勾股定理 ★

对应人教版八年级下册第二十章。

直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方：如果直角边是 、，斜边是 ，那么 。 它把直角三角形的“形”（有一个直角）变成了三条边之间的“数”的关系：知道任意两条边，就能算出第三条。

从哪里来#

两条直角边确定了，直角三角形就确定了（两边和它们的夹角，SAS），斜边的长度也就跟着确定了。所以斜边和两条直角边之间一定有一个确定的关系。这个关系是什么？

在方格纸上画一个直角三角形 ，，两条直角边沿着格线：，。在三条边上各向外画一个正方形，看看它们的面积：

两条直角边上的正方形沿着格线，直接数格子：面积是 9 和 16。

斜边上的正方形斜放着，格线把它切得零零碎碎，没法直接数。换个办法：顺着格线，在它外面套一个大正方形，让它的四个顶点正好落在大正方形的四条边上：

• 大正方形的每条边都被分成 3 和 4 两段，边长是 ，面积是 。
• 大正方形比斜放的正方形多出四个角上的直角三角形。每一个的两条直角边都是 3 和 4（左下角那个就是 本身），面积都是 。
• 所以斜边上的正方形面积是 。用尺子量一量，斜边 正好长 5，，对得上。

把三个面积放在一起：。再换一个直角三角形试试，比如两条直角边都是 1 的等腰直角三角形：两个小正方形面积都是 1，斜边上的正方形用同样的办法算，面积是 2，也有 。

于是猜想：两条直角边上的正方形面积之和，等于斜边上的正方形面积。 边长的平方就是正方形的面积，所以这个猜想写成式子就是 。

几个例子只能让人相信，不能说明所有直角三角形都这样，要证明。“平方”就是“面积”，所以证明也从面积入手。

我国古代把直角三角形较短的直角边叫“勾”，较长的直角边叫“股”，斜边叫“弦”，所以这个结论叫勾股定理。西方叫它毕达哥拉斯定理。

拼图证明：同一块面积算两遍#

取四个全等的直角三角形，直角边为 、，斜边为 。把它们放进一个边长为 的大正方形里，有两种摆法：

左边的摆法： 四个三角形放在四个角上，中间空出一个四边形。它的四条边都是 ；它的每个角和两个三角形的锐角拼成一个平角，而直角三角形两个锐角的和是 ，所以每个角是 。所以中间是边长为 的正方形，空出的面积是 。

右边的摆法： 把其中三个三角形平移，两两拼成两个长方形，大正方形里空出边长为 和 的两个正方形，空出的面积是 。

大正方形一样大，四个三角形也一样，那么空出的面积一定相等：

也可以用代数把左边的摆法算一遍：大正方形的面积等于四个三角形加中间的正方形，

左边展开是 ，右边是 ，两边都减去 ，得 。

另一种拼法：赵爽弦图。 三国时期的赵爽把四个三角形放进边长为 的正方形里，斜边朝外，中间空出一个小正方形，边长是 ：

大正方形的面积 = 四个三角形 + 小正方形：

想一想： 两种拼法都在做同一件事，把一块面积用两种方法表示，再令它们相等。这和用拼图验证 是同一种想法（见第三部分“整式的乘法”）。几何上的“面积相等”，写出来就是代数上的“式子相等”。

用勾股定理计算：先找直角三角形#

用勾股定理之前，先问两件事：直角在哪里？哪条边是斜边？斜边是直角所对的边，也是最长的边。

• 已知两条直角边：；
• 已知斜边和一条直角边：。

边长是正数，所以开平方只取算术平方根。算出的结果常常是无理数，要用二次根式表示或化简（见第三部分“二次根式”）。

例 1　一架长 25 m 的消防云梯 斜靠在竖直的墙上，云梯底端 到墙角 的距离是 7 m。如果云梯顶端 沿墙下滑 4 m，那么底端也向外滑动 4 m 吗？

思路： 墙和地面垂直，云梯、墙、地面围成直角三角形，云梯是斜边。滑动前后云梯长度不变，前后各有一个直角三角形。先算出顶端原来的高度，再算滑动后底端的位置。

解： 在 中，，，所以

顶端下滑 4 m 后，。在 中，，所以

。答：底端向外滑动 8 m，不是 4 m。

回顾： 云梯长度不变，但顶端和底端滑动的距离一般不相等，因为 、 之间是“平方和不变”，不是“和不变”。

例 2　（改编自《九章算术》）一个水池的截面宽 10 尺，一根芦苇 长在池子中央，露出水面 1 尺。把芦苇顶端拉向岸边，它的顶端正好碰到岸边的水面 。问水深和芦苇长各多少？

思路： 两个未知量都不知道，但它们有关系：芦苇比水深长 1 尺。设水深为 尺，芦苇长就是 尺。拉过去以后，水深 、半个池宽 、芦苇 组成直角三角形，勾股定理就给出了一个方程。

解： 设水深 尺，则 尺， 尺。在 中，

展开得 ，所以 ，。答：水深 12 尺，芦苇长 13 尺。

回顾： 这里勾股定理不是用来“代入算数”，而是用来列方程：设出未知的边，用已知的关系把其他边表示出来，再让三边满足 。方程里的 两边消掉，最后是一元一次方程。

例 3　如图，长方形纸片 中，，。沿 折叠，使点 落在 边上的点 处。求 的长。

思路： 折叠就是轴对称，折过去的部分和原来全等：，。先在 里算出 ，得到 ；再设 ， 的三边都能用已知数和 表示，列方程。

解： 由折叠，，。在 中，，所以 。

设 ，则 。在 中，

展开得 ，所以 ，。答：。

回顾： 折叠问题的两步：先用轴对称找出相等的线段和角（见第五部分“轴对称与等腰三角形”），再在一个直角三角形里用勾股定理列方程。

逆定理：由三边判定直角#

勾股定理说：直角三角形 ⇒ 。反过来问：如果三角形的三边满足 ，它一定是直角三角形吗？

古埃及人用打了结的绳子，围成三边为 3、4、5 的三角形，来得到直角。这个做法是对的，但要证明。

勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 、、 满足 ，那么这个三角形是直角三角形，边 所对的角是直角。

思路： 手里只有三边的数量关系，没有角。想办法造一个真正有直角的三角形来比较：如果它和 全等，直角就“搬”过来了。

证明： 设 中 ，，。作 ，使 ，，，设斜边 。由勾股定理，， 和 都是正数，所以 。于是 和 的三边分别相等，（SSS），。

想一想： 证明逆定理时用到了勾股定理本身，这算不算循环论证？不算。循环论证是用要证的结论去证它自己；这里要证的是“ 是直角三角形”，证明中始终没有假设 有直角。勾股定理已经用拼图证明过了，它说的是“直角三角形的三边满足 ”，证明里只把它用在自己作出来的 上，而 的直角是作图时保证的。 的直角，是最后靠全等从 那里得到的。一般地，证明“若 B 则 A”时，可以使用已经证明的“若 A 则 B”，只要把它用在确实满足 A 的对象上。

勾股定理和它的逆定理，条件和结论正好互换，互为逆命题，而且都是真命题（见第一部分“定义、命题与定理”）。用途也不同：勾股定理由直角得到边的关系，用来算边；逆定理由边的关系得到直角，用来判定直角。

能够成为直角三角形三边长的三个正整数叫勾股数，比如 3、4、5，5、12、13，8、15、17，7、24、25。一组勾股数同时乘以同一个正整数，还是勾股数，比如 6、8、10。

例 4　如图，四边形 中，，，，，。求四边形 的面积。

思路： 四边形的面积没有公式，连接对角线 分成两个三角形。 有直角，面积好求，顺便算出 。 的三边都知道了，看看它是不是直角三角形。

解： 连接 。在 中，。

在 中，，所以 是直角三角形，（勾股定理的逆定理）。

回顾： 一道题里定理和逆定理各用了一次：先由直角算边（定理），再由边判定直角（逆定理）。

在数轴上画出无理数#

边长为 1 的正方形，对角线长 。这说明 这样的无理数不是只能写成符号，它是一条实实在在能画出来的线段。用勾股定理，可以在数轴上准确地找到很多无理数的位置。

例 5　在数轴上画出表示 的点。

思路： 要找一个斜边为 的直角三角形，也就是把 13 写成两个整数的平方和：。

作法： 在数轴上找到表示 3 的点 ，过 作数轴的垂线，在垂线上截取 ，连接 。以 为圆心、 为半径画弧，交数轴正半轴于点 。因为 ，所以点 表示 。

这正说明了实数和数轴上的点一一对应：无理数也在数轴上占着确定的位置（见第二部分“实数”）。

易错点#

• 没分清斜边就套公式。 “直角三角形两边长为 3 和 4，求第三边”，要分两种情况：4 是直角边时，第三边是 ；4 是斜边时，第三边是 。
• 在不是直角三角形的图形里用勾股定理。 勾股定理只对直角三角形成立。图里没有直角，就先作高，造出直角三角形。
• 用逆定理时没找最长边。 判断三边 5、13、12 能否构成直角三角形，要看两条较短边的平方和是否等于最长边的平方：，是直角三角形，直角是 13 所对的角。直接算 和 比，就会得出错误的结论。
• 定理和逆定理用混。 已知是直角三角形、求边，用勾股定理；已知三边、判断是不是直角三角形，用逆定理。证明时理由要写对。
• 忘了开平方，或者开方后写成负数。 求出的是 ，还要开方；边长取正的算术平方根。

联系#

• 整式的乘法： 拼图证明和用面积验证乘法公式是同一种方法， 的展开正是证明中的一步。见第三部分“整式的乘法”。
• 实数与二次根式： 勾股定理算出的边长常常是无理数，要化简二次根式；用它可以在数轴上画出无理数。见第二部分“实数”和第三部分“二次根式”。
• 全等三角形： HL 判定可以看成“勾股定理 + SSS”：斜边和一条直角边确定了，另一条直角边也就确定了；逆定理的证明也是靠 SSS。见第五部分“全等三角形”。
• 轴对称与等腰三角形： 含 角的直角三角形三边之比是 ，等腰直角三角形三边之比是 ，都由勾股定理算出；折叠问题要先用轴对称找等量。见第五部分“轴对称与等腰三角形”。
• 平面直角坐标系： 两点 、 之间的距离，就是以横坐标之差、纵坐标之差为直角边的直角三角形的斜边，所以 。见第六部分“平面直角坐标系”和第十一部分“以数解形”。
• 锐角三角函数： 在直角三角形中，，，由勾股定理得 。见第八部分“锐角三角函数”。
• 圆： 垂径定理把半径、弦的一半、弦心距放进一个直角三角形，三个量知二求一，靠的就是勾股定理。见第九部分“圆的有关性质”。

真题： 2026 年第 5 题、2026 年第 15 题、2025 年第 9 题、2024 年第 14 题、2024 年第 15 题。