分式方程 ★

对应人教版八年级上册 18.5。

分母里含有未知数的方程叫分式方程；解法是两边乘最简公分母，化成整式方程。因为乘的式子可能等于 0，这一步可能多出原方程没有的“解”，所以必须检验。

从哪里来：未知数跑进了分母#

一艘船在静水中的速度不知道，水流速度是 3 km/h。它顺流航行 80 km 和逆流航行 60 km 所用的时间相同，求船在静水中的速度。

设船在静水中的速度为 km/h，顺流速度是 km/h，逆流速度是 km/h。等量关系是“两段用时相同”，而时间 = 路程 ÷ 速度，于是

未知数出现在分母里了。这不是偶然：时间 = 路程 ÷ 速度，工作时间 = 工作量 ÷ 工作效率，数量 = 总价 ÷ 单价，只要未知的量是除数，列出的方程就是分式方程。

分母中含有未知数的方程叫分式方程。注意是“分母中含有未知数”： 虽然有分数线，但分母是数，它仍是一元一次方程。

解法：化成整式方程#

已经会解整式方程了，自然想到把分母去掉。和一元一次方程去分母一样，两边同乘各分母的最简公分母（见第三部分“分式”）。

上面船速问题列出的方程是

最简公分母是 ，两边同乘它，得

去括号，得 ，所以 ，。

检验： 时，，所以 是原方程的解。回到题目，顺流速度 24 km/h，用时 h；逆流速度 18 km/h，用时 h，确实相同。船在静水中的速度是 21 km/h。

整个过程可以画成下面的流程，最后一步“检验”是分式方程特有的：

例 1　解方程 。

思路： 先把分母分解因式，才看得出最简公分母：，所以最简公分母是 。右边的 1 也要乘。

解： 两边乘 ，得

去括号，得 ；移项、合并同类项，得 ，所以 。

检验： 时，，所以 是原方程的解。

增根从哪里来#

例 2　解方程 。

解： 两边乘 ，得 ，即 ，所以 。

检验： 时，，原方程的分母为 0，没有意义。所以 不是原方程的解，原方程无解。

这里的 是去分母后的整式方程的解，却不是原方程的解，叫原方程的增根。它是怎么多出来的？

回忆等式的性质 2：两边乘同一个数，等式仍成立。反过来却不一定：一个本来不成立的等式，两边都乘 0 以后，就变成了成立的 。比如 ，可是 。

去分母时乘的 是含未知数的式子。 取别的值时它不等于 0，变形前后等价；可是当 时它等于 0，原方程在这里根本没有意义，乘完以后却可能“成立”了。所以：

• 整式方程的解，只可能在“最简公分母等于 0”的地方多出来；
• 检验时，只要把解代入最简公分母：不等于 0，就是原方程的解；等于 0，就是增根，要舍去。

也可以代入原方程检验，那样还能顺便查出计算错误，只是麻烦一些。

含字母的分式方程（拓展）#

增根的来历弄清楚了，就能反过来用：增根一定让最简公分母等于 0。

例 3　关于 的方程 。

（1）如果这个方程有增根，求 的值；

（2）如果这个方程的解是正数，求 的取值范围。

思路： 先照常去分母，把 用 表示出来。增根只可能是让 的 ；“解是正数”除了要求 ，还要求这个解不是增根。

解： 两边乘 ，得 ，即 ，所以 。

（1）方程有增根，增根只能是 。令 ，得 。

（2）解是正数，需要 ，得 ；同时这个解不能是增根，即 ，得 。所以 且 。

回顾： 第（2）问最容易漏掉 。 时整式方程的解是 ，虽然是正数，却让分母为 0，原方程其实无解。

实际问题：工程问题#

例 4　一项工程，甲队单独做需要 30 天完成。甲、乙两队合做 12 天完成。乙队单独做需要多少天完成？

思路： 工程问题的关键是把全部工作量看成 1。甲队 30 天完成，每天完成 ；设乙队单独做需要 天，每天完成 。等量关系是：甲 12 天的工作量 + 乙 12 天的工作量 = 全部工作量 1。

解： 设乙队单独做需要 天完成。根据题意，得

两边乘 ，得 ，所以 ，。

检验： 时 ，是原方程的解，而且天数为正，符合题意。

答：乙队单独做需要 20 天完成。

想一想： 如果设的不是天数，而是乙队每天完成的工作量 ，方程就是

这是一元一次方程，解得 ，乙队单独做需要 天。

天数和每天的工作量互为倒数：设哪一个，另一个就在分母里。未知数放在分母还是分子，取决于设的是哪个量，方程的类型可以通过换个设法来改变。

实际问题要两次检验： 先检验是不是增根，再检验是否符合实际（天数、速度为正，人数为整数等）。

易错点#

• 去分母时漏乘不含分母的项。 例 4 的方程 两边乘 ，左边的 和 要乘，右边的 1 也要乘，得 。
• 分子是多项式时不加括号。 乘 得 ，括号里的每一项都要变号。
• 最简公分母找错。 分母能分解因式的先分解，如 ，，再取各因式的最高次幂的积。
• 忘记检验，或者检验时代错了地方。 检验是把解代入最简公分母（或原方程），不是代入去分母后的整式方程——整式方程的解代回整式方程总是成立的。
• 把“有增根”和“无解”当成一回事。 分式方程无解有两种可能：去分母后的整式方程本身无解；或者整式方程的解都是增根。反过来，有增根也不一定无解：去分母后得到一元二次方程时，可能一个根是增根，另一个根是原方程的解。
• “解是正数”漏掉“不是增根”这个条件。 例 3 中，方程 去分母后得 ；解是正数，除了 ，还要这个解不是增根 ，即 。

联系#

• 分式： 分式的分母不能为 0，这正是分式方程要检验的原因；找最简公分母、分解因式，都是分式运算的基本功。见第三部分“分式”。
• 一元一次方程： 去分母后大多化成一元一次方程；去分母的做法也和一元一次方程一样，只是乘的式子可能为 0。见第四部分“一元一次方程”。
• 反比例函数： 路程一定时，时间和速度成反比；工作量一定时，时间和工作效率成反比。分式方程里的 、，都是反比例关系。见第七部分“反比例函数”。
• 一元二次方程： 有的分式方程去分母后得到一元二次方程，照样要检验。见第四部分“一元二次方程”。
• 方程思想与建模： 行程、工程、购物中的“÷”关系，是分式方程最常见的来源。见第十一部分“方程思想与建模”。

真题： 2026 年第 12 题、2022 年第 20 题。