2025 年河南中考数学

答案： B

思路： “进球”和“失球”是意义相反的两个量，一个记作正，另一个就记作负。进球记作正，失 3 个球就记作 个。

答案： D

思路： 想象把展开图折回去：一个扇形卷起来，两条半径对接，弧围成一个圆，成为一个尖顶的侧面；下面的圆正好把这个圆口封住，就是圆锥。圆柱的侧面展开是长方形，棱柱的侧面展开是几个长方形，都没有扇形。

答案： C

思路： 科学记数法写成 ，要求 ，所以 ，A、D 都不合要求。从 0.000 074 变成 7.4，小数点向右移了 5 位，数变大了 倍，所以要乘 才相等：。

答案： C

思路： 零件的一条边贴着量角器的底边，另一条边的延长线穿过量角器，读数是 （内圈读数 是它的邻补角）。量角器上量出的角和零件的内角是对顶角，所以内角是 。如果零件是正六边形，用多边形的内角和也能检验：每个内角是 （见第五部分“三角形”）。

答案： A

思路： 看判别式：，，，，所以有两个不相等的实数根。也可以直接因式分解 ，得 ，。

答案： B

思路： 网格是 4 格宽，点 ， 所在的竖线在正中间，把 ， 都平分，所以 ， 分别是 ， 的中点， 是 的中位线。，所以 （见第五部分“四边形”）。

答案： A

思路： 两个分母 和 互为相反数，先把第二项的分母变成 ，减号变加号，就是同分母相加：

答案： B

思路： 列出所有等可能的结果：从 4 张里一次抽 2 张，有“美丽、美山、美河、丽山、丽河、山河”6 种，其中“丽”和“山”只有 1 种，概率是 。用树状图按先后抽取来列也可以，共 种，“丽山”和“山丽”2 种，结果相同。

答案： D

思路： 折叠是轴对称，对称轴 垂直平分对应点的连线 。所以 ，。在等腰直角三角形 中，，，于是 ，。

答案： C

思路： 逐项回到图象上读。静止就是 ，图象从 0.9 出发，A 对；图象一路下降，B 对；0.75 降到 0.71，减小 0.04，D 对。C 把方向弄反了： 随 增大而减小， 对应的是 ，车速应不高于 60 km/h。

答案： 5（答案不唯一，满足 即可）

思路： 负数没有平方根，所以被开方数 ，即 。在这个范围里任取一个数都对。

答案： 甲

思路： 方差是各数据与平均数之差的平方的平均数，衡量数据偏离平均数的程度。方差越小，苗高越集中在平均数附近，长势越整齐。，所以甲更整齐。

答案：

思路： 把每个式子拆成系数和字母两部分分别看：系数 2，4，6，8 是第几个就乘 2，第 个是 ； 的指数 1，2，3，4 就是序号，第 个是 。合起来是 ，再代入 检验一下。

答案：

思路： 阴影由线段 ， 和弧 围成，等于扇形 减去 。切线垂直于过切点的半径，，又 ，所以 ，由垂径定理 。 是弧 所对的圆周角，圆心角 。在直角三角形 中，，，所以

答案： 或

思路： 有三个角，差为 的可能是哪两个角、谁大谁小，要逐一讨论。先算出已知的角：作高 ，，， 是锐角，，。

• ：因为 ，，所以 。由 得 ，。
• ：把 中的 单独分出来：过 作 交 于 ，则 ，所以 。设 ，由 得 ，，于是 ，，。
• 以 或 为大角时： 是锐角，不可能比别的角大 。，所以 ，；而 或 （）都会使 ，超过 ，不可能。

答案：

（1）原式 。

（2）原式 。

思路： （1）三项各自按定义算：，所以 ；，它的零次幂是 1； 是平方等于 3 的正数，。（2）用完全平方公式和单项式乘多项式展开，再合并同类项。

答案：

（1），，。

（2）七年级的学生掌握情况更好，因为两个年级的平均数相同，七年级的优秀率（38%）高于八年级（22%）。（答案不唯一，合理即可。比如从中位数、众数看，八年级更好。）

思路： （1）50 个数据的中位数是排序后第 25、26 个数的平均数。七年级得 6 分的 10 人、7 分的 15 人，累计 25 人，所以第 25 个是 7，第 26 个是 8，。八年级得 8 分的 23 人最多，。八年级优秀的有 人，。（2）先说清用哪个统计量比较、它说明什么，再下结论。

答案：

（1）把 代入 ，得 ，所以反比例函数的表达式为 。

（2）在等腰直角三角形 中，点 到 轴的垂线段是斜边 上的高，也是中线，所以 ，点 。，所以 在直线 上，设 （），。

绕点 顺时针旋转 后，点 转到 轴上的点 ， 与 轴垂直，点 的对应点 满足 ，所以 。 在 上，。

所以旋转前点 的坐标为 。

思路： 旋转不改变线段长度和夹角。与其跟踪点 的坐标怎样变，不如先看整条边 转到了哪里： 从 轴正半轴转到 轴正半轴， 随之变成竖直的，点 到 的距离不变，这样 的坐标就能用 表示，再让它满足函数表达式。

答案：

（1）作线段 的垂直平分线，它与 的交点就是圆心 ，如下图。

（2）证明：因为四边形 是平行四边形，所以 ，。

又因为 是 的中点， 是 的中点，所以 ，且 。

所以四边形 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。

思路： （1） 是直径，圆心就是 的中点，找中点用垂直平分线（见第五部分“尺规作图”）。（2） 和 都在平行四边形的一组对边上，天然平行；都是对边的一半，天然相等，所以用“一组对边平行且相等”来判定最直接。

答案：

（1）设甲种苹果每箱售价 元，乙种苹果每箱售价 元，根据题意，得

解得 ，。甲种苹果每箱售价 100 元，乙种苹果每箱售价 80 元。

（2）设购买甲种苹果 箱，则购买乙种苹果 箱。由 ，得 。

设花费为 元，则 。因为 ， 随 的增大而增大，所以 时 最小，。

该公司最少需花费 1080 元。

思路： （2）问“最少花费”，花费随甲的箱数变化，所以先把花费写成甲的箱数的一次函数，再由“乙不超过甲”列不等式求出箱数的范围。一次函数的最值出现在范围的端点，看 的正负决定取哪一端：甲比乙贵，甲越多越贵，所以甲取最少的 6 箱。

答案：

（1）同一时刻的太阳光线是平行的，所以 ；， 都与地面垂直，所以 。于是 ，，，，所以 。

（2）过点 作 于点 。设 m。

由题意， m， m，所以 m， m， m。

因为 ，所以 ，，即

解得 ，经检验 符合题意。纪念碑 的高度为 19.8 m。

（3）（2）中结果的误差是 （m），小红结果的误差是 （m），，所以小红的结果误差较大。可能的原因：测量工具不精确（答案不唯一，合理即可）。

思路： 高 够不着，就找和它相似的小三角形。（1）太阳光平行，标杆和它的影子组成的三角形与纪念碑和它的影子组成的三角形相似，标杆的影长等于杆长，纪念碑的“影长” 也就等于它的“高”（见第八部分“投影与视图”）。（2）视线 ，， 共线，站在两个直角三角形 和 里看同一个角，两条直角边的比相等，列出关于 的方程。把 用进来，才能把所有长度都用 表示。

答案：

（1）把 ， 和 ， 代入，得

解得 ，，所以二次函数的表达式为 。

（2），顶点坐标为 。图象如下图。

（3） 或 。

思路： （2）配方得顶点式，描点时以对称轴 为中心左右对称地取点。（3）平移后是 ，对称轴 。函数在区间上的最大、最小值取决于对称轴在区间的左边、里面还是右边，要分类讨论。对称轴在 左边时，差为 ，，与 矛盾；在右边时同理矛盾。所以对称轴在区间内，最小值在顶点，差就是 的最大值，即 与 中较大的等于 5： 或 ，所以 或 。

答案：

（1）。

（2）补全图形如下（虚线 是证明时添的辅助线）。

不成立，正确结论是 。证明如下：

过点 作 ，交直线 于点 。因为 ，，所以 ，四边形 是矩形，。

因为 平分 ，所以 ；又 ，，所以 （AAS），。

所以 ，即 。

（3） 或 。

思路： 三条线段 ，， 不在一起，要把它们“搬”到一条直线上。 与 平行（都垂直于 ），过 作 的垂线 ，就得到矩形 ， 搬到了 上成为 ；角平分线上的点到角两边的距离相等，全等三角形又把 搬成 。锐角时点 在 和 之间，；钝角时点 落在 的延长线上，，结论随之改变。

（3） 是同一条直线上的两段，要换成能和 ， 联系起来的比。 和 都垂直于 ，互相平行，，所以 。锐角时由（1）得 ，钝角时由（2）得 。再看 和 ：都有直角， 和 都与 互余，所以两个三角形相似，。锐角时取 ，则 ，，，得 ，；钝角时 ，，，得 ，。