平面直角坐标系

对应人教版七年级下册第九章。

平面直角坐标系是把两条数轴垂直地放在一起：平面上的每一个点都对应一对有序实数 ，每一对有序实数也对应平面上唯一的一个点。 有了它，点的位置可以用数来说，图形的问题可以用计算来做。

从哪里来：一个数不够用#

在数轴上，一个数就能确定一个点的位置（见第二部分“有理数”）。可是到了平面上，一个数就不够了：

这些例子有两个共同点。第一，平面上确定一个位置要两个数。第二，两个数的顺序不能随便换：“5 排 8 号”和“8 排 5 号”是两个不同的座位。像这样有顺序的两个数 与 组成的数对，叫有序数对，记作 。

怎样让平面上的每一个点都有一个有序数对？最自然的办法是把数轴用两次：一条横着放，量左右；一条竖着放，量上下。

在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，就组成平面直角坐标系：

• 水平的数轴叫 轴（横轴），取向右为正方向；
• 竖直的数轴叫 轴（纵轴），取向上为正方向；
• 两轴的交点 叫坐标原点。

两条轴取成互相垂直的，是为了让两个数各管各的：沿水平方向移动，竖直方向的读数不变；沿竖直方向移动，水平方向的读数不变。

点的坐标#

有了坐标系，怎样读出一个点对应的数对？过点 分别向 轴、 轴作垂线，垂足在 轴上对应的数 叫点 的横坐标，在 轴上对应的数 叫点 的纵坐标，有序数对 叫点 的坐标，记作 。横坐标写在前面，纵坐标写在后面。

图中 的坐标是 ：从原点出发向右 3、向上 2。 的坐标是 ：向右 2、向上 3。两个坐标用的数相同，只是顺序不同，就是两个不同的点。原点 的坐标是 。

反过来，给出一个有序数对 ，在 轴上找到表示 的点，过它作 轴的垂线；在 轴上找到表示 的点，过它作 轴的垂线。两条垂线只交于一点，这个点就是 表示的点。

所以，坐标平面内的点和有序实数对是一一对应的。这和“实数与数轴上的点一一对应”是同一件事，只是从一条直线推广到了整个平面。

象限和坐标轴上的点#

两条坐标轴把平面分成四个部分，叫四个象限：右上方是第一象限，按逆时针方向依次是第二、三、四象限。

每个象限里点的坐标的符号，不用背，直接从坐标的意义推出来：点在 轴右边，横坐标就是正数，在左边就是负数；点在 轴上方，纵坐标就是正数，在下方就是负数。

坐标轴上的点不属于任何象限。 象限是被两条轴隔开的四块区域，轴本身是分界线。

为什么 轴上的点纵坐标是 0？点在 轴上，向 轴作垂线，垂足就是它自己；向 轴作垂线，垂足是原点，对应的数是 0。同样， 轴上的点横坐标是 0。

坐标和距离#

点到坐标轴的距离。 点 到 轴的距离，是 到 轴的垂线段的长。垂足 的坐标是 ， 是竖直的，它的长就是 到 0 的距离，也就是 。同样， 到 轴的垂线段是 ，垂足 的坐标是 ， 是水平的，长为 。

所以：点 到 轴的距离是 ，到 轴的距离是 。 图中 到 轴的距离是 3，到 轴的距离是 。注意交叉：到 轴的距离看纵坐标，到 轴的距离看横坐标。

平行于坐标轴的线段。 在平行于 轴的直线上，所有点到 轴的距离相等，又在 轴的同一侧，所以纵坐标都相同；同样，平行于 轴的直线上的点横坐标都相同。这样的两点之间的距离，就是数轴上两点间的距离：

• 、 在平行于 轴的直线上，；
• 、 在平行于 轴的直线上，。

任意两点的距离。 两点不在平行于坐标轴的直线上时，可以借一个直角三角形：

图中 ，。取 ，使 平行于 轴、 平行于 轴，则 ，

由勾股定理，（见第五部分“勾股定理”）。坐标系里的斜线段，都可以这样化成横、竖两段来算。

例 1　已知点 。

(1) 点 在 轴上，求点 的坐标；

(2) 点 在第二象限，求 的取值范围。

思路： 点的位置和坐标的关系，要翻译成关于 的方程或不等式。“在 轴上”是一个等式条件；“在第二象限”是两个不等式条件，要同时成立。

解： (1) 点 在 轴上，所以横坐标为 0，即 ，得 。此时 ，所以点 的坐标是 。

(2) 第二象限的点横坐标为负、纵坐标为正，所以

解第一个不等式得 ，解第二个得 ，所以 。

检验： 取 ，，确实在第二象限；取 ， 在 轴上，不属于任何象限，所以 不能取。这和第 1 问的结果互相印证。

用坐标描述图形#

有了坐标，图形的长度、面积就能用计算得到。最常用的是割补法：坐标系里横、竖方向的线段长度最好算，所以把斜放的图形放进一个边平行于坐标轴的长方形里，用长方形的面积减去多出来的部分。

例 2　在平面直角坐标系中，，，，求 的面积。

思路： 的三条边都是斜的，底和高都不好直接找。但是过三个顶点作平行于坐标轴的直线，围成的长方形边长可以直接从坐标读出；长方形比三角形多出来的是三个直角三角形，它们的直角边也都是横、竖方向的，同样可以直接读出。

解： 作长方形 ，使 ，，，则 在 上， 在 上。长方形比 多出的部分，是 、、 三个直角三角形：

• 长方形 ：，，面积为 ；
• ：，，面积为 ；
• ：，，面积为 ；
• ：，，面积为 。

所以 的面积为 。

回顾： 割补法的关键是让所有要算的线段都变成横的或竖的，这样长度就是坐标之差。如果三角形有一条边本来就平行于坐标轴，就直接用这条边作底，高就是第三个顶点到这条边的横向或纵向距离，不必割补。

坐标系是人放上去的，同一个图形可以有不同的放法。比如一个长 6、宽 4 的长方形，把一个顶点放在原点、两边放在坐标轴上，四个顶点是 、、、；把中心放在原点、边平行于坐标轴，四个顶点是 。

图形没有变，坐标变了。建坐标系时，让尽量多的点落在坐标轴上、让图形的对称轴落在坐标轴上，坐标就最简单。

用坐标描述位置#

地图就是一个坐标平面。用坐标描述地点的位置，要先说清三件事：原点选在哪里，哪个方向是正方向，一个单位长度代表多少实际距离。通常取正东为 轴正方向，正北为 轴正方向。

例 3　如图，以学校为原点，每个单位长度代表 100 m。公园的坐标是 ，图书馆的坐标是 。

(1) 公园、图书馆分别在学校的什么位置？

(2) 如果改为以公园为原点，方向和单位长度不变，图书馆和学校的坐标分别是什么？

思路： 坐标的两个数，分别是从原点出发向东（负数就是向西）走了多远、向北（负数就是向南）走了多远。换了原点，就是换了出发点，要算的是从新的出发点走到目的地，东西方向、南北方向各要走多远。

解： (1) 公园在学校以西 200 m、以北 300 m 处；图书馆在学校以东 300 m、以北 200 m 处。

(2) 以公园为原点，就是过公园重新画两条坐标轴（下图的虚线）：

从公园 到图书馆 ：向东走 个单位，向北走 个单位（即向南 1 个单位），所以图书馆的新坐标是 。

从公园 到学校 ：向东走 个单位，向北走 个单位，所以学校的新坐标是 。

回顾： 换原点后，每个点的新坐标都等于旧坐标减去新原点的旧坐标：横坐标都减 ，纵坐标都减 3。所有点的坐标同时加减同一个数，这正是平移的坐标规律（见第六部分“平移、轴对称与旋转”）。

描述位置还有另一种办法：方向和距离。还用例 3 的地图（以学校为原点，每格 100 m，正东、正北为正方向），在上面标出医院：

医院的坐标是 ，从学校出发，向西、向南各走 300 m，所以医院在学校的西南方向，也就是南偏西 方向；距离是一个等腰直角三角形的斜边，由勾股定理，是 （m）。代入参考数据 ，（m）。这两种说法都要用两个量：坐标用“东西多远、南北多远”，方向和距离用“朝哪个方向、走多远”。

易错点#

• 横、纵坐标写反。 坐标 永远是横坐标在前。 和 是两个不同的点。
• 把坐标轴上的点归入某个象限。 在 轴上， 在 轴上，都不属于任何象限。说“点在第二象限”时，横坐标小于 0、纵坐标大于 0 都要严格成立。
• 到坐标轴的距离弄反。 点 到 轴的距离是 ，是纵坐标的绝对值，因为垂线段是竖直的。
• 距离忘了加绝对值。 距离不能是负数。已知“点到 轴的距离是 3”，纵坐标可能是 3，也可能是 ，要分两种情况。
• 平行于坐标轴弄混。 平行于 轴的直线上，是纵坐标相同；平行于 轴的直线上，是横坐标相同。想不清时，画一条水平线看看哪个坐标没变。
• 地图题忘了单位长度。 坐标差出来的是单位个数，要乘上每个单位代表的实际距离。

联系#

• 数轴： 平面直角坐标系就是两条数轴。点到坐标轴的距离、平行于坐标轴的线段长，都回到数轴上的绝对值和两点间距离。见第二部分“有理数”。
• 不等式组： 点在哪个象限，翻译过来就是一组不等式。见第四部分“不等式与不等式组”。
• 二元一次方程组： 二元一次方程的一个解是一个有序数对，在坐标系里就是一个点；方程组的解是两条直线的交点。见第四部分“二元一次方程组”。
• 勾股定理： 坐标系里任意两点的距离，靠勾股定理化成横、竖两段来算。见第五部分“勾股定理”。
• 图形的变化： 平移、轴对称、旋转后点的坐标怎样变，都从坐标的意义推出来。见第六部分“平移、轴对称与旋转”。
• 函数： 函数的一对对应值 就是坐标系里的一个点，所有这样的点组成函数的图象。坐标系是研究函数的舞台。见第七部分“函数”。
• 以数解形： 有了坐标，几何问题可以化成计算：求长度、求面积、判断位置关系。见第十一部分“以数解形”。

真题： 2026 年第 9 题、2024 年第 14 题、2022 年第 9 题。