相交线与平行线

对应人教版七年级下册第七章。

同一平面内的两条直线，要么相交，要么平行；研究它们，就是研究直线相交时形成的角：角的相等关系可以推出平行，平行又能推出角的相等关系。

从哪里来#

在同一平面内画两条直线，它们的公共点最多只有一个：如果有两个公共点，由“两点确定一条直线”，这两条直线就是同一条（见第一部分“基本事实”）。所以同一平面内两条不重合的直线只有两种情况：

平行线“永不相交”，但直线无限长，谁也没法把它画到尽头去检验。所以要判断平行，只能另找一个能看得见、量得出的东西，这就是第三条直线和它们相交成的角。整页的主线就是：相交产生角，角决定平行。

长方体里有些棱既不相交也不平行，比如上底面的一条棱和下底面上与它方向不同的一条棱，它们不在同一个平面内。这一页只研究同一平面内的直线。

相交：对顶角#

直线 、 相交于点 ，形成 4 个角：

• 和 有一条公共边 ，另一边 、 互为反向延长线，它们合起来是平角，叫邻补角；
• 和 有公共顶点，两边分别互为反向延长线，叫对顶角。

对顶角相等。 推导只用到邻补角和“同角的补角相等”：

1. （邻补角，合起来是平角 ）；
2. （邻补角，合起来是平角 ）；
3. 所以 （同角的补角相等，见第五部分“几何图形初步”）。

同理 。所以两条直线相交，4 个角里只要知道一个，其余 3 个就都确定了：比如 ，则 ，。

垂直#

两条直线相交时，如果 4 个角中有一个是直角，由上面的推导，另外 3 个也都是直角。这时说这两条直线互相垂直，其中一条叫另一条的垂线，交点叫垂足。直线 与 垂直，记作 。

关于垂线，有两条常用的结论：

• 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 点在直线上、在直线外都一样。
• 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 简单说成“垂线段最短”。

直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离。 上图中 ，垂足为 ，线段 的长度就是点 到直线 的距离；直线上别的点，比如 、，和 连成的线段都比 长。跳远比赛量成绩，量的就是落地点到起跳线的垂线段的长度。

为什么垂线段最短？学了勾股定理可以直接算出来：，只要 不和 重合，，就有 （见第五部分“勾股定理”）。

三线八角#

平行线的问题要借助第三条直线来研究。直线 、 被直线 所截，两个交点处各形成 4 个角，一共 8 个：

这 8 个角中，不在同一个交点处的两个角，按位置分成三类：

这三个名称只说明角的位置。上图中 、 并不平行，同位角就不相等，所以不能一看到同位角、内错角就说它们相等。

三类角之间有联系。因为每个交点处的 4 个角由一个角就能确定（对顶角相等、邻补角互补），所以下面三个条件只要有一个成立，另外两个也就成立：

• 同位角相等，比如 ；
• 内错角相等，比如 （因为 ，对顶角）；
• 同旁内角互补，比如 （因为 ，邻补角）。

三个条件其实说的是同一件事：直线 、 与直线 相交成的“倾斜程度”相同。 下面的判定和性质，都围绕这件事展开。

平行线和平行公理#

在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线。 直线 与 平行，记作 。

过直线 外一点 画直线，让它绕 转动：大多数位置都会和 相交，只是交点有时近、有时远；只有一个位置和 不相交。

这就是平行公理，是一条基本事实：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

由平行公理可以推出：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 理由：设 ，。假如 与 相交于点 ，那么过点 就有两条直线 、 都与 平行，和平行公理矛盾。所以 与 不相交，。这种“假设结论不成立，推出矛盾”的说理方法叫反证法（见第一部分“怎样证明”）。

平行线的判定：由角得平行#

用直尺和三角尺画平行线：直尺固定不动，三角尺的一边紧靠直尺，沿直尺滑动，沿三角尺的另一边先后画出直线 和 。

三角尺在滑动中形状不变，所以 ，它们正是直线 、 被直尺边所在直线截得的同位角。画出来的 、 是平行的。把这个经验概括成基本事实：

同位角相等，两直线平行。

有了这一条，另外两个判定都能推出来。还是用“三线八角”一节的图，直线 、 被直线 所截，形成 到 ：

• 内错角相等，两直线平行。 如果 ，因为 （对顶角相等），所以 ，同位角相等，所以 。
• 同旁内角互补，两直线平行。 如果 ，因为 （邻补角），所以 （同角的补角相等），内错角相等，所以 。

还有两个常用的判定：平行于同一条直线的两条直线平行（上一节）；在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行（它们和这条直线的同位角都是 ）。

平行线的性质：由平行得角#

反过来，如果已经知道 ，同位角一定相等吗？

两直线平行，同位角相等。 用平行公理可以说明它：

设 ，直线 与 、 分别交于点 、，同位角是 和 。假如 ，过点 作直线 ，使 与 所成的同位角等于 。由判定，。这样过点 就有 、 两条直线都与 平行，和平行公理矛盾。所以 。

有了这一条，和判定的推导一样，借助对顶角、邻补角就得到另外两条：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。

判定和性质放在一起看：

每一行的判定和性质，条件和结论正好互换，互为逆命题，而且都是真命题（见第一部分“定义、命题与定理”）。用哪一个，看已知的是什么：已知角的关系、要证平行，用判定；已知平行、要得到角的关系，用性质。

先判定，再用性质#

例 1　如图，直线 、 被直线 、 所截，，。求 的度数。

思路： 要求的 和已知的 都在直线 上，它们是直线 、 被 所截的同旁内角。如果 ，就有 。但 题目没有直接给，要先从 得到：它们是 、 被 所截的同位角。所以这道题分两步：先用判定得到平行，再用性质求角。

解： 因为 ，所以 （同位角相等，两直线平行）。

所以 （两直线平行，同旁内角互补），。

回顾： 直线 的作用是“证明平行”，直线 的作用是“传递角”。平行线就像一座桥：从一条截线上的角走到平行，再从平行走到另一条截线上的角。

拐角问题：添一条平行线#

例 2　如图，，点 在 、 之间，，。求 的度数。

思路： 平行线的性质只能用在“两条平行线被第三条直线所截”的图形里。 的顶点 不在 、 上，图中找不到和它构成同位角、内错角的角。那就自己造一条：过点 作 ， 把 分成两部分，上面一部分和 是 、 被 所截的内错角，下面一部分和 是 、 被 所截的内错角。

解： 过点 作 。

因为 ，所以 （平行于同一条直线的两条直线平行）。

所以 ，（两直线平行，内错角相等）。

所以 。

回顾： 把 、 换成任意度数，推理完全一样，所以这种图形里总有 。添 这条辅助线，是为了造出“两条平行线被第三条直线所截”的图形，让平行线的性质用得上（见第十一部分“辅助线从哪里来”）。

想一想： 也可以延长 ，交 于点 ：

因为 ，所以 （内错角相等）。 是 的外角，等于和它不相邻的两个内角的和，所以 （见第五部分“三角形”）。

两种辅助线的想法相同，都是把 “搬”到能和 放在一起的位置：第一种用平行线把角分开再搬，第二种用平行线把 搬到 处，再用三角形的外角把两个角合起来。

易错点#

• 只要角相等就说是对顶角。 对顶角要求两条边分别互为反向延长线，也就是由两条相交直线形成。相等的角不一定是对顶角。
• 看到同位角、内错角就说相等。 只有两条直线平行时它们才相等。题目没说平行，就要先证平行。
• 判定和性质的理由写反。 由 得 ，理由是“同位角相等，两直线平行”（判定）；写成“两直线平行，同位角相等”就是把结论当成了理由。
• 找错平行的是哪两条直线。 由一对角相等推平行，要先看清这两个角是哪两条直线被哪条直线所截形成的。比如四边形 中，由 ，得到的是 （它们被 所截的内错角），不是 。
• 把垂线段当作距离。 点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数；垂线是直线，垂线段是线段。
• 过直线上一点作平行线。 平行公理说的是“经过直线外一点”；过直线上的点作不出与它平行的直线。

联系#

• 平移： 三角尺沿直尺滑动就是平移，平移前后的对应线段平行（或在同一条直线上）且相等。见第六部分“平移、轴对称与旋转”。
• 平面直角坐标系： 两条坐标轴互相垂直；平行于 轴的直线上各点的纵坐标相同，平行于 轴的直线上各点的横坐标相同。见第六部分“平面直角坐标系”。
• 一次函数： 相同、 不同的两条直线平行，因为它们和 轴所成的同位角相等。见第七部分“一次函数”。
• 三角形： 三角形内角和是 ，证明时要过一个顶点作对边的平行线，用的正是平行线的性质。见第五部分“三角形”。
• 定义、命题与定理： 判定和性质互为逆命题，是理解“逆命题”最好的例子。见第一部分“定义、命题与定理”。
• 四边形： 平行四边形的定义就是两组对边分别平行，它的性质和判定都要反复用到这一页的内容。见第五部分“四边形”。
• 勾股定理： “垂线段最短”可以用勾股定理说明。见第五部分“勾股定理”。

真题： 2026 年第 6 题、2025 年第 4 题、2024 年第 3 题、2023 年第 4 题、2022 年第 3 题。