锐角三角函数 ★
对应人教版九年级下册“锐角三角函数”一章。
在直角三角形中，一个锐角的大小确定了，三条边两两之间的比就都确定了；这些比叫做这个锐角的三角函数。 它们把“角”和“边”连了起来：知道角可以求边的比，知道边的比也可以求角。
从哪里来#
一个斜坡有多陡，可以用坡角的大小来说，也可以用“升高的高度 ÷ 水平走过的距离”来说。这两种说法之间是什么关系？
在一个锐角 的一边上任取几个点 、、，分别向另一边作垂线，得到几个直角三角形：
这些直角三角形都有一个直角，又共用 ，两角分别相等，所以全都相似（见第八部分“相似”）。于是它们对应边的比相等：
垂线画在哪里，三角形有多大，都不影响这个比值；只有 变了，比值才会变。比值只由角决定，所以可以把它看成角的“身份证”：给一个锐角，就对应一个确定的比值。每取一个锐角都对应唯一的比值，这正是函数的意思（见第七部分“函数”），所以叫三角函数。
正弦、余弦、正切#
在 中，，、、 的对边分别是 、、。对 来说， 是它的对边， 是它的邻边， 是斜边：
三条边两两相比，有三个常用的比值：
它们分别叫 的正弦、余弦、正切，统称 的锐角三角函数。 是一个完整的记号，表示一个数，不是 乘 。
斜边取 1 来看。 既然比值和三角形的大小无关，不妨让斜边等于 1，这时对边的长就是 ，邻边的长就是 ：
从图上能直接读出：
- 直角边比斜边短，所以 ，；
- 越大，对边越长、邻边越短： 随 的增大而增大， 随 的增大而减小；
- 是对边除以邻边，分子变大、分母变小，也随 的增大而增大。 越大，斜边越陡，这正是坡度要用的量。
三个比值之间的关系#
三个比值来自同一个直角三角形，它们之间有关系，不用单独记：
| 关系 | 式子 | 从哪里来 |
|---|---|---|
| 平方和为 1 | ，由勾股定理 ，结果是 1 | |
| 正切是正弦除以余弦 | ||
| 互余两角 | 时，， | 的对边 正是 的邻边，所以 |
其中 表示 。
特殊角的三角函数值#
、、 的三角函数值，都能从两个熟悉的三角形里读出来：
- 等腰直角三角形： 两条直角边都取 1，由勾股定理斜边是 ，两个锐角都是 。
- 半个等边三角形： 边长为 2 的等边三角形，作一条高，把它分成两个全等的直角三角形。每个直角三角形的斜边是 2，短直角边是底边的一半 1，另一条直角边（高）由勾股定理是 。等边三角形的角是 ，高又平分顶角，所以两个锐角是 和 。
按定义直接读出比值：
| 角 | |||
|---|---|---|---|
| 1 | |||
比如 （分母有理化，见第三部分“二次根式”）。表里的规律都能用前面的道理检查：，因为 和 互余； 一列从上往下变大， 一列变小。
反过来，已知三角函数值也能求角：， 是锐角，那么 。其他角的三角函数值，以及由三角函数值求角，用计算器。
解直角三角形#
直角三角形除了直角，还有 5 个元素：三条边和两个锐角。它们之间有三类关系：
- 三边之间： （勾股定理）；
- 两锐角之间： ；
- 边角之间： ，，。
由已知元素求出其余元素，叫解直角三角形。只要知道 5 个元素中的 2 个，而且其中至少有一条边，就能解出其余的。只知道两个角不行：角相同的直角三角形可大可小，都相似，边定不下来。这和“两角分别相等的三角形相似而不一定全等”是一回事。
怎样选用关系式：选一个同时含有已知量和要求的量的式子。 比如在 中，，，，求 ： 是 的对边， 是斜边，对边和斜边用正弦，。同样，，。
例 1 在 中，，，。求 的长和 的面积。
思路： 三角函数是在直角三角形里定义的， 不是直角三角形，先要造出直角。已知的两个角 、 都在 的两端，从 作 的垂线 ，这两个角就分别落在两个直角三角形里，而且两个直角三角形共用 。先在已知一条边的 里算出 ，再用 去解 。
解： 作 于点 。
在 中，，
在 中，，，所以
所以 ，面积
回顾： 斜三角形作高，是把它化成直角三角形的常用办法。作哪条高要看条件：让已知的角留在直角三角形里，不要把它分开。
实际问题中的角和比#
解实际问题，先要把题目里的说法翻译成直角三角形里的角或边的比：
| 说法 | 示意图 | 意思 | 注意 |
|---|---|---|---|
| 仰角、俯角 |  |
视线与水平线的夹角；视线在水平线上方是仰角，在下方是俯角 | 从水平线量起，不是从竖直方向量起 |
| 坡度 |  |
坡面的铅直高度 与水平宽度 的比，，常写成 | 坡面与水平面的夹角 叫坡角，。坡度是比值，不是角 |
| 方位角 |  |
从正北或正南方向量起，偏向东或西的角，如“北偏东 ” | 先找南北方向线，再往东或西转 |
例 2 在地面上 处测得塔顶 的仰角为 ，向塔前进 20 m 到达 处，测得塔顶 的仰角为 。、 和塔底 在同一直线上。求塔高 （结果保留根号，并求出精确到 0.1 m 的近似值。参考数据：）。
思路： 图里有两个直角三角形 和 ，但哪一个都只知道一个角，没有已知的边；已知的 20 m 是两条直角边 和 的差。它们共用 ，所以设 ，把 、 都用 表示，再由 列方程。
解： 设 m。
在 中，，所以 。
在 中，，，所以
由 ，得 ，所以
答：塔高 m，约 27.3 m。
想一想： 例 2 里的两个直角三角形 和 ，各自只知道一个角，没有一条已知边，都“条件不够”，没法单独解出来。但它们有公共边 ，已知的 20 m 又是两条线段的差 ，所以设公共边为未知数，列方程。对比例 1（，，）：作高 后， 已知斜边 和 ，是一个“条件够用”的直角三角形，可以直接一步一步往下算。什么时候直接算、什么时候列方程，看的是有没有一个直角三角形已经知道两个元素（至少一条边）。
例 3 一段河堤的横截面是梯形 ，，堤顶宽 m，堤高 6 m，斜坡 的坡度 ，斜坡 的坡度 ，坡角为 。求坡角 、堤底宽 和斜坡 的长（精确到 0.1 m。参考数据：）。
思路： 梯形不是直角三角形，过 、 作高 、，梯形分成两个直角三角形和中间一个矩形。坡度就是直角三角形里“高 ÷ 水平宽度”，每一段都能直接算。
解： 作 于点 ， 于点 ，则 ，四边形 是矩形，。
- 斜坡 ：，所以 。
- 斜坡 ：，所以 ，。
所以 （m）。在 中，（m）。
答：坡角 ，堤底宽约 20.4 m，斜坡 长 12 m。
例 4 一艘船由 处向正东航行，在 处测得灯塔 在北偏东 方向；航行 20 海里到达 处，测得灯塔 在北偏东 方向。灯塔周围 15 海里内有暗礁，船继续向正东航行，有没有触礁的危险？
思路： 船沿直线 向东走，离灯塔最近的时候，是走到从 向航线所作垂线的垂足 时，所以要比较的是 和 15 海里。先把方位角换成三角形的内角，看看 有什么特点。
解： 作 ，交 的延长线于点 。
由方位角，，。 是 的外角，所以 。于是 ， 海里（等角对等边）。
在 中，
比较 和 15，不用近似值，两边平方就行：，，，所以 。答：船继续向正东航行，没有触礁的危险。
易错点#
- 对边、邻边认错了角。 “对边”“邻边”是相对于某个锐角说的。 的对边是 的邻边。直角不一定在 ，先找到直角，再看要用的是哪个锐角。
- 在非直角三角形里直接用定义。 只在直角三角形里成立。遇到斜三角形，先作高。
- 把 当成乘法。 ：，。角扩大 2 倍，三角函数值并不扩大 2 倍。
- 特殊角的值记混。 不要死记，画出两个特殊三角形现读；再用“ 随角增大而增大”检查，比如 一定小于 。
- 把坡度当成坡角。 坡度 是 ，坡角才是 。
- 仰角、方位角量错了起始线。 仰角、俯角从水平线量起；方位角从正北或正南方向量起。
- 中途取近似值。 中间步骤保留根号，最后一步再取近似值，否则误差会累积。
联系#
- 相似： 三角函数之所以只由角决定，是因为有一个锐角相等的直角三角形都相似。见第八部分“相似”。
- 勾股定理： 就是勾股定理两边同除以 ；特殊角的边长也由勾股定理算出。见第五部分“勾股定理”。
- 一次函数： 直线 （）上， 每增加 1， 增加 ，这就是一级台阶的“对边 ÷ 邻边”，所以 等于直线与 轴正方向夹角的正切。 越大，夹角越大，直线越陡。见第七部分“一次函数”。
- 二次根式： 特殊角的三角函数值和解直角三角形的结果常含根号，要会化简和分母有理化。见第三部分“二次根式”。
- 函数： 每个锐角对应唯一的三角函数值，所以叫“函数”。见第七部分“函数”。
- 投影与视图： 线段 和投影面成 角时，它的正投影长 。见第八部分“投影与视图”。
- 与圆有关的计算： 正多边形的边长、边心距，都是在由半径、边心距和半条边组成的直角三角形里解出来的。见第九部分“与圆有关的计算”。
- 方程思想与建模： 例 2 在相距 20 m 的 、 两处测得塔顶的仰角是 、，设公共边 （塔高）为未知数列方程，是解直角三角形实际问题的常用想法。见第十一部分“方程思想与建模”。
真题： 2026 年第 21 题、2024 年第 20 题、2023 年第 20 题、2023 年第 23 题、2022 年第 19 题。