图是从正面（箭头方向）看到的图形。正面对着我们的是一个侧面，左右两边各有一个斜着的侧面，看过去被压窄了，所以是一个矩形被两条竖线分成三块，中间宽、两边窄。六边形 D 是从上面看到的俯视图。
第 5 题#
下列不等式中，与 组成的不等式组无解的是
- A.
- B.
- C.
- D.
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答案： A
思路： 先解 ：两边同乘 ，不等号改变方向，得 。不等式组无解，就是两个解集在数轴上没有公共部分。 和 一个在 左边、一个在 2 右边，没有重叠；B、C、D 都和 有公共部分。
第 6 题#
如图，在 中，对角线 ， 相交于点 ，点 为 的中点， 交 于点 。若 ，则 的长为
- A.
- B. 1
- C.
- D. 2
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答案： B
思路： 平行四边形的对角线互相平分， 是 的中点， 又是 的中点，所以 。，得 ，对应边成比例：。
第 7 题#
考点：第三部分“整式的乘法”
计算
的结果是
- A.
- B.
- C.
- D.
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答案： D
思路： 括号里是 个 相乘，按乘方的定义就是 。再用幂的乘方法则“底数不变，指数相乘”：。这里指数本身是字母，只要回到乘方的定义就不会被它迷惑。
第 8 题#
考点：第十部分“概率”
豫剧是国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱。正面印有豫剧经典剧目人物的三张卡片如图所示，它们除正面外完全相同。把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为
- A.
- B.
- C.
- D.
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答案： D
思路： “放回”说明两次抽取互不影响，每次都有 3 种等可能的结果。列表或画树状图，共 种等可能的结果，其中两次相同的有 3 种，所以概率是 。
第 9 题#
如图， 是边长为 的等边三角形 的外接圆，点 是 的中点，连接 ，。以点 为圆心， 的长为半径在 内画弧，则阴影部分的面积为
- A.
- B.
- C.
- D.
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答案： C
思路： 阴影是以 为圆心、 为半径的扇形，要求出半径和圆心角。，所以 所对的圆心角是 ， 是它的中点，， 是等边三角形，。 是外接圆半径：等边三角形的外心也是重心，在高上且到顶点的距离是高的 ，高为 ，所以 。圆内接四边形 的对角互补，。所以阴影面积为
第 10 题#
考点：第七部分“函数”、第七部分“一次函数”、第七部分“二次函数”、第十一部分“以形助数”
把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患。数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流 与使用电器的总功率 的函数图象（如图 1），插线板电源线产生的热量 与 的函数图象（如图 2）。下列结论中错误的是
- A. 当 W 时， A
- B. 随 的增大而增大
- C. 每增加 1 A， 的增加量相同
- D. 越大，插线板电源线产生的热量 越多
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答案： C
思路： 逐项读图。A 直接从图 1 读出。图 2 从左往右一直上升，B 对。把两张图接起来： 越大 越大， 越大 越多，D 对。图 2 是一条越来越陡的曲线，不是直线，说明 每增加 1 A， 的增加量越来越大；增加量相同的只有一次函数（直线），C 错。
第 11 题#
考点：第三部分“整式的加减”
请写出 的一个同类项：____。
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答案： （答案不唯一）
思路： 同类项要求所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，系数可以不同。 只含字母 ，指数是 1，所以 、、 都可以。
第 12 题#
考点：第十部分“数据的分析”
2024 年 3 月是第 8 个全国近视防控宣传教育月，其主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”。某校组织各班围绕这个主题开展板报宣传活动，并对各班的宣传板报进行评分，得分情况如图，则得分的众数为 ____ 分。
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答案： 9
思路： 众数是一组数据中出现次数最多的数据。条形图的横轴是得分，纵轴是班数，最高的条形对应 9 分（13 个班），所以众数是 9 分。注意众数是得分 9，而不是班数 13。
第 13 题#
考点：第四部分“一元二次方程”
若关于 的方程 有两个相等的实数根，则 的值为 ____。
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答案：
思路： 一元二次方程有两个相等的实数根，就是判别式等于 0：，得 。
第 14 题#
考点：第六部分“平移、轴对称与旋转”、第五部分“勾股定理”、第六部分“平面直角坐标系”、第十一部分“以数解形”
如图，在平面直角坐标系中，正方形 的边 在 轴上，点 的坐标为 ，点 在边 上。将 沿 折叠，点 落在点 处。若点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ____。
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答案：
思路： 折叠是轴对称，折叠前后对应线段相等：，。设正方形边长为 ，则 。在 中，，又 ，得 ，所以 。设 ，则 ，，由 得 ，。两次都是“折叠给等长，勾股定理列方程”。
第 15 题#
考点：第九部分“与圆有关的位置关系”、第九部分“圆的有关性质”、第五部分“勾股定理”
如图，在 中，，，线段 绕点 在平面内旋转，过点 作 的垂线，交射线 于点 。若 ，则 的最大值为 ____，最小值为 ____。
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答案： ；
思路： 点 在以 为圆心、1 为半径的圆上运动。，所以 、 都在以 为直径的圆上，， 越小 越大。，而 在 与 相切时最大（见第九部分“与圆有关的位置关系”），所以最大值、最小值都出现在相切的时候。相切时 ，； 和 都是 所对的圆周角，相等或互补，由此可得 ，所以 是等腰直角三角形，。 在 外侧时 ， 在 、 之间时 。
第 16 题#
考点：第三部分“二次根式”、第三部分“分式”、第二部分“实数”、第三部分“因式分解”
（1）计算：；
（2）化简：
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答案：
（1）原式 。
（2）
思路： （1）；，它的 0 次幂等于 1。（2）先把括号里通分：；除以一个分式等于乘它的倒数，再把 分解成 ，约去公因式。
第 17 题#
考点：第十部分“数据的分析”
为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动。在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如下。
技术统计表：
| 队员 | 平均每场得分 | 平均每场篮板 | 平均每场失误 |
|---|---|---|---|
| 甲 | 26.5 | 8 | 2 |
| 乙 | 26 | 10 | 3 |
根据以上信息，回答下列问题。
（1）这六场比赛中，得分更稳定的队员是 ____（填“甲”或“乙”）；甲队员得分的中位数为 27.5 分，乙队员得分的中位数为 ____ 分。
（2）请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好。
（3）规定“综合得分”为：平均每场得分 × 1 + 平均每场篮板 × 1.5 + 平均每场失误 ×（−1），且综合得分越高表现越好。请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好。
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答案：
（1）甲；29。
（2）因为甲的平均每场得分大于乙的平均每场得分，且甲的得分更稳定，所以甲队员表现更好。（答案不唯一，合理即可）
（3）甲的综合得分为 ，乙的综合得分为 。因为 ，所以乙队员表现更好。
思路： （1）稳定性看数据的波动：甲的折线在 24 到 28 之间小幅起伏，乙从 14 升到 32，波动大，所以甲更稳定。乙的六场得分从小到大是 14，20，28，30，32，32，偶数个数据取中间两个的平均数，。（2）比较两组数据，平均数看整体水平，方差看稳定性。（3）综合得分就是加权平均的想法，按规定的权重代入计算；失误的权重是 ，失误越多得分越低。评价标准变了，结论也可能变。
第 18 题#
考点：第七部分“反比例函数”、第六部分“平移、轴对称与旋转”、第十一部分“以数解形”
如图，矩形 的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线 ， 相交于点 ，反比例函数 （）的图象经过点 。
（1）求这个反比例函数的表达式。
（2）请先描出这个反比例函数图象上不同于点 的三个格点，再画出反比例函数的图象。
（3）将矩形 向左平移，当点 落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为 ____。
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答案：
（1）由图知 。因为反比例函数 的图象经过点 ，所以 ，，这个反比例函数的表达式为 。
（2）描出格点 ，，，用光滑的曲线连接，图象如图。
（3）
思路： （1）待定系数法，一个点就能定出 。（2）图象上的格点，横、纵坐标都是整数且乘积为 6， 时只有 ，，，。（3）向左平移，纵坐标不变。，平移后纵坐标仍是 4，在图象上时 ，所以平移的距离是 。
第 19 题#
考点：第五部分“尺规作图”、第五部分“四边形”、第一部分“怎样证明”
如图，在 中， 是斜边 上的中线， 交 的延长线于点 。
（1）请用无刻度的直尺和圆规作 ，使 ，且射线 交 于点 （保留作图痕迹，不写作法）。
（2）证明（1）中得到的四边形 是菱形。
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答案：
（1）如图。
（2）由（1）得 ，所以 。又因为 ，所以四边形 是平行四边形。因为 是 斜边 上的中线，所以 。所以 是菱形。
思路： （1）按“作一个角等于已知角”，以 为一边在点 处复制 （见第五部分“尺规作图”）。（2） 和 是同位角，同位角相等，所以 ，两组对边分别平行，先得到平行四边形；再找一组邻边相等：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，。
第 20 题#
考点：第九部分“圆的有关性质”、第八部分“锐角三角函数”、第五部分“三角形”、第十一部分“辅助线从哪里来”
如图 1，塑像 在底座 上，点 是人眼所在的位置。当点 高于人的水平视线 时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大。数学家研究发现：当经过 ， 两点的圆与水平视线 相切时（如图 2），在切点 处感觉看到的塑像最大，此时 为最大视角。
（1）请仅就图 2 的情形证明 。
（2）经测量，最大视角 为 ，在点 处看塑像顶部点 的仰角 为 ，点 到塑像的水平距离 为 6 m。求塑像 的高（结果精确到 0.1 m。参考数据：）。
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答案：
（1）如图，设 与圆交于点 ，连接 。则 。因为 是 的外角，所以 ，所以 。
（2）在 中，，，所以 。因为 ，所以 。在 中，。所以
答：塑像 的高约为 6.9 m。
思路： （1） 的顶点在圆上， 的顶点在圆外，要比较它们，就在圆上找一个和 相等、又能和 放进同一个三角形的角： 与圆的交点 处的 和 是同弧所对的圆周角，而它又是 的外角，大于不相邻的内角 。（2）、、 在同一条竖直线上，，两段分别在两个有公共直角边 的直角三角形里，用正切求出。
第 21 题#
考点：第四部分“二元一次方程组”、第四部分“不等式与不等式组”、第七部分“一次函数”
为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了 A，B 两种食品作为午餐。这两种食品每包质量均为 50 g，营养成分表如下。
A 营养成分表：
| 项目 | 每 50 g |
|---|---|
| 热量 | 700 kJ |
| 蛋白质 | 10 g |
| 脂肪 | 5.3 g |
| 碳水化合物 | 28.7 g |
| 钠 | 205 mg |
B 营养成分表：
| 项目 | 每 50 g |
|---|---|
| 热量 | 900 kJ |
| 蛋白质 | 15 g |
| 脂肪 | 18.2 g |
| 碳水化合物 | 6.3 g |
| 钠 | 236 mg |
（1）若要从这两种食品中摄入 4 600 kJ 热量和 70 g 蛋白质，应选用 A，B 两种食品各多少包？
（2）运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多。若每份午餐选用这两种食品共 7 包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于 90 g，且热量最低，应如何选用这两种食品？
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答案：
（1）设选用 A 种食品 包，B 种食品 包。根据题意，得
解方程组，得
答：选用 A 种食品 4 包，B 种食品 2 包。
（2）设选用 A 种食品 包，则选用 B 种食品 包。根据题意，得 ，解得 。
设总热量为 kJ，则 。因为 ，所以 随 的增大而减小。所以当 时， 最小，此时 。
答：选用 A 种食品 3 包，B 种食品 4 包。
思路： （1）两个未知数，题目给了热量、蛋白质两个相等关系，列二元一次方程组。（2）“不低于”是不等关系，列不等式得出 的范围；“热量最低”是求最值，把热量写成 的一次函数，用增减性在范围的端点取最小值（见第七部分“一次函数”）。
第 22 题#
从地面竖直向上发射的物体离地面的高度 （m）满足关系式 ，其中 （s）是物体运动的时间，（m/s）是物体被发射时的速度。社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球。
（1）小球被发射后 ____ s 时离地面的高度最大（用含 的式子表示）。
（2）若小球离地面的最大高度为 20 m，求小球被发射时的速度。
（3）按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同。小明说：“这两次间隔的时间为 3 s。”已知实验楼高 15 m，请判断他的说法是否正确，并说明理由。
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答案：
（1）
（2）根据题意，当 时，，所以
解得 （负值舍去）。即小球被发射时的速度是 20 m/s。
（3）小明的说法不正确。理由如下：由（2）得 。当 时，，解得 ，。（s），所以两次间隔的时间为 2 s，小明的说法不正确。
思路： （1） 是 的二次函数，二次项系数 ，开口向下，顶点处最高，顶点横坐标是 。（2）把顶点代入，得 。（3）“高度等于 15 m”就是函数值等于 15，把函数问题转化成一元二次方程，两个根就是两次到达的时刻，间隔是两根之差。
第 23 题#
考点：第五部分“四边形”、第五部分“全等三角形”、第十一部分“分类讨论”、第一部分“定义、命题与定理”
综合与实践
在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验。请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究。
定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形。
（1）操作判断
用分别含有 和 角的直角三角形纸板拼出如图 1 所示的 4 个四边形，其中是邻等对补四边形的有 ____（填序号）。
（2）性质探究
根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质。下面研究与对角线相关的性质。
如图 2，四边形 是邻等对补四边形，， 是它的一条对角线。
① 写出图中相等的角，并说明理由；
② 若 ，，，求 的长（用含 ，， 的式子表示）。
（3）拓展应用
如图 3，在 中，，，，分别在边 ， 上取点 ，，使四边形 是邻等对补四边形。当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出 的长。
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答案：
（1）②④
（2）① 。理由如下：
如图，延长 至点 ，使 ，连接 。因为四边形 是邻等对补四边形，所以 。又因为 ，所以 。又 ，所以 （SAS），所以 ，，所以 ，所以 。
② 过点 作 ，垂足为点 。因为 ，所以
因为 ，所以 。在 中，，所以
（3） 或
思路： （1）逐个检查定义的两个条件。① 是平行四边形，对角相等而不互补；③ 的两组对角都不互补。② 和 ④ 中，两个直角顶点相对，对角互补；② 是两个全等的含 角的三角形拼成，④ 上面是等腰直角三角形，都有一组邻边相等。
（2）要证的两个角 、 分在对角线两侧，条件 也分在两侧。“对角互补”提示把 搬到 的邻补角上：延长 构造和 全等的三角形，把分散的条件集中到等腰三角形 里（见第十一部分“辅助线从哪里来”）。于是 平分 ，求 就在等腰三角形里作底边上的高，用余弦（见第八部分“锐角三角函数”）。
（3），对角互补要求 ，即 。四组邻边中，若 或 ，由 HL 可得 ，两组邻边同时相等，不合题意，所以只能是 或 ，分两种情况计算。两种情况都是先求出 ，再以 为原点、 为 轴、 为 轴建立坐标系，由 沿 方向走 得到点 的坐标，再算 。 时，， 是 在 上的垂足，，得 ，；这时 ，，确实只有一组邻边相等。 时，设 ，则 ，由 得 ，，，得 ，；这时 ， 在边 上，，也只有一组邻边相等。