二元一次方程组 ★
对应人教版七年级下册第十章。
两个未知数，需要两个独立的等量关系才能确定；解方程组的核心是消元：把两个未知数变成一个，化成一元一次方程。 在坐标系里看，每个二元一次方程的解组成一条直线，方程组的解就是两条直线的交点。
从哪里来：一个方程定不住两个数#
“笼子里有鸡和兔共 10 只，数一数脚共 32 只。鸡、兔各有几只？”
设鸡有 只，兔有 只。题目里有两个等量关系：
- 头数：；
- 脚数：。
像 这样，含有两个未知数、含未知数的项的次数都是 1 的整式方程，叫二元一次方程。使方程两边相等的一对值，比如 ，，叫它的一个解，记作
只看头数，满足 的数对有很多；只看脚数，满足 的数对也有很多。只取自然数，列出来：
| 满足的方程 | 解（，） |
|---|---|
| ，，，，，，，… | |
| ，，，，，，… |
两行里只有 同时出现：鸡 4 只、兔 6 只。
一个二元一次方程有无数个解，两个未知数被“定住”需要两个条件同时成立。 把两个方程合在一起，用大括号连起来，就是二元一次方程组：
两个方程的公共解叫方程组的解。
消元：把二元变成一元#
一个一个去试太慢。已经会解一元一次方程了，能不能把两个未知数变成一个？这就是消元。
其实用一元一次方程也能做开头这道鸡兔同笼题（鸡和兔共 10 只，脚共 32 只）：设鸡有 只，那么兔有 只，根据脚数得 ，解得 。这里用 表示兔的只数，就是悄悄用了第一个方程 。把这一步明明白白写出来，就是代入消元法。
代入消元法： 从一个方程中用一个未知数表示另一个，代入另一个方程。依据是等量代换： 和 相等，在另一个方程里就可以用 替换 。
加减消元法： 把两个方程的两边分别相加或相减，使某个未知数的系数变成 0。依据是等式的性质：如果 ，，那么 ，。某个未知数的系数不相等时，先用等式的性质 2 把方程两边同乘一个数，让它的系数相等或互为相反数。
例 1 解方程组
思路： 第一个方程已经是“用 表示 ”的样子，直接代入第二个方程。
解： 把 代入 ，得 ，即 ，所以 。
把 代入 ，得 。所以方程组的解是 ，。
例 2 解方程组
思路： 哪个未知数的系数都不是 1 或 −1，用代入法要先变出 ，带着分母算，很麻烦。看系数： 的系数是 4 和 −3，符号相反。第一个方程乘 3、第二个方程乘 4， 的系数就变成 12 和 −12，两式相加， 就消掉了。
解： 第一个方程两边乘 3，第二个方程两边乘 4，得
两式相加，得 ，所以 。把 代入 ，得 ，所以 。
所以方程组的解是
检验： ，，两个方程都成立。
想一想： 两种方法怎么选？
| 方程组的样子 | 更方便的方法 | 原因 |
|---|---|---|
| 有一个方程已经是 或 ，或者某个未知数的系数是 1、−1 | 代入消元 | 不用变形或变形简单，不会出现分母 |
| 同一个未知数的系数相等、互为相反数，或者成倍数 | 加减消元 | 直接相加减，或乘一次就能消去 |
两种方法的目标是一样的：让一个未知数消失，剩下一个一元一次方程。
几何意义：两条直线的交点#
把 的每一个解 都看成坐标系中的一个点。只取整数时，这些点排成一行；、 可以取任意实数时，这些点连成一条直线。原因是 可以写成 ，这是一次函数，图象是直线（见第七部分“一次函数”）。同样， 的解组成直线 。
方程组的解要同时满足两个方程，就是同时在两条直线上的点，也就是交点 。
从这个角度看，就明白方程组的解为什么可能有三种情况：
| 方程组 | 消元时发生了什么 | 两条直线 | 解的情况 |
|---|---|---|---|
| ， | 相加得 ，， | 相交 | 唯一解 |
| ， | 第一个方程乘 2 得 ，和第二个方程矛盾 | 平行 | 无解 |
| ， | 第一个方程乘 2 就是第二个方程 | 重合 | 无数个解 |
第二行的两个方程互相矛盾： 不可能既等于 2 又等于 2.5。第三行的第二个方程只是第一个方程乘 2，没有提供新条件，等于只有一个方程。所以，“两个方程定住两个未知数”，要求这两个方程互不矛盾、又不是同一个条件。
实际问题：两个量，两个关系#
题目里有两个不知道的量时，设两个未知数往往更自然：每个等量关系直接写成一个方程，不必先在脑子里消元。
例 3 一艘船顺流航行 48 km 用了 3 h，逆流航行 48 km 用了 4 h。求船在静水中的速度和水流的速度。
思路： 顺流时水推着船走，速度是“船速 + 水速”；逆流时水挡着船，速度是“船速 − 水速”。两个速度都能从路程和时间算出来：顺流速度 km/h，逆流速度 km/h。
解： 设船在静水中的速度为 km/h，水流速度为 km/h。根据题意，得
两式相加，得 ，；两式相减，得 ，。
答：船在静水中的速度是 14 km/h，水流速度是 2 km/h。
回顾： 这道题也可以只设一个未知数：设静水速度为 km/h，则水速是 km/h，由逆流得 。两种列法用的是同样的两个关系，区别只在于第一个关系是写成方程，还是直接用来表示另一个量。
三元一次方程组（拓展）#
三个未知数、三个方程，想法完全一样：消元。先消去一个未知数，得到二元一次方程组，再消去一个，得到一元一次方程。
例 4 解方程组
思路： 前两个方程相减， 和 同时消掉，直接得到 。
解： 第一个方程减第二个方程，得 ，所以 。
把 代入第一个和第三个方程，得
两式相加，得 ，，于是 。
所以方程组的解是 ，，。
易错点#
- 两式相减时只改了第一项的符号。 是 ，减去的方程里每一项都要变号，右边的常数也一样。
- 方程乘一个数时漏乘常数项。 两边乘 4，得 ，右边的 1 也要乘。
- 把变形后的式子代回它自己。 从鸡兔同笼的第一个方程 得出 ，要代入第二个方程 ；代回第一个方程只会得到 ，什么也求不出。
- 只求出一个未知数就停下。 方程组的解是一对数，求出 后要代回去求 ，并写成方程组的形式。
- 列出的两个方程其实是同一个关系。 两个方程如果只是互相乘了一个倍数，就只提供了一个条件，解不唯一。列方程时要找两个不同的等量关系。
联系#
- 一次函数： 每个二元一次方程的图象是一条直线，方程组的解就是两条直线的交点；平行无解，重合有无数个解。用两点求一次函数解析式的待定系数法，要解的正是二元一次方程组。见第七部分“一次函数”。
- 一元一次方程： 消元的目的就是化成一元一次方程；用一个未知数列方程时，“用 表示另一个量”其实就是代入。见第四部分“一元一次方程”。
- 平面直角坐标系： 方程的一个解 就是坐标系里的一个点。见第六部分“平面直角坐标系”。
- 一元二次方程： 求直线和抛物线的交点，消元后得到的是一元二次方程。见第四部分“一元二次方程”。
- 方程思想与建模： 题目里有几个未知量，就去找几个互不相同的等量关系。见第十一部分“方程思想与建模”。