不等式与不等式组 ★
对应人教版七年级下册第十一章。
不等式描述“谁大谁小”；解一元一次不等式和解一元一次方程的步骤几乎一样，唯一的区别是：两边乘或除以同一个负数时，不等号要改变方向。 不等式的解通常有无数个，合起来是一个范围，画在数轴上是一条射线或一段线段。
从哪里来：不等关系#
生活中很多要求不是“正好等于”，而是“不能超过”“至少要有”：
- 一座桥限重 20 t，车和货的总质量 （t）要满足 ；
- 考试 60 分及格，及格的分数 满足 ；
- 一个数的 2 倍加 3 大于 7，写成 。
用 、、、、 表示大小关系的式子叫不等式。和方程对照：
| 概念 | 方程 | 不等式 |
|---|---|---|
| 解 | 使等式成立的未知数的值 | 使不等式成立的未知数的值 |
| 解的个数 | 一元一次方程只有一个解 | 通常有无数个解 |
| 全部的解 | 就是那一个值，如 | 叫解集，是一个范围，如 |
| 解方程 / 解不等式 | 求出那个解 | 求出解集 |
比如 ，、、 都是它的解，所有的解合起来是 。
只含一个未知数、未知数的次数是 1、不等号两边都是整式的不等式，叫一元一次不等式。
不等式的性质：从“差的正负”推出来#
在数轴上，右边的点表示的数总比左边的大。，就是 在 的右边，也就是 是正数。所以：
有了这一条，不等式的性质都能推出来：
- 性质 1： 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。理由：，差没变，正负当然不变。
- 性质 2： 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。理由：如果 ，，那么 ，正数乘正数是正数，所以 。
- 性质 3： 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。理由：如果 ，，那么 是正数乘负数，是负数，所以 。
除以一个数等于乘它的倒数，倒数和原数同号，所以除法的情况和乘法一样。
性质 3 在数轴上看得很清楚。乘 −1 就是取相反数，每个点跳到关于原点对称的位置，原来在右边的点跑到了左边，先后顺序整个反过来：，但 。
乘其他负数，比如乘 −2，等于先乘 −1 再乘 2：先把顺序反过来，再按比例拉伸，顺序不再变。所以只要乘的是负数，不等号就要改变方向。
还有一条常用的：如果 ，，那么 。在数轴上就是 在 右边， 在 右边， 当然在 右边。
解一元一次不等式：和解方程对照着做#
解一元一次不等式的步骤和解一元一次方程一样，目标是化成 或 这样的形式。每一步都对照一下依据：
| 步骤 | 解方程的依据 | 解不等式的依据 | 要注意什么 |
|---|---|---|---|
| 去分母 | 等式的性质 2 | 性质 2（乘的是正数） | 不等号方向不变 |
| 去括号 | 乘法分配律 | 乘法分配律 | 和解方程一样 |
| 移项 | 等式的性质 1 | 性质 1 | 不等号方向不变 |
| 合并同类项 | 乘法分配律 | 乘法分配律 | 和解方程一样 |
| 系数化为 1 | 等式的性质 2 | 性质 2 或性质 3 | 系数是负数时，不等号改变方向 |
例 1 解不等式 ，并把解集表示在数轴上。
思路： 和解方程一样先去分母，两边乘 6。6 是正数，不等号方向不变。最后一步要看系数的正负。
解：
检验： 取解集里的 ，左边 ，确实 ；取解集外的 ，左边 ，大于 1，不满足。说明方向没有弄反。
解集画在数轴上#
解集是一个范围，画在数轴上最清楚。约定两件事：
- 端点： 包括这个数（ 或 ）画实心点，不包括（ 或 ）画空心圈；
- 方向： 大于向右画，小于向左画。
例 1 的解集 就是上面一行：从 −1 出发向右，−1 本身也在里面。
不等式组：找公共部分#
有时一个未知数要同时满足几个条件，比如 既要大于 ，又要小于 。把几个一元一次不等式合在一起，就组成一元一次不等式组。几个不等式解集的公共部分，叫不等式组的解集。
找公共部分，最可靠的办法是把每个解集都画在同一条数轴上，看哪一段被所有的线都覆盖。设 ，两个不等式组成的不等式组只有四种情况：
| 不等式组 | 在数轴上看 | 解集 |
|---|---|---|
| ， | 两条线都向右，重叠部分从更靠右的 开始 | |
| ， | 两条线都向左，重叠部分到更靠左的 为止 | |
| ， | 一条向右、一条向左，中间重叠 | |
| ， | 一条向左、一条向右，背道而驰，没有重叠 | 无解 |
不用背这张表：每次画一下数轴，重叠的部分一眼就能看出来。
例 2 解不等式组
并写出它的所有整数解。
思路： 先分别解每一个不等式，再在数轴上找公共部分，最后在公共部分里数整数。
解： 解第一个不等式：，得 。
解第二个不等式：，得 。
把两个解集画在同一条数轴上：
公共部分是 ，这就是不等式组的解集。其中 取得到（实心点），3 取不到（空心圈），所以整数解是 −3，−2，−1，0，1，2，共 6 个。
实际问题：不等关系定范围#
实际问题里的“不超过”“至少”“不少于”，都是不等关系。翻译时要逐字对照：
| 说法 | 符号 |
|---|---|
| 不超过、不高于、至多 | |
| 不少于、不低于、至少 | |
| 超过、高于 | |
| 不足、低于 |
例 3 某班计划买甲、乙两种奖品共 20 件，甲种每件 12 元，乙种每件 8 元。要求总费用不超过 200 元，并且甲种奖品的件数不少于乙种的一半。有哪几种购买方案？
思路： 只有一个量可以自由选：甲种买几件。设甲种买 件，乙种就是 件。题目给了两个不等关系：费用“不超过”200 元，甲的件数“不少于”乙的一半，两个条件要同时满足，所以列不等式组。件数还必须是整数。
解： 设甲种奖品买 件，则乙种买 件。根据题意，得
解第一个不等式：，得 。
解第二个不等式：，，得 ，也就是 。
所以 。 是整数，只能取 7、8、9、10。
答：共有 4 种方案：甲 7 件、乙 13 件；甲 8 件、乙 12 件；甲 9 件、乙 11 件；甲 10 件、乙 10 件。
检验： 最贵的方案是甲 10 件，费用 元，正好不超过；甲 6 件时乙 14 件，，不满足“不少于一半”，所以 6 不行。
回顾： 方程求出的是一个确定的值，不等式求出的是一个范围；实际问题再加上“整数”“正数”等限制，范围就变成了几个具体的方案。要找其中费用最少的方案，还可以把费用写成 的一次函数，看它随 怎样变化（见第七部分“一次函数”）。
易错点#
- 两边乘或除以负数时忘了改变不等号方向。 两边除以 −11，得 ，不是 。去分母乘的是正数，方向不变；系数化为 1 时要先看系数的正负。
- 两边乘或除以一个不知道正负的式子。 比如关于 的不等式 的解集是 ，说明两边除以 时不等号改变了方向，所以 ，。如果不知道 的正负，就要分情况讨论（见第十一部分“分类讨论”）。
- 实心点和空心圈画反。 含等号（、）的端点属于解集，画实心点；不含等号的画空心圈。求整数解时，端点能不能取也由这一点决定。
- 把“不超过”“至少”译错。 “不超过 200”包括 200，是 ；“少于 200”不包括 200，是 。
- 把不等式组的解集写成“合起来”。 不等式组要求同时满足，解集是公共部分，不是两个解集拼在一起。 和 的公共部分是 ，不是“所有实数”。
- 以为不等式两边可以随便“约掉”相同的因式。 约掉就是两边除以它，要先确定它是正数、负数还是可能为 0。
联系#
- 有理数： 数轴上右边的数大，这是不等式所有性质的出发点；乘 −1 就是取相反数，关于原点对称，所以大小顺序反过来。见第二部分“有理数”。
- 一元一次方程： 解不等式的每一步都和解方程对应，只有乘除负数这一步不同。不等式的边界点，就是把不等号换成等号后方程的解。见第四部分“一元一次方程”。
- 一次函数： 解 ，就是看直线 在 轴上方的部分对应的 的范围；比较两个一次函数的大小，就是看哪条直线在上面。见第七部分“一次函数”。
- 三角形： 三角形任意两边之和大于第三边，已知两边求第三边的范围，就是解不等式组。见第五部分“三角形”。
- 实数： 估算 在 2 和 3 之间，写出来就是 。见第二部分“实数”。
- 分类讨论： 系数含字母时，不等号的方向要看字母的正负，需要分情况。见第十一部分“分类讨论”。
真题： 2026 年第 16 题、2025 年第 11 题、2025 年第 20 题、2024 年第 5 题、2022 年第 12 题。