总览：式的家族

用字母代替数，一类计算就能写成一个式子；式的每一条运算法则，都是数的运算律在字母上的延续。

式的家族#

式的家族是一步步扩充出来的，和数的扩充走的是同一条路（见第二部分“总览：数的扩充”）：

• 整式对加、减、乘都“封闭”：两个整式相加、相减、相乘，结果还是整式。这像整数。
• 整式除以整式，结果常常不再是整式，于是有了分式。这像整数除以整数得到分数。
• 对式子开平方，就有了二次根式。这像对数开平方得到 这样的无理数。

两个方向：乘开与分解#

整式的乘法和因式分解是同一个等式从两头读：

两个方向在图上是同一个长方形：乘法是“知道两边，求面积”，因式分解是“知道面积由哪些块组成，把它们拼成长方形，找出两边”。比如一个 、三个 、两个 1 这几块，拼成两边为 、 的长方形：

贯穿这一部分的三个想法#

运算律不变。 交换律、结合律、分配律在字母上照样成立。合并同类项、去括号、多项式乘法、提公因式、合并二次根式，用的都是分配律。

类比数。 整式像整数，分式像分数，二次根式像 。分式的约分、通分和分数一模一样；二次根式的化简就是把 写成 的那套办法。遇到新的式，先想“换成数是怎么做的”。

面积模型。 长方形的面积等于长乘宽，所以多项式的乘法、乘法公式、因式分解都能画成长方形的分块和拼接。这个模型后面还会用来证明勾股定理、推导配方法（见第五部分“勾股定理”和第四部分“一元二次方程”）。

学习顺序#

建议按页面顺序学，每一页都要用到前一页：

1. 代数式：用字母表示数，列式子、求值（见第三部分“代数式”）。
2. 整式的加减：认识单项式和多项式，学会合并同类项、去括号（见第三部分“整式的加减”）。
3. 整式的乘法：幂的运算、多项式乘法和两个乘法公式，这一页是后面各页的基础（见第三部分“整式的乘法”）。
4. 因式分解：把乘法倒过来做（见第三部分“因式分解”）。
5. 分式：约分和通分都要先因式分解（见第三部分“分式”）。
6. 二次根式：先复习平方根和无理数（见第二部分“实数”），再学根式的运算；它的乘法和加减又会用到乘法公式和合并同类项（见第三部分“二次根式”）。

式是后面各部分的工具：解方程就是对式子做变形（见第四部分“总览：从等式到方程”），函数的解析式就是一个含字母的式子（见第七部分“函数”）。