怎样证明 ★
对应人教版八年级上册第十三章阅读与思考“为什么要证明”。
证明就是从已知条件出发，每一步都以定义、基本事实或已经证明的定理为依据，推出要证的结论。 只要每一步都站得住，结论就对所有满足条件的情况成立，这是测量和举例做不到的。
为什么要证明#
测量有误差。 用量角器量一个三角形的三个内角，加起来可能是 ，也可能是 。量得再仔细，也只能说“差不多是 ”，不能说“恰好是 ”，更不能说“每个三角形都是”。
举例是有限的。 看式子 ：
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | … | 39 | 40 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 41 | 43 | 47 | 53 | 61 | … | 1601 | 1681 |
从 到 ，算出的 40 个数全是质数。能不能说“ 取任何自然数， 都是质数”？不能： 时，
不是质数。试对了 40 次，第 41 次就错了。
所以，测量和举例可以帮助发现规律、找到反例，但要确定一个结论对所有情况都成立，只能靠证明。
证明的样子：每一步都有依据#
证明由一步一步的“因为……，所以……”组成，每一步后面用括号写出依据。能当依据的只有这几类：
| 依据 | 例子 |
|---|---|
| 已知条件 | （已知） |
| 定义 | （垂直的定义） |
| 基本事实 | （同位角相等，两直线平行） |
| 已经证明的定理 | （对顶角相等） |
| 等式、不等式的性质和运算律 | （等量代换） |
图上“看出来”的关系、没有证明过的猜想，都不能当依据。
几何证明的书写格式#
题目直接给出图和条件时，写“证明”就行。如果要证的是一个用文字叙述的命题，要先翻译（见第一部分“三种数学语言”），完整的格式分三步：
- 按题意画出图形；
- 用图中的字母写出已知（条件）和求证（结论）；
- 写出证明过程。
例 1 求证：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
思路： 条件是“两条直线都垂直于同一条直线”，结论是“这两条直线平行”。先画直线 ，再画两条直线都和它垂直。要证平行，手里的工具是“同位角相等，两直线平行”；垂直给出的两个直角，正好是一对同位角。
已知： 如图，直线 ，垂足为 ；直线 ，垂足为 。
求证： 。
证明： 因为 ，，所以 ，（垂直的定义），所以 （等量代换），所以 （同位角相等，两直线平行）。
综合法和分析法#
证明有两个思考方向：
- 综合法： 从已知出发，看能推出什么，一步步推向结论。“由因导果”。
- 分析法： 从结论出发，问“要证它，只要证什么”，一步步退到已知。“执果索因”。
找思路时常用分析法，写证明时用综合法。
例 2 如图，点 、、、 在同一条直线上，，，。求证：。
思路（分析法）： 从结论往回想：
- 要证 ，只要证它们所在的 ；
- 两个三角形已有 、，还差一个条件。、 是这两边的夹角，正是要证的，不能用；那就找第三边，只要证 ，就能用 SSS；
- ，，已知 ，两边都加上公共部分 就行了。
退到这里，全是已知条件。整条思路是：
证明（综合法）： 把上面的思路倒过来写。因为 ，所以 ，即 。
在 和 中，
- （已知），
- （已知），
- （已证），
所以 （SSS），所以 （全等三角形的对应角相等）。
想一想： 两种方法走的是同一条路，只是方向相反。
| 比较 | 分析法 | 综合法 |
|---|---|---|
| 方向 | 从结论退向已知 | 从已知推向结论 |
| 每一步在问 | 要证这个，还缺什么？ | 由这些，能推出什么？ |
| 好处 | 目标明确，不容易走岔路 | 书写清楚，每一步的依据一目了然 |
| 用在 | 草稿上找思路 | 正式写证明 |
只用综合法，已知条件能推出的东西很多，不知道该往哪里走；只用分析法，写出来的是一串“只要证”，读起来费力。先分析、后综合，是证明题最常用的办法。
添辅助线：把条件和结论接上#
有时图里现成的线不够用，要添上新的线，叫辅助线，画成虚线。辅助线不是凭空想出来的，是分析“缺什么”的结果。
例 3 求证：三角形的内角和等于 。
思路： 在哪里见过？平角是 。可是三个角分散在三个顶点，要想办法把它们“搬”到同一个顶点，拼成一个平角。能把一个角原样搬到别处的工具是平行线：两直线平行，内错角相等。所以过点 作 的平行线。
已知： 。
求证： 。
证明： 过点 作直线 。
因为 ，所以 ，（两直线平行，内错角相等）。
因为 、、 在同一条直线上，所以 （平角的定义）。
所以 （等量代换），即 。
回顾： 图中的动画把 绕 的中点旋转 ，它正好落在 的位置； 绕 的中点旋转 ，落在 的位置。辅助线 的作用，就是给这两个角一个“落脚的地方”。过点 能作出这条平行线，而且只有一条，依据是“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”（见第一部分“基本事实”）。
反证法（了解）#
有的结论直接证不好下手，可以反过来想：假设结论不成立，从这个假设出发推出矛盾，说明假设是错的，所以结论成立。 这种方法叫反证法，步骤是：
- 假设结论的反面成立；
- 从假设出发，推出和已知条件、定义、基本事实或定理相矛盾的结果；
- 所以假设不成立，原结论成立。
例 4 求证：一个三角形的三个内角中，至少有一个角大于或等于 。
思路： “至少有一个”不知道是哪一个，直接证不好说。它的反面是“三个角都小于 ”，这很具体，可以算。
证明： 假设三角形的三个内角都小于 ，那么三个内角的和小于 ，这和“三角形的内角和等于 ”矛盾。所以假设不成立，三个内角中至少有一个大于或等于 。
结论里出现“至少”“至多”“只有一个”“不是”“不可能”这类说法时，常常考虑反证法。前面已经用过几次：说明两条直线相交只有一个交点，是假设有两个交点 、，那么经过 、 就有两条不同的直线，和“两点确定一条直线”矛盾；说明平行于同一条直线的两条直线平行，是假设直线 、 都和 平行，而 、 相交于点 ，那么过点 就有两条直线和 平行，和“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”矛盾（见第一部分“基本事实”）。
代数推理：用字母说明一般规律#
代数里的结论也要证明。“对所有的数都成立”，就用字母表示任意的数，再按运算律和公式推理。
例 5 说明：两个连续奇数的平方差是 8 的倍数。
思路： 先试几个：，，，都是 8 的倍数。但试多少个都不够，要用字母表示“任意两个连续奇数”：设 是整数，较大的奇数是 ，较小的是 。
解：
是整数，所以 是 8 的倍数，即两个连续奇数的平方差是 8 的倍数。
想一想： 用平方差公式，算得更快：
还可以画出来看。取 ，从 的正方形里去掉 的正方形，剩下一个宽为 2 的 L 形：
L 形可以分成 和 两块，面积是 。一般地，L 形的宽总是两个奇数的差 2，两块的长加起来是两个奇数的和 ，面积是 。展开计算、用公式、画面积图，是同一个事实的三种说法。
易错点#
- 用要证的结论当依据。 要证 ，却写“因为 ，所以同位角相等”，这是拿结论去证结论，叫循环论证。
- 判定和性质用反了方向。 要证平行，用“……，两直线平行”（判定）；已知平行，才能用“两直线平行，……”（性质）。
- 把图上看出来的关系当条件。 看起来相等、垂直、共线的，没有给出、没有证明，就不能写进证明。
- 举例代替证明。 验证了几个数、量了几个图，只能说“可能对”。说明“对所有情况都对”，要用字母或一般的图形推理。
- 反证法的假设不是结论的反面。 “至少有一个角大于或等于 ”的反面是“三个角都小于 ”，不是“至少有一个角小于 ”。
- 辅助线交代不清，或者要求太多。 要写清楚怎样作：“过点 作 ”。不能让一条辅助线同时满足两个条件，比如“过点 作 平分 且垂直于 ”，这样的线不一定存在。
- 代数推理没交代字母的范围。 用 表示奇数，要说明 是整数；否则 时 ，不是奇数。
联系#
- 定义、命题与定理： 证明是判断命题真假的方法，证明过的真命题就是定理。见第一部分“定义、命题与定理”。
- 基本事实： 证明的依据往回追，最后都落在定义和基本事实上。见第一部分“基本事实”。
- 三种数学语言： 写“已知、求证”就是把文字命题翻译成图形和符号。见第一部分“三种数学语言”。
- 三角形： 内角和定理和它的推论，都是用这里的方法证出来的。见第五部分“三角形”。
- 全等三角形： 证线段相等、角相等，最常用的就是“分析法找全等，综合法写全等”。见第五部分“全等三角形”。
- 整式的乘法： 平方差公式可以用来做代数推理，也可以用面积来看。见第三部分“整式的乘法”。
- 平移、轴对称与旋转： 例 3 证明内角和时过点 作 ， 绕 中点旋转 落到 （即 ）的位置，这是中心对称。见第六部分“平移、轴对称与旋转”。
- 实数： 说明 不是有理数，用的也是反证法。见第二部分“实数”。
- 辅助线： 常用的辅助线有哪些、各自为了接上什么条件。见第十一部分“辅助线从哪里来”。
真题： 2026 年第 19 题、2026 年第 23 题、2025 年第 19 题、2025 年第 23 题、2024 年第 19 题。