与圆有关的计算 ★
对应人教版九年级上册 29.3 节、30.3 节。
弧长和扇形面积，都是把整圆的周长和面积按圆心角占 的比例取出一部分；圆锥的侧面展开是一个扇形，侧面积就是这个扇形的面积。 整圆的周长和面积本身，则是用圆内接正多边形一步步逼近得到的。
正多边形与圆#
各边相等、各角也相等的多边形叫正多边形。 两个条件缺一不可：菱形各边相等，但各角不一定相等；矩形各角相等，但各边不一定相等。
正多边形可以从圆里得到。把圆 等分（），依次连接各分点，就得到圆的内接正 边形。 理由是：
- 各段弧相等，在同一个圆中等弧所对的弦相等，所以各边相等；
- 每个内角都是圆周角，所对的弧都由 段相等的小弧组成，同弧或等弧所对的圆周角相等，所以各角相等（见第九部分“圆的有关性质”）。
反过来，任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，两个圆是同心圆。围绕这个共同的圆心，有下面几个名称：
| 名称 | 意思 |
|---|---|
| 中心 | 外接圆的圆心 |
| 半径 | 外接圆的半径，即中心到顶点的距离 |
| 中心角 | 每条边所对的外接圆的圆心角，正 边形的中心角是 |
| 边心距 | 中心到一边的距离，也就是内切圆的半径 |
所有计算都集中在一个直角三角形里。作边心距 ，由垂径定理， 是 的中点， 平分中心角。在 中，斜边是半径 ，一条直角边是边心距 ，另一条直角边是边长 的一半， 是中心角的一半：
连接中心和各顶点，正 边形被分成 个全等的等腰三角形，底是边长 ，高是边心距 ，所以
其中 是正多边形的周长。
最常用的三种正多边形，用半径 表示：
| 正多边形 | 图 | 中心角 | 边长 | 边心距 | 面积 |
|---|---|---|---|---|---|
| 正三角形 |  |
||||
| 正方形 |  |
||||
| 正六边形 |  |
正六边形最特别：中心角是 ，，所以 是等边三角形，正六边形的边长等于半径。用圆规在圆上以半径为距离依次截取，正好截 6 次回到起点，就把圆 6 等分了（见第五部分“尺规作图”）。
例 1 一个正六边形的边心距是 cm，求它的边长、周长和面积。
还是前面那张正六边形的图：中心 ，半径 ，边心距 ， 是 的中点。
思路： 已知边心距，在 中，，由边心距可以求出半边长；也可以直接用“正六边形的边长等于半径”和勾股定理。
解： 在 中，，，所以
边长 cm，周长 cm，面积
检验： 正六边形的边长等于半径，，由勾股定理，边心距 ，和已知一致。
圆周率 π#
圆的周长和直径的比，对所有的圆都一样吗？任意两个圆，一个都可以看成另一个按比例放大或缩小得到的；在两个圆里各作内接正 边形，这两个正多边形相似，相似比就是两个圆的半径之比，所以它们的“周长 ÷ 直径”相等（见第八部分“相似”）。边数越多，正多边形越贴近圆，所以圆的周长和直径的比是一个常数，这个常数叫圆周率，记作 。
拓展： 怎样算出 ？三国时期的刘徽用的就是上图的办法，叫割圆术：从圆内接正六边形开始，边数一次次加倍，用正多边形的周长逼近圆的周长。直径为 时，正 边形的周长除以直径等于 ：
| 边数 | 6 | 12 | 24 | 48 | 96 |
|---|---|---|---|---|---|
| 周长 ÷ 直径 | 3 | 3.1058 | 3.1326 | 3.1394 | 3.1410 |
正六边形的边长等于半径，周长是 ，所以 。边数越多，比值越大，越来越接近 。南北朝的祖冲之算出 。后来人们证明了 是无理数（见第二部分“实数”），计算时通常取近似值 3.14，或者在结果里保留 。
于是，半径为 的圆，周长 。
圆的面积。 正 边形的面积是 。边数越来越多时，周长越来越接近圆的周长 ，边心距越来越接近半径 ，所以圆的面积是
同样的道理也可以用剪拼来看：把圆平均分成很多个小扇形，一正一反拼起来，接近一个平行四边形，底是周长的一半 ，高是 。
两种说法都是 ，和三角形面积 是一个样子：圆可以看成很多个以圆心为顶点、高为 的细长三角形拼成的。
弧长和扇形面积#
整圆的圆心角是 。 的圆心角所对的弧长是整个周长的 ， 的圆心角所对的弧长就是周长的 ：
由两条半径和它们所夹的弧围成的图形叫扇形。圆心角为 的扇形，面积是整个圆面积的 ：
把两个公式放在一起看：，所以
这又是“ 底 高”：把弧长 看成底，半径 看成高，扇形就像一个“曲边三角形”。整圆也符合这个式子，。
| 整圆 | 圆心角为 的部分 | 两者的比 |
|---|---|---|
| 周长 | 弧长 | |
| 面积 | 扇形面积 ，或 |
扇形统计图里，每个扇形的圆心角等于这一部分所占的百分比乘 ，用的是同一个比例（见第十部分“数据的收集、整理与描述”）。
例 2 如图，扇形 的半径为 6，圆心角 。
- 求弧 的长和扇形 的面积；
- 求弦 和弧 围成的图形（图中红色部分）的面积。
思路： 第 1 问直接代公式。第 2 问的图形叫弓形，它不是扇形，也不是三角形，但它是扇形 去掉 剩下的部分，用“割补”转化成会算的图形。 是等腰三角形，作 ，底和高都能从 求出来。
解： （1）弧 的长 ，扇形面积
也可以用 检验。
（2）作 ，垂足为 。，由“三线合一”， 平分 ，， 是 的中点。
在 中，
所以 ，。弓形的面积是
回顾： 弓形所对的圆心角小于 时，弓形面积是扇形面积减去三角形面积；圆心角大于 时，弓形包含圆心，面积是扇形面积加上三角形面积：
先看清图形由哪些会算的图形拼成或割成，再算。
圆锥的侧面积和全面积#
圆锥由一个底面和一个侧面围成。连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫圆锥的母线，长记作 ；底面半径记作 ，高记作 。高、底面半径、母线组成直角三角形，所以
把圆锥的侧面沿一条母线剪开、展平，得到一个扇形（见第五部分“几何图形初步”）：
展开前后有两个对应：
- 扇形的半径是圆锥的母线 ；
- 扇形的弧长是圆锥底面圆的周长 。
由 ，这里弧长是 ，半径是 ，所以
展开图的圆心角 也能求：由弧长 ，得 。也就是说，扇形占整个圆的比例 ，正好等于 。
例 3 一个圆锥的底面半径是 3 cm，高是 4 cm。求它的侧面积、全面积，以及侧面展开图的圆心角。
思路： 侧面积要用母线，不是高，所以先用勾股定理求母线。
解： 母线 cm。
侧面积 （cm²），全面积 （cm²）。
展开图的圆心角 ，即 。
例 4 用一张半径为 12 cm、圆心角为 的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面（接缝不计）。求这个圆锥的底面半径和高。
思路： 这次反过来，从展开图还原圆锥，用的仍然是那两个对应：扇形的半径 12 cm 是母线，扇形的弧长是底面周长。
解： 扇形的弧长 ，它等于底面周长，所以 ， cm。母线 cm，所以高
检验： 由 ，，两边都是 。
易错点#
- 弧长公式里的 用错。 是弧所在圆的半径。圆锥展开图里，扇形的半径是母线 ，不是底面半径 。
- 侧面积用了高。 圆锥的侧面积是 ， 是母线。只知道高时，先用 求母线。
- 全面积忘了加底面。 全面积是侧面积加上底面积。
- 把弧的度数和弧长混为一谈。 弧的度数只由圆心角决定；弧长还和半径有关。度数相同的两条弧，半径大的更长。
- 弓形面积一律用“扇形减三角形”。 圆心角大于 时，要用扇形面积加三角形面积。
- 正多边形的半径和边心距搞混。 半径是中心到顶点的距离，边心距是中心到边的距离，边心距更短。
- 题目要求保留 ，却代入了 3.14。 没有特别说明时，结果里保留 更精确。
联系#
- 圆的有关性质： 弧的度数等于圆心角的度数，弧长和扇形面积才能按圆心角的比例计算；正多边形各边、各角相等，依据是等弧对等弦、同弧所对的圆周角相等。见第九部分“圆的有关性质”。
- 与圆有关的位置关系： 正多边形的外接圆和内切圆是同心圆，半径和边心距分别是这两个圆的半径。见第九部分“与圆有关的位置关系”。
- 相似： 所有的圆都相似，所以周长和直径的比是常数 。见第八部分“相似”。
- 锐角三角函数： 正多边形的边长、边心距和割圆术的计算，都在中心角一半所在的直角三角形里完成。见第八部分“锐角三角函数”。
- 勾股定理： 正多边形中 ，圆锥中 。见第五部分“勾股定理”。
- 实数： 是无理数，结果可以保留 ；要得到具体数值时，才用 3.14 这样的近似值去算。见第二部分“实数”。
- 几何图形初步： 圆锥的展开图是一个扇形和一个圆，圆柱的展开图是一个长方形和两个圆。见第五部分“几何图形初步”。
- 投影与视图： 圆锥的主视图是一个等腰三角形，腰是母线，底是底面直径，高是圆锥的高。见第八部分“投影与视图”。
- 数据的收集、整理与描述： 扇形统计图的圆心角和这里的扇形一样，按所占的比例乘 。见第十部分“数据的收集、整理与描述”。
真题： 2026 年第 10 题、2025 年第 2 题、2025 年第 14 题、2024 年第 9 题、2022 年第 14 题。