初中数学的自然原理
第十一部分：数形结合

分类讨论 ★

对应人教版七年级上册第一章、八年级上册第十五章、九年级上册第二十五章和第二十九章、九年级下册“相似”一章等，散见各册。

题目的条件不能唯一确定图形的位置、对应关系或式子的符号时，要把所有可能的情况都列出来，一种一种地求解、检验，最后合在一起作答，这就是分类讨论。

从哪里来#

分类讨论不是一种题型，而是条件“没说死”时的必然结果。需要分类的原因主要有三种：

原因 例子
概念本身分情况 绝对值： 时 ， 时 ；方程 中 是否为 0，决定它是不是一元二次方程
对应关系没有说明 等腰三角形哪条边是腰；两个三角形相似，哪个角和哪个角对应；平行四边形哪两个顶点相对
图形的位置不确定 点在线段上还是在延长线上；两条弦在圆心同侧还是两侧；三角形的高在形内还是形外

分类时守住三条：

  1. 标准统一： 按同一个标准分，比如都按“哪个点是顶角的顶点”分，不要一会儿按边、一会儿按位置。
  2. 不重不漏： 各种情况合起来是全部可能，彼此不重叠。
  3. 逐一检验： 每种情况算出的结果，都要代回去看是否真的成立。

等腰三角形：哪条边是腰#

例 1　等腰三角形的两条边长分别是 3 和 7，求它的周长。

思路： 没说哪条是腰，分两种情况。等腰三角形的三边里有两条相等，还要满足三边关系：任意两边之和大于第三边（见第五部分“三角形”）。

腰 7、底 3 能围成三角形；腰 3、底 7 围不成

解：

  • 腰长为 3：三边是 3、3、7。，围不成三角形，舍去。
  • 腰长为 7：三边是 7、7、3。，能围成三角形，周长是 。

所以周长是 17。

同样的道理，“等腰三角形有一个角是 ”也要分两种： 是顶角时，底角是 ； 是底角时，顶角是 。两种都成立。

例 2　在平面直角坐标系中， 是原点，点 。点 在 轴上，且 是等腰三角形。求点 的坐标。

思路： 按“哪个点是顶角的顶点”分三种：、 或 。每种情况对应一个几何图形：

这两个圆和一条直线与 轴的交点，就是要找的点。再用坐标算出来。

两个圆和 OA 的垂直平分线与 x 轴的交点 P1、P2、P3、P4

解： 。设 ，则 ，。

  • ：，，得 、。
  • ：， 或 。 时 与 重合，不是三角形，舍去；得 。
  • ：，，，得 。

所以点 的坐标是 、、 或 。

回顾： 按顶点分类，三种情况正好对应“哪两条边相等”，不重也不漏。每种情况先想图形（圆或垂直平分线），就知道大概有几个点、在哪里；再用坐标列方程，把点算准（见第十一部分“以数解形”）。

相似：对应关系不唯一#

例 3　在 中，，，点 在 上，。点 在 上，且以 、、 为顶点的三角形与 相似，求 的长。

思路： 两个三角形有公共角 ，于是 对应 。剩下 可能对应 ，也可能对应 。两种对应，两组比例式（见第八部分“相似”）。

E 的两个位置：DE ∥ BC 时 D 对应 B；∠ADE = ∠C 时 D 对应 C

解：

  • 对应 ，：，即 ，。
  • 对应 ，：，即 ，。

两个值都小于 ， 都在 上。所以 或 。

注意： 如果题目写的是“”，字母顺序已经规定了对应关系，只有第一种情况。要分类的，是“以……为顶点的三角形与……相似”这种没说顺序的说法。

位置不确定：每种位置画一个图#

例 4　 的半径是 5，、 是 的两条平行弦，，。求 与 之间的距离。

思路： 弦长和半径知道了，由垂径定理和勾股定理可以算出圆心到每条弦的距离（见第九部分“圆的有关性质”）。两条平行弦可能在圆心的同侧，也可能在两侧，两种位置都要画出来。

两条平行弦在圆心同侧时相距 1，在两侧时相距 7

解： 过 作 、 的垂线。由垂径定理，垂足分别平分 、，所以圆心到 的距离是 ，到 的距离是 。

  • 两弦在圆心同侧：距离是 ；
  • 两弦在圆心两侧：距离是 。

所以 与 之间的距离是 1 或 7。

含字母的式子：按系数分#

例 5　关于 的方程 有实数根，求 的取值范围。

思路： 题目只说“方程”，没说是一元二次方程。二次项系数 可能是 0，这时方程是一次方程，不能用判别式。按 是否为 0 分两种情况。

解：

  • 时，方程是 ，有实数根 ，符合题意。
  • 时，方程是一元二次方程，有实数根的条件是 ，即 。结合 ，得 且 。

把两种情况合起来：。

想一想： 如果题目改成“一元二次方程 有实数根”，就不能取 ，答案是 且 。一个说法的差别，决定了要不要分类。

分完以后怎样合并#

分类讨论的结果用“或”连接：每种情况得到的答案，都是整道题的答案，合在一起是它们的全体（例 5 中， 和 且 合起来是 ）。

要和不等式组区分开：不等式组的几个条件要同时满足，取公共部分，用“且”连接。一种情况内部的几个条件用“且”，不同情况之间用“或”。

易错点#

  • 只画一种图。 题目的图往往只画了一种位置，但文字条件允许另一种。读完题先问：点的位置、对应关系是不是唯一的？
  • 不检验。 腰长 3、底边 7 围不成三角形； 和 重合就不是三角形。每种情况都要代回原题检查。
  • 分类标准不统一，造成重复或遗漏。 例 2 按“哪个点是顶角的顶点”分，正好三种；如果一会儿按边、一会儿按 在左右，容易重复数同一个点。
  • 合并时取了公共部分。 不同情况的结果要合在一起，不是取交集。
  • 二次项系数含字母时忘了它可能为 0。 题目说“方程”时要考虑一次方程的情况；说“一元二次方程”时要加上系数不为 0。

联系#

真题： 2026 年第 15 题、2026 年第 22 题、2025 年第 15 题、2023 年第 15 题、2022 年第 15 题。