数据的收集、整理与描述

对应人教版七年级下册第十二章。

统计先要回答三个问题：数据从哪里来（调查谁、调查多少），怎样把一堆原始数据理清楚（频数和频率），怎样让别人一眼看懂（统计图）。

从哪里来#

学校想知道全校 1200 名同学最喜欢哪项运动，好决定多开哪种体育社团。最直接的办法是挨个问，可是 1200 份问卷要发、要收、要统计，花的工夫很大。能不能只问一部分人，就大致知道全校的情况？问哪些人才算数？问回来的答案又怎样整理、怎样展示？

这一页按做统计的先后顺序，把这几件事一件一件讲清楚：收集（调查谁）→ 整理（数一数，算比例）→ 描述（画成图）。后面的“分析”和“推断”见第十部分“数据的分析”。

收集：全面调查和抽样调查#

全面调查是对所有对象都做调查，比如人口普查、全班同学的体检。抽样调查是只抽取一部分对象做调查，再用这一部分的情况去估计全体的情况。

描述抽样调查，要分清四个词：

注意“考察对象”指的是我们关心的那个数据，不是人本身。调查睡眠时间，总体就是“所有同学的睡眠时间”；调查身高，总体就是“所有同学的身高”。同一群人，关心的数据不同，总体也就不同。

什么时候用哪一种？

样本要有代表性。 抽样调查的结果能不能代表总体，关键看样本是怎样抽的。下图左边的样本在总体中随机抽取，每个个体被抽到的机会相同，抽到的个体分散在各处；右边只抽了一个角落，如果这个角落恰好都是同一个年级、同一个班的同学，结果就会偏向这一小群人：

所以抽样要做到两点：一是随机，不挑不选，每个个体被抽到的机会相同；二是样本容量不能太小，只问 3 个人，偶然性太大。

整理：频数和频率#

问回来的是 40 个杂乱的答案。先数一数每一类各有多少个：用“正”字划记，一笔代表一个。

• 频数： 每一类出现的次数。所有频数加起来等于数据的总个数。
• 频率： 频数与数据总数的比，即

频率就是“这一类占全体的几分之几”，是一个比例，所以所有频率加起来等于 1。频率也常写成百分数：篮球的频率 0.3，就是 30%。

为什么除了频数还要算频率？频数只说明“有多少个”，频率说明“占多大比例”。两个样本容量不同的调查，比频数没有意义，比频率才公平。后面用样本估计总体、用频率估计概率，用的都是频率。

描述：把数据画成图#

同一组数据可以画成不同的统计图，每种图擅长说明的事不同。

条形图：各类有多少。 每一类画一个长条，长条的高度就是频数。哪一类最多、各类相差多少，一眼就能比出来：

扇形图：各部分占整体的百分比。 用整个圆代表全体，每一类用一个扇形表示，扇形的大小表示这一类占的百分比：

扇形的大小怎样确定？整个圆的圆心角是 ，代表全体（100%）。某一类占全体的百分之几，它的扇形就占整个圆的百分之几，圆心角也就是 的百分之几：

篮球占 30%，圆心角是 ；其他占 10%，圆心角是 。所有扇形的圆心角加起来正好是 ，因为所有百分比加起来是 100%。

折线图：随时间怎样变化。 横轴是时间，把每个时刻的数据描成点，再依次连成折线。折线上升表示增加，下降表示减少，越陡变化越快。用折线图表示数据随时间变化的趋势，这样的图也叫趋势图：

从图上能读出：这一天 4 时气温最低，14 时最高；4 时到 14 时气温上升，其中 8 时到 10 时上升得最快（折线最陡，2 小时升高 4 °C）。

频数分布直方图：数值型数据落在各个范围的有多少。 跳绳次数、身高、成绩这样的数据，几乎每个人都不一样，直接一个一个数没有意义。要先把数据按大小分组，再数每一组有多少个，画成直方图（画法见下一节）：

直方图和条形图看上去很像，区别在横轴：条形图的横轴是一个个类别（篮球、足球……），类别之间没有先后，所以长条之间留空；直方图的横轴是数轴，各组是一段一段首尾相接的区间，所以长方形紧挨在一起，中间没有缝。

四种统计图对照：

画直方图：先分组再数#

50 名同学 1 分钟跳绳的次数，最少 83 次，最多 176 次。画直方图分四步：

1. 算最大值与最小值的差： ，说明数据分布在 93 次的范围里。
2. 定组距和组数： 组距是每一组的宽度。取组距为 20，，要分 5 组才能把所有数据装下。为了好看好算，从 80 开始分：，，……，。
3. 列频数分布表： 数一数每组有多少个数据。

4. 画直方图： 横轴标出各组的端点，每组画一个长方形，高度等于这一组的频数。

每组都写成“”：左端点算在这一组里，右端点算在下一组里。这样每个数据恰好落在一组，不会被数两次，也不会漏掉。比如 120 次算在“”这一组，不算在前一组。

组数不宜太多也不宜太少：组太少，所有数据挤在一两组里，看不出分布；组太多，每组只有一两个数据，又回到了一个一个看。数据在 100 个以内时，一般分 5～12 组。

例题#

例 1　为了解某校 1200 名学生每天的睡眠时间，从中随机抽取 100 名学生进行调查。

（1）这次调查的总体、个体、样本、样本容量各是什么？

（2）如果只抽取九年级的 100 名学生，这样的样本合适吗？

思路： 先找出“考察对象”：这次关心的是睡眠时间，所以总体、个体、样本都要落在“睡眠时间”上，而不是“学生”上。

解：（1）总体是这 1200 名学生每天的睡眠时间；个体是每名学生每天的睡眠时间；样本是抽取的 100 名学生每天的睡眠时间；样本容量是 100。

（2）不合适。九年级学生学习任务重，学习时间往往更长，睡眠时间和七、八年级不同。只抽九年级，样本不能代表全校，得到的平均睡眠时间会偏少。应该在全校学生中随机抽取。

例 2　随机抽取部分学生调查最喜欢的运动，画条形图和扇形图时只记下了部分数据：最喜欢篮球的有 12 人，在扇形图中占 30%；“足球”对应扇形的圆心角是 。

（1）一共调查了多少名学生？最喜欢足球的有多少人？

（2）全校有 1200 名学生，估计最喜欢篮球的有多少人？

思路： 条形图给数量，扇形图给比例，两张图要靠“数量 = 总数 × 百分比”连起来。已知篮球的数量和百分比，就能求出总数；有了总数，别的类只要知道百分比或圆心角，就能求出数量。

解：（1）调查的总人数是 （人）。

足球的圆心角是 ，占全体的 ，所以最喜欢足球的有 （人）。

（2）样本中最喜欢篮球的占 30%，用样本估计总体，全校最喜欢篮球的约有 （人）。

回顾： 第（2）问用的是样本的频率，不是样本的频数。样本里 12 人喜欢篮球，不能说全校也是 12 人；能搬到总体上的，是“占 30%”这个比例。

例 3　前面画直方图时，50 名同学 1 分钟跳绳次数的频数分布表是：

根据这张表回答：

（1）哪一组的人数最多？

（2）1 分钟跳绳 140 次及以上为优秀。全校有 800 名学生，估计有多少人达到优秀？

思路： “140 次及以上”包括最后两组： 和 。先算这两组在样本中的频率，再乘全校人数。

解：（1） 这一组人数最多，有 16 人。

（2）样本中达到优秀的有 （人），频率是 。估计全校达到优秀的约有 （人）。

想一想： 这个“336 人”是准确的吗？不是。换一批 50 人来抽，频率可能是 0.40，也可能是 0.44。用样本估计总体，得到的是估计值，所以答案要写“约有”。样本越大、抽得越随机，估计值通常越接近真实值。

易错点#

• 把样本说成“学生”。 例 1 的样本是“100 名学生每天的睡眠时间”，不是“100 名学生”。统计考察的是数据。
• 样本容量带单位。 样本容量是个数，写“100”，不写“100 名”。
• 样本没有代表性。 在网上调查“大家每天上网多长时间”、只在篮球场调查“最喜欢的运动”，样本都偏向了一部分人，结论不能推到全体。
• 用扇形图比较两个群体的数量。 甲班扇形图里篮球占 30%，乙班占 40%，不能说乙班喜欢篮球的人多：扇形图只反映比例，两个班人数不同，数量要用“总数 × 百分比”算出来再比。
• 分组时端点重复或遗漏。 写成“，”，100 就不知道算哪一组。每组要写清楚是否包含端点。
• 把直方图当成条形图画。 直方图的长方形之间不留空，横轴标的是各组的端点，不是类别名称。
• 频率之和不等于 1。 百分数算完后加一加，不是 100% 就说明有一类算错了；扇形的圆心角加起来也要正好 。

联系#

• 数据的分析： 数据整理好以后，要用平均数、中位数、方差等数来刻画它；直方图的分组数据也能估计平均数。见第十部分“数据的分析”。
• 概率： 频率是统计里的比例，做大量重复试验时，频率会稳定在概率附近。见第十部分“概率”。
• 与圆有关的计算： 扇形的圆心角占 的几分之几，扇形的面积就占整个圆面积的几分之几，扇形图正是用这个比例来表示百分比。见第九部分“与圆有关的计算”。
• 函数： 气温随时刻变化，每个时刻对应一个气温，这就是函数关系；折线图就是把测得的点描出来再连起来，和画函数图象的方法一样。见第七部分“函数”。
• 有理数的运算： 频率、百分比的计算，就是分数和比例的计算。见第二部分“有理数的运算”。

真题： 2026 年第 3 题、2025 年第 17 题、2023 年第 13 题、2022 年第 7 题。