分式 ★
对应人教版八年级上册第十八章。
一般地，、 是整式， 中含有字母，式子 叫分式；分式是字母版的分数，它的性质和运算法则都和分数一样。
从哪里来#
两个整数相除，结果常常不是整数，于是有了分数。两个整式相除也一样，结果常常不是整式：
- 面积为 12 的长方形，一边长 ，另一边长 ；
- 走 千米用了 小时，平均速度是 千米/时；
- 一项工程，甲单独做要 天完成，甲每天完成全部工程的 。
以第一个为例，面积固定是 12，一边 变长，另一边 就变短：
这些式子的分母里有字母，它们不是整式，叫分式。分母里含字母是分式和整式的分界： 是整式（就是 ）， 是分式。
分式的分母代表除数，除数不能为 0，所以：
- 分式有意义： 分母 ；
- 分式的值为 0： 分子 ，并且分母 。
例 1 对于分式 ：（1） 取什么值时它有意义？（2） 取什么值时它的值为 0？
思路： （1）只看分母。（2）分子为 0 只是必要的，还要保证这时分式有意义。
解： （1）由 ，得 ，所以 时分式有意义。
（2）由 ，得 或 。但 时分母为 0，分式没有意义，应舍去。所以 时分式的值为 0。
分式的基本性质#
分数有基本性质：分子、分母同乘（或除以）同一个不为 0 的数，分数的值不变。比如 ：
把每一份再平分成两份，份数和取的份数都变成原来的 2 倍，取出的长度不变。
分式里的字母代表数，所以分式也有同样的性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变。
这个条件不能少：乘 0 后分母变成 0，式子就没有意义了。
分子、分母和分式本身，三处的符号改变其中两处，分式的值不变：
第一个等式是基本性质的特例：分子、分母同乘 。第二个等式里， 就是 ，由有理数除法的符号法则，它等于 ，也就是 ；再把 的分子、分母同乘 ，就得到 。
约分和通分#
基本性质的两个用处，和分数完全一样。
约分： 约去分子、分母的公因式。分子、分母是多项式时，要先因式分解，公因式才能看出来（见第三部分“因式分解”）。约分后分子、分母没有公因式的分式，叫最简分式。
例 2 约分：。
思路： 分子是平方差，分母是完全平方，分解后找公因式。
解：
通分： 把几个异分母的分式化成同分母的分式。分母取最简公分母：把各分母因式分解，取每个因式的最高次幂，乘在一起。这就是分数里求最小公倍数的做法。
例 3 通分： 与 。
解： 两个分母分解为 ，。因式 、、 都要有，最简公分母是 。
分式的运算#
法则都和分数相同：
| 运算 | 法则 |
|---|---|
| 乘法 | 分子乘分子，分母乘分母： |
| 除法 | 乘除式的倒数： |
| 乘方 | 分子、分母分别乘方： |
| 同分母加减 | 分母不变，分子相加减： |
| 异分母加减 | 先通分，变成同分母再加减 |
乘除的结果、加减的结果，都要约分化成最简分式或整式。
例 4 计算：。
思路： 除法变乘法，分子、分母先因式分解，能约的先约掉，再乘，比先乘出来再约省事。
解：
例 5 计算：。
思路： 分母不同，先通分。最简公分母是 ，第二个分式的分子、分母都要乘 。
解：
减去的分子 是一个整体，要加括号。最后一步用了 。
例 6 先化简，再求值：
思路： 括号里是整式减分式，把 1 看成 再通分；然后除法变乘法。
解：
当 时，原式 。
想一想： 直接代入也能算：，，，结果相同。先化简的好处是式子变成了简单的 ，代入只算一步。
但要注意：化简结果 对任何 都有意义，原式却不是。原式里有分母 、，还有除式 不能为 0，所以 不能取 、、。如果题目让你自己选一个 的值代入，只能从这三个数以外选。化简前后的两个式子，只在原式有意义的范围内相等。
负整数指数幂#
同底数幂相除 ，原来要求 （见第三部分“整式的乘法”）。 时会怎样？用分式约分来算：
如果法则照用，应该得到 。为了让法则继续成立，规定
和零指数幂 （）一样，这个规定是为了让法则在更大的范围里成立。看 10 的幂，每往右一格，指数减 1，值除以 10，规律一直延续下去：
| 1000 | 100 | 10 | 1 | 0.1 | 0.01 | 0.001 |
规定之后，同底数幂相乘、相除，幂的乘方，积的乘方，这些法则对全部整数指数都成立。比如 ，也等于 。
用科学记数法表示绝对值小于 1 的数。 大数写成 （见第二部分“有理数的运算”），小数就写成 ，其中 。比如
为什么指数是 ？把 0.000036 的小数点向右移 5 位得到 3.6，相当于乘了 ；要让数值不变，就得再乘 。小数点要移的位数，正好是第一个不为 0 的数字前面 0 的个数（包括小数点前的那个 0）：3 的前面有 5 个 0，所以指数是 。
例 7 （1）1 纳米 米，用科学记数法表示 7 纳米是多少米；（2）计算 ；（3）计算 和 。
解： （1），所以 7 纳米 米。
（2）。
（3）按负整数指数幂的规定，先化成正整数指数幂再算：
易错点#
- 约分约的是因式，不是项。 可以，因为 是分子的因式； 不能约， 只是分子中一项的因式。 更不能把 “约掉”。
- 值为 0 时忘了分母。 分子为 0 的同时，分母不能为 0，否则分式没有意义，更谈不上值是 0。
- 通分时分子漏乘，或减法漏了括号。 的分子是 ，不是 。
- 化简求值代入了使原式无意义的数。 看的是原式，不是化简以后的式子：原式中所有分母、除式都不能为 0。
- 把分式化简当成解方程去分母。 化简 要通分得 ，不能两边同乘 变成 。“两边同乘”是对等式做的，这里没有等式（见第四部分“分式方程”）。
- 负整数指数幂算错。 ，不是 ，也不是 ；，负指数只作用在 上，不是 。
联系#
- 有理数的运算： 分式的约分、通分、四则运算，和分数一一对应；科学记数法从大数推广到小数。见第二部分“有理数的运算”。
- 因式分解： 约分、通分之前，先把分子、分母因式分解。见第三部分“因式分解”。
- 整式的乘法： 负整数指数幂把幂的运算法则从正整数指数推广到全部整数指数。见第三部分“整式的乘法”。
- 分式方程： 分母里含未知数的方程，解的时候两边同乘最简公分母，还要检验分母是否为 0。见第四部分“分式方程”。
- 反比例函数： 面积为 12 的长方形，一边 变长，另一边 就变短；把“从哪里来”那张图再放在下面，长方形右上角的顶点画出的正是 的图象。见第七部分“反比例函数”。