四边形 ★

对应人教版八年级下册第二十一章。

平行四边形是两组对边分别平行的四边形；矩形、菱形、正方形是在它的基础上再加一个角或边的条件得到的。 研究它们的办法都一样：用对角线把四边形分成三角形，借助全等把四边形的问题变回三角形的问题。

从哪里来：一个家族#

一般的四边形“不稳定”，四条边定了，形状还能随意变，能说的性质很少。要研究，先挑最规整的一类：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形。 再在平行四边形上加条件，就得到更特殊的图形：

• 矩形： 有一个角是直角的平行四边形；
• 菱形： 有一组邻边相等的平行四边形；
• 正方形： 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形，它既是矩形，又是菱形。

这张图决定了学习的方法：下一层自动拥有上一层的全部性质。 矩形、菱形、正方形都是平行四边形，平行四边形的性质它们都有，只需要再研究“多出来的那个条件”带来了什么。判定则反过来：要说明一个图形在某一层，只要说明它在上一层，再加上这一层的条件。

平行四边形的性质#

平行四边形 中，，。要找边和角之间的关系，连接对角线 ，把它分成两个三角形：

推导： 因为 ，所以 ；因为 ，所以 （两直线平行，内错角相等）。又 ，所以 （ASA）。于是 ，，。再把 、 处的两个角分别加起来，。

平行四边形的性质：

• 边： 两组对边分别平行且相等；
• 角： 两组对角分别相等，邻角互补（两直线平行，同旁内角互补）；
• 对角线： 互相平分。

对角线为什么互相平分？设 、 交于点 。在 和 中，，（内错角），（刚证过），所以 （ASA），，。

从变换看： 把平行四边形绕 旋转 ，因为 、， 转到 ， 转到 ，整个图形和自己重合。平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。对边相等、对角相等，都是“转过去能重合”的结果（见第六部分“平移、轴对称与旋转”）。

平行线间的距离处处相等。 设直线 ，在 上任取两点 、，分别向 作垂线段 、。

、 都垂直于 ，所以 ；又 ，所以四边形 是平行四边形，（对边相等）。、 是任取的，所以两条平行线之间的距离是一个确定的值；同底的三角形，第三个顶点在与底平行的直线上移动，面积不变。

平行四边形的判定#

判定是性质反过来问：满足什么条件的四边形，一定是平行四边形？性质里的每一条，反过来基本都成立：

每一条判定最后都回到了定义“两组对边分别平行”，用的工具都是全等和平行线的判定（见第五部分“相交线与平行线”）。

例 1　如图，在平行四边形 中，点 、 在对角线 上，。求证：四边形 是平行四边形。

思路一：证两组对边分别相等。 在 里， 在 里，这两个三角形有 、，夹角 （，内错角），用 SAS 得 。同样由 得 。两组对边分别相等，所以是平行四边形。

思路二：看对角线。 四边形 的对角线是 和 。 在 上，而平行四边形 的对角线互相平分，交点 同时是 、 的中点。只要说明 也是 的中点就行了。

证明（用思路二）： 连接 ，交 于点 。因为四边形 是平行四边形，所以 ，。又 ，所以 ，即 。四边形 的对角线 、 互相平分，所以它是平行四边形。

想一想： 思路一要证两次全等，思路二一次全等都不用。区别在于思路二注意到了这个图形的中心对称： 和 关于 对称， 和 也关于 对称。图中如果有平行四边形的对角线，先想“对角线互相平分”这个判定。

三角形的中位线#

连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线。

三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 如图，、 分别是 、 的中点，则

从哪里想到： 要证 是 的一半，可以把 加倍，再证加倍后的线段等于 。怎样加倍？ 是 的中点，把 绕 旋转 ， 落到 ， 落到 延长线上的点 ， 正好是 的两倍。

证明： 延长 到点 ，使 ，连接 。

• 在 和 中，，（对顶角），，所以 （SAS）。
• 于是 ，，所以 ，即 。
• 四边形 中， 和 平行且相等，所以它是平行四边形，，。
• 是 的一半，所以 ， 等于 的一半。

例 2　求证：顺次连接任意四边形各边中点，得到的四边形是平行四边形。

思路： 四边形各边的中点，两两在同一个三角形的两边上吗？连接对角线 ，、 是 两边的中点，、 是 两边的中点，、 都是中位线，都和 有关系。

证明： 连接 。在 中，、 分别是 、 的中点，所以 ， 等于 的一半。同理，在 中，， 等于 的一半。所以 ，，四边形 是平行四边形（一组对边平行且相等）。

回顾： 中位线把“中点”这个条件转化成了“平行”和“一半”。题目里有两个以上的中点时，常常可以连线构造中位线（见第十一部分“辅助线从哪里来”）。中点四边形的形状只和原四边形的对角线有关，这一点在本页最后还会用到。

矩形：加一个直角#

有一个角是直角的平行四边形叫矩形。 平行四边形邻角互补，一个角是直角，四个角就都是直角。

矩形多出来的性质：

• 四个角都是直角；
• 对角线相等。 在 和 中，，，，所以 （SAS），。

对角线相等又互相平分，所以 ，四个顶点到 的距离相等。矩形还是轴对称图形，有两条对称轴，是两组对边中点的连线所在的直线。

矩形的判定：

• 有一个角是直角的平行四边形（定义）；
• 有三个角是直角的四边形（第四个角是 ，两组对角分别相等，先是平行四边形）；
• 对角线相等的平行四边形。 已知平行四边形 中 ，由 （SSS）得 ，这两个角又互补，所以都是 。

例 3　如图，矩形 的对角线交于点 ，，。求 和 的长。

思路： 矩形的对角线相等且互相平分，所以 ， 是等腰三角形；又有一个角是 ，它是等边三角形。

解： 因为四边形 是矩形，所以 ，并且 、 互相平分，从而 。又 ，所以 是等边三角形，，。

在 中，

回顾： 矩形的对角线把矩形分成四个等腰三角形。对角线的夹角是 时出现等边三角形，这时 ， 是 的一半，正是含 角的直角三角形（见第五部分“轴对称与等腰三角形”）。

直角三角形斜边上的中线#

把矩形沿一条对角线切开，得到两个直角三角形。矩形的“对角线相等且互相平分”，放到直角三角形里就是：

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

证明： 在 中，， 是斜边 的中点。延长 到点 ，使 ，连接 、。四边形 的对角线互相平分，是平行四边形；又 ，所以它是矩形，。于是 是 的一半，也就是 的一半。

所以 ：斜边的中点到三个顶点的距离相等。

反过来也成立： 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。设 是 的中点，。由等边对等角，，，所以 。三个角的和是 ，所以 ，。

学了圆以后会看到，这两句话就是“直径所对的圆周角是直角”和它的逆命题：、、 都在以 为圆心的圆上（见第九部分“圆的有关性质”）。

菱形：加一组相等的邻边#

有一组邻边相等的平行四边形叫菱形。 平行四边形对边相等，一组邻边相等，四条边就都相等。

菱形多出来的性质：

• 四条边都相等；
• 对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角。 在 中，，是等腰三角形； 是 的中点（平行四边形的对角线互相平分），所以 是底边上的中线。由三线合一，， 平分 。

菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线都是它的对称轴。

菱形的面积： 对角线把菱形分成 和 ，它们以 为底，高分别是 和 ，所以

菱形的面积等于两条对角线乘积的一半。 推导只用到“对角线互相垂直”，所以任何对角线互相垂直的四边形，面积都可以这样算。菱形也是平行四边形，面积还可以用“底 × 高”算。

菱形的判定：

• 有一组邻边相等的平行四边形（定义）；
• 四条边都相等的四边形（两组对边分别相等，先是平行四边形）；
• 对角线互相垂直的平行四边形。 对角线 ，又 ，所以 垂直平分 ，（垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）。

例 4　菱形 的对角线 ，。求菱形的边长、面积，以及边 上的高。

思路： 菱形的对角线互相垂直平分，把菱形分成四个全等的直角三角形，直角边是两条对角线的一半。面积有两种算法：对角线乘积的一半，或者底乘高，两种算出来一定相等，由此求高。

解： 设对角线交于点 ，则 ，，。在 中，，边长是 5。面积 。设 边上的高为 ，则 ，即 ，。

回顾： 求高时没有去找高的垂足，而是把同一块面积算两遍，列出方程。这和勾股定理的拼图证明是同一种想法：那里把边长为 的大正方形的面积用两种方法表示，再令它们相等，得到 （见第五部分“勾股定理”）。

正方形：两个条件都加上#

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形。 它既是矩形又是菱形，两者的性质它全有。

• 边： 四条边都相等；
• 角： 四个角都是直角；
• 对角线： 相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角（所以对角线和边的夹角是 ，对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形）。

正方形有四条对称轴。判定时，先证它是矩形，再加一组邻边相等；或者先证它是菱形，再加一个直角。

对照：从对角线看四种图形#

把前面的性质放在一起：

看“对角线”一列：两条互相平分的线段，作为对角线总能围成平行四边形；再让它们相等，就是矩形；让它们垂直，就是菱形；既相等又垂直，就是正方形。

想一想： 回到例 2 的中点四边形。例 2 证明了：顺次连接任意四边形 各边中点 、、、，得到的四边形 是平行四边形。

、 平行于 且等于 的一半，、 平行于 且等于 的一半。所以中点四边形的边由原四边形的对角线决定：

• 原四边形的对角线相等（）时，中点四边形的邻边相等，是菱形；
• 原四边形的对角线互相垂直时，中点四边形的邻边互相垂直，是矩形；
• 两者都满足时，是正方形。

比如矩形的中点四边形是菱形，菱形的中点四边形是矩形。

梯形#

一组对边平行、另一组对边不平行的四边形叫梯形。 平行的两边叫梯形的底，不平行的两边叫梯形的腰。两腰相等的梯形叫等腰梯形；一腰和底垂直的梯形叫直角梯形。

梯形只有一组对边平行，所以它不是平行四边形。等腰梯形的两腰相等，于是“一组对边平行，另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形，见下面的易错点。

易错点#

• “一组对边平行，另一组对边相等”当作判定。 等腰梯形就满足这个条件，却不是平行四边形。可用的是“一组对边平行且相等”，说的必须是同一组对边。
• 跳过平行四边形直接判定矩形、菱形。 “对角线相等的四边形”不一定是矩形，“对角线互相垂直的四边形”不一定是菱形，前面都要加上“平行四边形”。不写“平行四边形”这一步、直接从四边形出发的常用判定，是“有三个角是直角”（矩形）和“四条边都相等”（菱形），它们的证明里已经先得到了平行四边形。
• 把中位线和中线混淆。 三角形的中线连接顶点和对边中点；中位线连接两边中点。
• 斜边上的中线用在非直角三角形里。 “中线等于这边的一半”只对直角三角形的斜边成立，用之前先确认直角和斜边。
• 菱形面积用错。 “对角线乘积的一半”要求对角线互相垂直；一般平行四边形不能这样算。
• 正方形的包含关系弄反。 正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形；但矩形、菱形不一定是正方形。

联系#

• 全等三角形、相交线与平行线： 本页的每条性质和判定，都是连一条对角线后，用平行线的性质得到相等的角，再用全等推出来的。见第五部分“全等三角形”和第五部分“相交线与平行线”。
• 三角形： 四边形的内角和 来自把它分成两个三角形。见第五部分“三角形”。
• 轴对称与等腰三角形： 菱形的对角线互相垂直来自等腰三角形的三线合一；矩形的对角线把它分成等腰三角形。见第五部分“轴对称与等腰三角形”。
• 平移、轴对称与旋转： 平行四边形是中心对称图形；中位线的证明就是把三角形绕中点旋转 。见第六部分“平移、轴对称与旋转”。
• 平面直角坐标系： 平行四边形的对角线互相平分，两条对角线的中点重合，所以在坐标系里，平行四边形 的顶点满足 ，，已知三个顶点就能求第四个。见第六部分“平面直角坐标系”和第十一部分“以数解形”。
• 相似： 中位线平行于第三边且等于它的一半，是“平行线分线段成比例”在比为 时的特例。见第八部分“相似”。
• 圆： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，说的就是直角顶点在以斜边为直径的圆上。见第九部分“圆的有关性质”。
• 辅助线： 倍长中线、连接对角线、构造中位线，都是本页证明里用过的辅助线。见第十一部分“辅助线从哪里来”。

真题： 2026 年第 9 题、2025 年第 6 题、2025 年第 9 题、2024 年第 23 题、2022 年第 5 题。