整式的加减
对应人教版七年级上册第四章。
整式的加减只做两件事：去括号，合并同类项；这两件事的依据都是乘法分配律。
单项式和多项式#
上一页列出的代数式里，有一类只含加、减、乘、乘方运算，字母不在分母里，也不在根号下，比如 、、。它们叫整式。整式按项数分成两种。
单项式：数与字母的积。 比如 、、。单独一个数或一个字母也是单项式。
- 系数： 单项式中的数字因数。
- 次数： 单项式中所有字母的指数的和。
| 单项式 | 系数 | 次数 | 说明 |
|---|---|---|---|
| 3 | 的指数 2 加 的指数 1 | ||
| 1 | 2 | 系数 1 省略不写 | |
| 1 | 就是 | ||
| 2 | 是一个确定的数，不是字母 | ||
| ，即 | 3 | 是数，它的指数不算进次数 | |
| 5 | 0 | 不含字母的单项式次数是 0 |
多项式：几个单项式的和。 比如 是 、、 这三个单项式的和。
- 项： 组成多项式的每个单项式，连同它前面的符号。 的一次项是 ，不是 。
- 常数项： 不含字母的项，这里是 5。
- 次数： 次数最高的项的次数。 有三项，最高次是 2，叫二次三项式。
为什么说 是“和”，式子里明明有减号？因为减去一个数等于加上它的相反数（见第二部分“有理数的运算”）：。把减法都看成加法，每一项都带着自己的符号，后面的计算就不会丢符号。
单项式和多项式统称整式。写多项式时，一般按某个字母的指数从大到小排列（降幂排列），比如 写成 ，这样各项一目了然，也方便检查有没有同类项。
同类项和合并同类项#
先看一个面积的问题：一块长方形由 5 个宽为 1、高为 的小长方形拼成，左边 3 个，右边 2 个。
左边面积是 ，右边是 ，合起来是 5 个同样的小长方形，面积是 。用分配律写出来就是
能这样合并，是因为 和 都是“若干个 ”，分配律可以把共同的 提出来，只把个数相加。换成 就不行了： 和 不是同一种“块”，没有共同的部分可以提出来，结果只能写成 。
所以规定：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫同类项。 所有常数项也都是同类项。同类项与系数无关，与字母的顺序无关： 和 是同类项， 和 不是。
把多项式中的同类项合并成一项，叫合并同类项。 由分配律直接得到法则：系数相加，字母和字母的指数不变。
例 1 合并同类项：。
思路： 先找出同类项：二次项 和 ，一次项 和 ，常数项 和 。每一项带着自己前面的符号移动位置（加法交换律），再分别合并。
解：
检验： 取 ，原式 ，结果 ，一致。化简前后的两个式子对任何 的值都相等，随便代一个数进去，是检查化简有没有出错的简便办法。
去括号#
去括号也是分配律：括号前面的数，要乘括号里的每一项。
括号前只有正号或负号时，把它看成乘 或 ：
所以：括号前是“+”号，去掉括号，括号里各项都不变号；括号前是“−”号，去掉括号，括号里各项都改变符号。 这不是另外的规定，只是乘 和乘 的结果。
整式的加减#
有了去括号和合并同类项，整式的加减就是：有括号先去括号，再合并同类项。
例 2 先化简，再求值：，其中 ，。
思路： 可以直接代入，但式子里有好几项，每项都要算；先化简，式子变短了，代入只算一次。
解：
当 ， 时，原式 。
检验： 不化简直接代入，，，，一致。
例 3 如图，一个台阶形图形的底边长 ，左边长 ，右上方是三级台阶。求它的周长。
思路： 每一级台阶的长和高都不知道，好像求不出来。但周长只要各段长度的和，不必知道每一段。三段横的台阶面向上平移，正好拼成顶边，和底边一样长；三段竖的台阶面向右平移，正好拼成右边，和左边一样长。
解： 设三段横的台阶面长 ，，，三段竖的长 ，，。把横的三段向上平移到顶边，竖的三段向右平移到右边：
由图，，。周长是
台阶形的周长和长 、宽 的长方形的周长相同。
例 4 说明：任意三个连续整数的和都是 3 的倍数。
解： 设中间一个整数是 ，三个数是 ，，。它们的和是
是 3 的倍数，而且正好是中间那个数的 3 倍。设中间的数，比设最小的数更方便： 和 正好抵消。
易错点#
- 次数算错。 次数只看字母的指数： 的次数是 3，不是 6； 的次数是 2， 不是字母。多项式的次数是最高次项的次数，不是各项次数的和。
- 同类项判断错。 看的是“字母相同，相同字母的指数也相同”： 和 系数相同，却不是同类项； 和 字母顺序不同，却是同类项。
- 合并时把指数也加了。 ，不是 。分配律只把系数相加，“若干个 ”加起来还是 。 也不是 。
- 去括号漏变号、漏乘。 ；，括号前的数要乘括号里的每一项，连同符号。
- 丢了项的符号。 的一次项是 ，一次项系数是 。
联系#
- 代数式： 用火柴棒摆 个正方形，一种数法得 根，另一种数法得 根； 去括号、合并同类项后就是 ，两种数法得到的是同一个式子。见第三部分“代数式”。
- 有理数的运算： 减法变成加相反数，是“多项式是单项式的和”的由来；合并同类项就是用分配律，和有理数的简便运算一回事。见第二部分“有理数的运算”。
- 整式的乘法： 单项式乘多项式、多项式乘多项式，都是分配律的进一步使用，最后一步总是合并同类项。见第三部分“整式的乘法”。
- 周长和面积： 图形的周长用字母表示出来是整式，求周长就是整式的加减，比如例 3 里底边长 、左边长 的台阶形，周长是 ；长方形的面积是长乘宽，要用到整式的乘法。见第三部分“整式的乘法”。
- 一元一次方程： 解方程时的去括号、合并同类项，和这里完全一样。见第四部分“一元一次方程”。
- 二次根式： 被开方数相同的二次根式合并，，道理和合并同类项相同。见第三部分“二次根式”。