函数
对应人教版八年级下册第二十二章。
函数是一种对应：在一个变化过程中，有两个变量 和 ，对于 的每一个确定的值， 都有唯一确定的值和它对应，就说 是 的函数。 这里 叫自变量； 时对应的 值，叫 时的函数值。
从哪里来#
世界上很多量在变，而且一个量的变化常常跟着另一个量走：
| 变化过程 | 一个量 | 跟着变的量 | 关系 |
|---|---|---|---|
| 汽车以 60 km/h 匀速行驶 | 行驶时间 （h） | 路程 （km） | |
| 画不同大小的圆 | 半径 | 面积 | |
| 一天之中 | 时刻 | 气温 | 写不出式子，但每个时刻都有一个气温 |
在一个变化过程中，数值会变的量叫变量，数值始终不变的量叫常量。 里，、 是变量，60 是常量； 里， 是常量。
这些例子有一个共同的样子：先定下一个量，另一个量就跟着定下来了。 时间定了，路程就定了；半径定了，面积就定了；时刻定了，气温就定了。
这种样子其实早就见过。代数式 的值随 变化： 时值是 5， 时值是 −3， 每取一个值，式子只算出一个值（见第三部分“代数式”）。函数就是把“代数式的值”这件事，推广到一切“一个量定下来、另一个量就跟着定下来”的变化过程，不管能不能写成式子。
为什么要“每一个”和“唯一”#
定义里有两个关键词，各管一件事。
“每一个”： 自变量允许取的每个值，都要有函数值。允许取哪些值，叫自变量的取值范围，后面专门讲。
“唯一”： 一个 只能对应一个 。定义函数，就是为了“知道 ，就能说出 是多少”；如果一个 对应两个 ，就说不出“那个” 了。
下图左边， 取 −2、−1、1、2，每个 都只射出一支箭头：这是 ，是函数。两个不同的 指向同一个 （−2 和 2 都对应 4）并不违反定义，“唯一”只要求从 出发的箭头只有一支。右边是满足 的对应： 时 可以是 2，也可以是 −2，一个 射出两支箭头，所以 不是 的函数。
放到坐标系里看：同一个 对应的点都在同一条竖直的直线上。“唯一”就是说，任何一条竖直的直线和函数的图象最多只有一个交点。 下面是满足 的点组成的图形，竖直的直线 和它交于 、 两点，所以它不是 关于 的函数的图象：
自变量的取值范围#
自变量不是想取什么值都行，要受两方面的限制：
| 限制来自 | 要求 | 例子 |
|---|---|---|
| 分式 | 分母不能为 0 | 中 |
| 二次根式 | 被开方数不能是负数 | 中 |
| 实际意义 | 符合实际：长度、时间为正数，件数、人数为整数等 | 买 支笔， 是正整数 |
整式（如 ）对 没有限制， 可以取任意实数。几种限制同时出现时，要同时满足，取它们的公共部分。
例 1 求下面函数中自变量 的取值范围：
思路： 式子里有两处会“出问题”：根号里不能是负数，分母不能是 0。两个要求同时满足。
解： 由 ，得 ；由 ，得 。所以 且 。
例 2 等腰三角形的周长是 20 cm，腰长为 cm，底边长为 cm。写出 关于 的函数解析式，并求自变量的取值范围。
思路： 解析式由周长直接得到。取值范围不能只看式子 （式子对 没有限制），要看实际意义：边长是正数，三条边还要能围成三角形。
解： 由 ，得 。
- 底边长为正数：，得 。
- 两腰之和大于底边（三角形两边之和大于第三边，见第五部分“三角形”）：，得 。
- 腰长 是正数，已包含在 中。
所以 ，自变量的取值范围是 。
检验： 取 ，底边 ，三边 6、6、8 能围成三角形；取 ，底边 ，，围不成。
三种表示法#
同一个函数可以用三种方式写出来。比如每支笔 3 元，买 支笔花 元：
| 表示法 | 这个例子 | 好处 | 局限 |
|---|---|---|---|
| 列表法 | 列出 时 | 不用计算，直接查到函数值 | 只能列出一部分，看不出整体规律 |
| 解析式法 | （ 为正整数） | 准确、完整，便于计算和推理 | 不直观；有些关系写不出式子 |
| 图象法 | 在坐标系中描出点 、、…… | 直观，一眼看出变化趋势 | 读出的数值往往不精确 |
这三种表示法说的是同一个对应关系，学函数就是在三者之间来回翻译：由式子列表、画图，由图读出性质，再回到式子说明为什么（见第一部分“三种数学语言”）。
注意这个例子的图象： 只能取正整数，所以图象是一个个孤立的点，不能连成直线。图象是什么样子，要看自变量的取值范围。
画函数图象的方法叫描点法， 分三步：列表（取一些自变量的值，算出函数值）、描点（以每一对值为坐标，在坐标系中描出点）、连线（按自变量从小到大，用平滑的曲线连起来）。比如画 ：
| −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 |
函数的图象，就是所有满足解析式的点 组成的图形：图象上每个点的坐标都满足解析式，满足解析式的点都在图象上。这句话是后面判断“点在不在图象上”和求交点的依据。
读图：从图象中读出信息#
例 3 小明骑车从家出发去图书馆，在图书馆看了一会儿书，再骑车回家。下图是他离家的距离 （千米）和出发后的时间 （分）的关系。
（1）图书馆离家多远？小明在图书馆待了多久？
（2）去图书馆和回家的速度分别是多少？
（3）出发后多长时间，小明离家 2 千米？
思路： 横轴是时间，纵轴是离家的距离。图象上升，说明离家越来越远；水平，说明距离不变，人没有动；下降，说明在往回走。每一段的速度就是“距离的变化 ÷ 时间的变化”。
解：（1） 从 20 到 50， 一直是 4，所以图书馆离家 4 千米，小明在图书馆待了 分钟。
（2）去：20 分钟走 4 千米，每分钟 0.2 千米，即 12 千米/时。回：从 到 ，30 分钟走 4 千米，即 8 千米/时。
（3）去的路上，每分钟走 0.2 千米，走 2 千米用 分钟；回的路上，要走 千米，每分钟走 千米，用 分钟，所以 。答：出发后 10 分钟和 65 分钟时，小明离家 2 千米。
回顾： 第（3）问有两个答案，图上一条水平的直线 和图象交于两点：
所以在这个过程中， 是 的函数（每个时刻只有一个距离）， 却不是 的函数（同一个距离对应两个时刻， 时更是对应无数个时刻）。谁是谁的函数，要回到定义里的“唯一”去判断。
易错点#
- 把“唯一”理解成“一一对应”。 中， 和 对应同一个 ， 仍然是 的函数。定义只要求一个 对应一个 ，不要求一个 只对应一个 。
- 求取值范围只考虑一种限制。 式子里既有分母又有根号时，两个条件都要写，并且用“且”连起来；实际问题还要再看实际意义，比如例 2（周长 20 cm 的等腰三角形，腰长 cm，底边长 cm）里还要用三角形三边的关系，才得到 。
- 忽视二次根式在分母上的情况。 中，根号在分母上，被开方数既不能是负数，也不能是 0，所以 ，不是 。
- 图象上的点和解析式对不上。 点在函数图象上，它的坐标就一定满足解析式，可以代入；反过来，坐标不满足解析式的点，一定不在图象上。
- 读图时看错了纵轴的意思。 例 3（小明骑车去图书馆，看了一会儿书，再骑车回家）中纵轴是“离家的距离”，不是“走过的路程”。图象下降，是在往家的方向走，走过的路程其实还在增加。
联系#
- 代数式： 代数式的值随字母变化，字母每取一个值，式子只有一个值，这就是函数的雏形。见第三部分“代数式”。
- 平面直角坐标系： 有了坐标系，一对对 才能画成点，函数才有了图象。见第六部分“平面直角坐标系”。
- 三种数学语言： 解析式、表格、图象是同一个函数的符号语言和图形语言。见第一部分“三种数学语言”。
- 一次函数、反比例函数、二次函数： 初中要学的三种具体的函数，每一种都从解析式出发研究图象和性质。见第七部分“总览：三种函数对照”。
- 动点与函数： 图形里的点在动，线段长、面积跟着变，就产生了函数。见第十一部分“动点与函数”。