一次函数 ★
对应人教版八年级下册第二十三章。
一次函数描述“均匀变化”：自变量 每增加 1，函数值 总是变化同一个数 。 写成式子是 （、 是常数，），它的图象是一条直线。
从哪里来#
先看几个生活中的例子：
| 情境 | 起点 | 每一步的变化 | 函数关系 |
|---|---|---|---|
| 手机套餐：月租 20 元，每通话 1 分钟加 0.1 元 | 不打电话也要付 20 元 | 每多 1 分钟，多 0.1 元 | |
| 一根 20 cm 长的蜡烛，每分钟烧掉 0.5 cm | 开始时长 20 cm | 每过 1 分钟，短 0.5 cm | |
| 匀速行驶的汽车，速度 60 km/h，从出发点开始计算路程 | 开始时路程为 0 | 每过 1 小时，多走 60 km |
三个例子的共同点是：有一个起点，然后每一步变化的量都一样。 起点就是 （ 时 的值），每一步的变化量就是 。这种关系就叫一次函数：
- （） 叫一次函数。 的次数是 1，所以叫“一次”。
- 时， 叫正比例函数，它是一次函数的特殊情况：起点是 0， 和 成正比。
为什么要求 ？ 时 ，不管 怎么变， 都不变，已经没有“变化”可言，也就不是一次函数了。
为什么图象是一条直线#
在 的图象上，取 这几个点。 每增加 1， 都增加 0.5。从一个点走到下一个点，都是“向右 1 格、向上 0.5 格”，形成一级一级相同的台阶：
每一级台阶都是一个直角三角形，两条直角边分别是 1 和 ，夹角都是直角。根据“两边及其夹角分别相等的两个三角形全等”，这些小三角形全部全等（见第五部分“全等三角形”），所以每一段斜边和水平方向的夹角都相等。相邻两段斜边首尾相接、方向又相同，连起来就不会拐弯，是一条直线。
不只取整数，取 0.5、0.1 这样更小的步长，道理也一样。所以一次函数的图象是一条直线。
既然是直线，画图时只要找两个点，因为两点确定一条直线（见第一部分“基本事实”）。最方便的两个点通常是与 轴的交点 ，和再往右走 1 步的点 。
k 和 b 管什么#
管起点。 时 ，所以直线和 轴交于点 。 变了，直线整体上下平移，倾斜程度不变：
从另一个角度看： 的每个函数值都比 多 ，所以它的图象就是把 的图象向上平移 个单位（ 是负数就向下）。
管方向和陡缓。 每增加 1， 变化 ：
- 时， 增加， 也增加，直线从左往右上升；
- 时， 增加， 反而减少，直线从左往右下降；
- 越大，每一步变化得越多，直线越陡。
直线经过哪几个象限，不用背表格，看两件事就能推出来：从哪里出发（ 决定直线和 轴交在上半轴还是下半轴），往哪个方向走（ 决定上升还是下降）。比如 ：从 轴上的点 出发，往右走一路下降，先经过第一象限，穿过 轴后进入第四象限；往左走一路上升，留在第二象限。所以它经过第一、二、四象限。
待定系数法：两个条件定一条直线#
知道了函数是一次函数，只剩 和 两个数不知道，这时只要两个条件就能求出它们：把两个点的坐标代入 ，得到关于 、 的二元一次方程组，解出来就行。这种先设出式子、再求系数的方法叫待定系数法。
为什么恰好两个条件？代数上，两个未知数需要两个方程；几何上，两点确定一条直线。这是同一件事的两种说法。
例 1 一次函数的图象经过点 和 ，求它的解析式。
思路： 是一次函数，所以设 ，两个点给出两个方程。
解： 设 。把两点坐标代入，得
两式相加，得 ，所以 ；代入第一个式子，得 。所以解析式是 。
检验： 时，，和已知点一致。
一次函数与方程、不等式：同一个问题的三种问法#
对于 ，下面三个问题其实在问同一条直线：
| 问法 | 代数的问法 | 在图象上看 |
|---|---|---|
| 取什么值时 ？ | 解方程 ，得 | 直线和 轴的交点 的横坐标 |
| 取什么值时 ？ | 解不等式 ，得 | 直线在 轴上方的部分，对应的 的范围 |
| 取什么值时 ？ | 解不等式 ，得 | 直线在 轴下方的部分，对应的 的范围 |
两个一次函数放在一起，就对应二元一次方程组。方程组
的解，就是同时满足两个式子的 、，也就是同时在两条直线上的点：两条直线的交点。
用代入法：，得 ，。图上两条直线正好交于 。
反过来也能看出方程组的解有几种情况：两条直线相交，方程组有唯一解；两条直线平行（ 相同、 不同），方程组无解。
实际问题：用函数做比较#
例 2 两种手机套餐：A 套餐月租 30 元，通话每分钟 0.1 元；B 套餐没有月租，通话每分钟 0.25 元。每月通话多长时间时，选 A 套餐更省钱？
思路： 两种套餐的月费都随通话时间变化，先把月费和通话时间的关系写出来。设每月通话 分钟，则
- A 套餐的月费：（元）；
- B 套餐的月费：（元）。
“A 更省钱”就是“A 的月费小于 B 的月费”。接下来可以直接比较两个式子，也可以把它们看成两个函数，画图比较。
解法一：列不等式。
- A 更省钱，就是 。
- 移项，得 ，即 。
- 两边同时除以 0.15，得 。
- 答：每月通话超过 200 分钟时，选 A 套餐更省钱。
解法二：画函数图象。
- 设月费为 元。A 套餐：；B 套餐：。两个都是一次函数。
- 求两条直线的交点：令 ，得 ，此时 ，交点是 。
- 在同一坐标系中画出两条直线：
- 读图：B 的 更大，上升得更快。在交点左边，B 的直线更低；在交点右边，A 的直线更低。
- 答：每月通话超过 200 分钟时，选 A 套餐更省钱；正好 200 分钟时两种一样；少于 200 分钟时选 B 套餐更省钱。
想一想： 两种解法用的是同一个关系，只是看的角度不同。
| 比较 | 解法一：列不等式 | 解法二：画函数图象 |
|---|---|---|
| 核心的一步 | 解 | 找两条直线的交点，再看哪条线在下面 |
| 得到什么 | 一个答案： | 整个变化过程：交点左边、交点上、交点右边分别哪种便宜，差距怎样随通话时间变大 |
| 好处 | 步骤少，算得快，结果精确 | 直观，一眼看出全局，还能回答题目没问的问题（比如 B 在什么时候更省钱、多打 100 分钟两种套餐差多少钱） |
| 局限 | 只回答了题目问的那一个问题 | 要准确的数值，还得回到方程去算交点 |
两种解法其实是一回事：不等式 成立的 ，正是图上 A 的直线在 B 的直线下方的那一段对应的 ；不等式变成等式 时的解 ，正是两条直线交点的横坐标。只要一个答案时，列不等式更快；要比较整个过程、或者一时不知道从哪下手时，先画图看清全局，再用方程算出精确值。
易错点#
- 忘了 。 问“ 是一次函数， 满足什么条件”，答案是 。一次项系数为 0 时，式子里就没有 了。
- 把 当成直线和 轴的交点。 是 时的 值，是直线和 轴的交点的纵坐标。和 轴的交点要令 去求。
- 读图解不等式时看错了轴。 “”看的是图象在 轴上方的部分，答案是这部分对应的 的范围，不是 的范围。
- 增减性去看 。 “ 随 的增大而增大”只由 决定（），和 无关。 只决定直线上下的位置。
- 实际问题忘了自变量的范围。 通话时间、物品件数不能是负数，件数还必须是整数；开头那根 20 cm 长、每分钟烧掉 0.5 cm 的蜡烛，燃烧的时间不能超过烧完所需的 40 分钟。
联系#
- 二元一次方程组： 方程组的解就是两条直线的交点。见第四部分“二元一次方程组”。
- 一元一次方程和不等式： 解方程 就是找直线和 轴的交点；解不等式 就是看直线在 轴上方的部分。见第四部分“一元一次方程”和第四部分“不等式与不等式组”。
- 全等三角形： 图象为什么是直线，靠的是一级一级台阶三角形全等。见第五部分“全等三角形”。
- 平移： 的作用就是把 的图象上下平移。见第六部分“平移、轴对称与旋转”。
- 锐角三角函数： 是“竖直方向变化量 ÷ 水平方向变化量”， 时正好是直线与 轴正方向夹角的正切，所以 越大直线越陡。见第八部分“锐角三角函数”。
- 二次函数： 一次函数每一步的变化量相同；二次函数每一步的变化量本身在均匀地变，所以图象弯成了抛物线。见第七部分“二次函数”。
真题： 2026 年第 11 题、2026 年第 20 题、2025 年第 20 题、2024 年第 10 题、2022 年第 11 题。