一元一次方程
对应人教版七年级上册第五章。
方程是含有未知数的等式；解方程就是依据等式的性质，把方程一步一步变形，直到变成“”的样子。 只含一个未知数、未知数的次数是 1 的整式方程叫一元一次方程，它是后面所有方程的落脚点。
从哪里来：从“倒着算”到“顺着列”#
“一个数的 3 倍减去 7，得 20，这个数是多少？”用算术做，要倒着想：最后得 20，减 7 之前是 ，乘 3 之前是 。每一步都要把题目里的运算反过来。
用方程做，只要顺着题意把关系写下来：设这个数是 ，那么 。怎样从这个式子求出 ，是另一件事，而且有固定的办法。
题目再绕一点，差别就明显了：“一个数的 3 倍减去 7，等于它的 2 倍加上 5。”未知的数同时出现在两边，已经没法倒着算；列方程却一样容易：，解得 。
方程把“怎样求”和“关系是什么”分开了： 列方程时只管把等量关系如实写下来，解方程时只管按规则变形。
几个基本概念：
- 方程： 含有未知数的等式。
- 方程的解： 使方程左右两边的值相等的未知数的值。 是 的解，因为两边都等于 29。
- 解方程： 求方程的解的过程。
- 一元一次方程： 只含有一个未知数（元），未知数的次数都是 1，等号两边都是整式。它总能整理成 （）的形式。
| 方程 | 是不是一元一次方程 | 原因 |
|---|---|---|
| 是 | 一个未知数，次数是 1 | |
| 不是 | 两个未知数，是二元一次方程 | |
| 不是 | 未知数的次数是 2 | |
| 不是 | 分母里有未知数，左边不是整式，是分式方程 | |
| 不是 | 没有未知数，只是等式，不是方程 |
等式的性质：天平模型#
等式就像一架平衡的天平：左盘放等号左边的量，右盘放等号右边的量。要让天平保持平衡，只能对两边做同样的事：
- 等式的性质 1： 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。如果 ，那么 。
- 等式的性质 2： 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等。如果 ，那么 ；如果 ，，那么 。
下图的天平表示 。两边同时拿走 3 个 1（图中红色的 1，性质 1），天平仍平衡，得 ；再把两边都平均分成 2 份，各取一份（性质 2），得 。
为什么除数不能是 0？因为除以 0 没有意义。两边乘 0 虽然还是等式，但变成了 ，原来的信息全丢了，所以解方程时从来不乘 0。这一点到了分式方程会变得很要紧：两边乘一个含未知数的式子时，这个式子可能恰好等于 0（见第四部分“分式方程”）。
另外，等式还可以左右交换（ 就是 ），相等的量可以互相替换（，，那么 ）。后一条叫等量代换，解方程组时的“代入”靠的就是它。
解方程：每一步都有依据#
解一元一次方程，目标是把方程变成 。通常经过下面几步，每一步都是等式的性质或运算律，不是新规定：
| 步骤 | 做法 | 依据 | 注意 |
|---|---|---|---|
| 去分母 | 两边乘各分母的最小公倍数 | 等式的性质 2 | 不含分母的项也要乘；分子是多项式时要加括号 |
| 去括号 | 用乘法分配律展开 | 乘法分配律 | 括号前是负号，括号里各项都要变号 |
| 移项 | 含未知数的项移到一边，常数项移到另一边 | 等式的性质 1 | 移过去的项要变号 |
| 合并同类项 | 整理成 | 乘法分配律 | 只把系数相加 |
| 系数化为 1 | 两边除以 | 等式的性质 2 | ；是 除以 ，不要颠倒 |
移项为什么要变号？ 以 为例，两边同时减 、再同时加 7（性质 1），得 。结果看起来就像把 从右边“搬”到左边变成 ，把 从左边“搬”到右边变成 。移项只是性质 1 的简便写法。
这几步不是非走不可的固定程序。比如 ，先两边除以 3 得 ，比先去括号更快。每一步想清楚依据，顺序就可以灵活安排。
例 1 解方程 。
思路： 有分母，先去分母。分母 2 和 3 的最小公倍数是 6，两边同乘 6。右边的 1 也要乘； 是一个整体，乘完要带着括号。
解：
检验： 把 代入原方程，左边 ，等于右边，所以 是原方程的解。
列方程解实际问题：找等量关系#
列方程的关键，是找到同一个量的两种表示：一边用题目给的数表示，另一边用含未知数的式子表示，两者相等就是方程。一般的过程是：
- 读题，找出等量关系；
- 设未知数，用含未知数的式子表示有关的量；
- 根据等量关系列出方程；
- 解方程；
- 检验：既要检验是不是方程的解，也要检验是否符合实际；
- 写出答案。
例 2 某商品按成本价提高 40% 标价，再打八折出售，每件仍获利 12 元。每件商品的成本是多少元？
思路： 涉及的量有成本、标价、售价、利润。利润是“售价 − 成本”，这就是等量关系。成本不知道，设它为 元，其余的量都能用 表示：标价是 ，打八折后售价是 。
解： 设每件商品的成本是 元。根据“售价 − 成本 = 利润”，得
合并同类项，得 ，所以 。
检验： 成本 100 元，标价 140 元，售价 元，获利 12 元，符合题意。
答：每件商品的成本是 100 元。
例 3 、 两地相距 360 km。甲车从 地开往 地，每小时行 60 km；甲车出发 1 h 后，乙车从 地开往 地，每小时行 90 km。乙车出发后多少小时两车相遇？
思路： 行程问题先画线段图，把两车走过的路程标在同一条线段上：
从图上看，等量关系是“甲走的路程 + 乙走的路程 = 全程”。设乙车出发后 h 两车相遇，甲车比乙车多走 1 h，行驶了 h。
解： 设乙车出发后 h 两车相遇。根据题意，得
去括号，得 ；移项、合并同类项，得 ，所以 。
检验： 甲车行驶 3 h，走了 180 km；乙车行驶 2 h，走了 180 km；合起来 360 km，符合题意。
答：乙车出发后 2 h 两车相遇。
想一想： 未知数不一定设成题目问的量。也可以设相遇点离 地 km，这时甲车用了 h，乙车用了 h。甲车比乙车多用 1 h，得
两边乘 180，得 ，解得 ，再算出乙车用时 h，答案相同。
| 比较 | 设乙车的行驶时间为 h | 设相遇点离 地 km |
|---|---|---|
| 等量关系 | 路程之和 = 全程 | 甲的用时 − 乙的用时 = 1 h |
| 方程 | 没有分母，一步到位 | 有分母，解完还要再算一步 |
| 什么时候用 | 问什么设什么，通常最直接 | 问的量不好表示、而另一个量能把关系说清时 |
同一个情境可以列出不同的方程，因为它们表达的是同一组数量关系，只是选了不同的量做未知数。先想清楚“哪个量用两种方式表示”，再决定设什么。
易错点#
- 去分母时漏乘不含分母的项。 解 ，两边乘 6 应得 ，不是 。等式的性质 2 要求两边的每一项都乘 6。
- 分子是多项式，去分母后不加括号。 乘 6 得 ，不是 。分数线本身就起括号的作用。
- 移项不变号。 移项是两边同时加上或减去同一个式子，项从一边到另一边，符号一定改变；只在同一边交换位置的项，符号不变。
- 系数化为 1 时除反了。 的解是 ，不是 ； 的解是 。
- 把分数的基本性质和等式的性质混在一起。 解 时，把 化成 、把 化成 ，用的是分数的基本性质（分子、分母同乘一个数），只改变这一项的写法，右边的 1 不动，得 。如果把右边也乘了 5 或 2，就错了。
- 实际问题只解不验。 人数、件数要是正整数，时间、路程不能是负数。解出的结果不合实际，要么题目无解，要么方程列错了。
联系#
- 一次函数： 解方程 ，就是找直线 与 轴交点的横坐标。见第七部分“一次函数”。
- 二元一次方程组、分式方程、一元二次方程： 它们的解法最后都化成一元一次方程：方程组靠消元，分式方程靠去分母，一元二次方程靠降次。见第四部分“二元一次方程组”、第四部分“分式方程”和第四部分“一元二次方程”。
- 不等式： 解一元一次不等式的步骤和解方程几乎一样，只有两边乘或除以负数时不等号要改变方向。见第四部分“不等式与不等式组”。
- 整式的加减： 去括号、合并同类项就是整式加减的运算。见第三部分“整式的加减”。
- 几何图形初步： 求线段长、角的度数时，常设一个量为 ，再根据中点、角平分线、余角、补角列方程。见第五部分“几何图形初步”。
- 方程思想与建模： 找等量关系、设未知数、列方程，是用数学解决实际问题最基本的方法。见第十一部分“方程思想与建模”。
真题： 2026 年第 4 题、2023 年第 21 题。