实数 ★
对应人教版七年级下册第八章。
边长为 1 的正方形，对角线的长度不能用任何有理数表示；把这样的无限不循环小数（无理数）添进来，就得到实数，实数和数轴上的点一一对应。
从哪里来：面积为 2 的正方形#
用 4 个边长为 1 的小正方形拼成一个大正方形，面积是 4。连接大正方形四条边的中点，得到正方形 ：
大正方形四个角上各有一个直角三角形，每个都是一个小正方形的一半。把它们分别绕斜边的中点转半圈，正好盖满正方形 。所以正方形 的面积是 4 个半个小正方形：
也可以用大正方形的面积减去四个角：。
设正方形 的边长是 ，那么 。 是多少？试着逼近它：
在 和 之间，又在 和 之间……每次都能再夹紧一位，却总也碰不到平方正好是 2 的数。后面会证明：没有哪个有理数的平方等于 2。 这条边的长度实实在在地画在纸上，却不是有理数，数必须再扩充一次。
平方根和算术平方根#
如果 ，那么 叫作 的平方根。 求一个数的平方根的运算叫开平方，它和平方互为逆运算。
一个数有几个平方根？从“平方”的结果倒推：
- ，，所以 正数有两个平方根，它们互为相反数；
- 只有 ，所以 0 的平方根是 0；
- 正数、负数的平方都是正数（同号相乘得正），0 的平方是 0，没有哪个数的平方是负数，所以 负数没有平方根。
正数的两个平方根里，正的那个叫算术平方根，记作 ；0 的算术平方根是 0。于是正数 的两个平方根可以写成 。开头那个面积为 2 的正方形 ，边长 满足 ，就是 ，长度只能取正的那个，这正是要单独规定算术平方根的原因。
有两个“不小于 0”：被开方数 ，结果 。 由定义还直接得到 （）。
例 1 （1）求 的平方根和算术平方根；（2）求 的平方根；（3）求 。
思路： 每一问都先问自己：哪个数的平方等于它？要的是全部平方根，还是算术平方根？
解：（1）因为 ，所以 的平方根是 ，算术平方根是 。
（2）先算 ，要求的是 4 的平方根，是 。
（3）先算根号里面：，所以 。算术平方根不会是负数，结果不是 。
立方根#
如果 ，那么 叫作 的立方根，记作 。 体积为 8 的正方体，棱长是 ；体积为 2 的正方体，棱长是 。
立方和平方不同：三个负数相乘是负数，所以负数的立方是负数，正数的立方是正数，而且数越大，立方越大。所以每个数都有且只有一个立方根：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0 的立方根是 0。比如 ，因为 。一般地，。
| 比较 | 平方根 | 立方根 |
|---|---|---|
| 定义 | ||
| 正数 | 两个，互为相反数 | 一个，是正数 |
| 0 | 0 | 0 |
| 负数 | 没有 | 一个，是负数 |
| 原因 | 任何数的平方都不是负数 | 立方保持原来的符号 |
例 2 求下列各式中的 ：（1）；（2）。
思路： 先把“谁的平方（立方）”看成一个整体，求出这个整体，再求 。
解：（1）两边同时除以 2，得 。25 的平方根是 ，所以 或 。
（2）把 看成整体，它的立方是 ，所以 ，得 。
为什么根号 2 不是有理数（拓展）#
有理数都能写成两个整数的商。如果 是有理数，会发生什么？
证明： 假设 是有理数，那么可以写成 ，其中 、 是正整数，并且这个分数已经约到最简，、 没有 1 以外的公因数。两边平方，得
右边是偶数，所以 是偶数。奇数的平方是奇数，所以 不能是奇数， 是偶数。设 ，代入得 ，即
同样的道理， 也是偶数。、 都是偶数，有公因数 2，和“已经约到最简”矛盾。所以假设不成立， 不是有理数。
这种先假设结论不成立、推出矛盾的证明方法叫反证法（见第一部分“怎样证明”）。
无理数：无限不循环小数#
把分数化成小数，会得到什么样的小数？用除法算 ：
除以 7 时，每一步的余数只能是 0、1、2、3、4、5、6 中的一个。余数是 0 就除尽了，得到有限小数；除不尽的话，最多 6 步之后，一定会遇到一个出现过的余数，从那以后商就开始重复。这里余数依次是 1、3、2、6、4、5，然后又回到 1，所以 142857 这 6 个数字循环出现。任何分数化成小数，都是有限小数或无限循环小数。
反过来，有限小数和无限循环小数也都能化成分数（拓展：设 ，则 ，两式相减得 ，）。所以：
有理数就是有限小数和无限循环小数。无限不循环小数叫无理数。
不是有理数，所以它的小数既不会除尽，也不会循环。常见的无理数有三类：
- 开方开不尽的数，如 、、；
- 与 有关的数，如 、；
- 有规律但不循环的小数，如 （相邻两个 1 之间 0 的个数依次多一个）。
判断时看的是“能不能写成两个整数的商”，不是看样子：、 是有理数；、 是 的近似值，本身是有理数。
实数与数轴#
有理数和无理数统称实数。
| 分类标准 | 第一层 | 第二层 |
|---|---|---|
| 按定义分 | 有理数 | 整数、分数（有限小数或无限循环小数） |
| 无理数 | 正无理数、负无理数（无限不循环小数） | |
| 按正负分 | 正实数 | 正有理数、正无理数 |
| 0 | — | |
| 负实数 | 负有理数、负无理数 |
能在数轴上找到。以数轴上从 0 到 1 的线段 为边作正方形 ，对角线 的长是 （它是面积为 2 的正方形的边长，也可以用勾股定理算出来）。以 为圆心、 为半径画弧，交数轴正半轴于点 ，点 表示的数就是 ：
同样，向左画弧得到的点表示 。这说明数轴上有些点不表示有理数。有理数在数轴上已经非常密了，任意两个有理数之间都还有有理数，但它们之间仍然留着“缝”。把无理数补进来以后，数轴就被填满了：
每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。实数和数轴上的点一一对应。
在有理数里学过的概念，到了实数里意思不变，因为它们都是在数轴上定义的：
- 的相反数是 ，关于原点对称；
- ；，所以 ，；
- 数轴上右边的点表示的数更大。
有理数的运算法则和运算律，在实数里也全部成立。需要具体数值时，就用近似值计算，比如取 ，，精确到 0.01 时，。
估算：用平方夹紧#
对于两个正数，大的数平方后仍然大；反过来，被开方数大的，算术平方根也大。 用正方形来想：边长越长，面积越大；面积越大，边长也越长。所以要知道 有多大，只要找平方在 7 两边的数：
- ，所以 ；
- 把 2 到 3 十等分，，所以 ；
- 再十等分，，所以 。
每夹一次，范围缩小到原来的十分之一，想要多精确都可以继续夹下去。
例 3 求 的整数部分和小数部分。
思路： 先把 夹在两个相邻整数之间，再看 、 的范围。取相反数时，数轴上的点关于原点翻过去，左右次序正好颠倒，所以不等号要改方向。
解： 因为 ，取相反数，得 。都加上 5，得 。
所以 的整数部分是 2，小数部分是 。
例 4 比较 与 的大小。（参考数据：）
思路： 两个分数的分母相同，只要比较 和 1，也就是看 比 2 大还是小。
解法一：用估算推理。 因为 ，所以 （被开方数大的，算术平方根也大），于是 ，两边都除以 2，得
解法二：用近似值计算。 代入参考数据 ，得 。因为 ，所以 。
想一想： 两种办法都对，差别在于需要多精确。
| 比较 | 解法一：估算推理 | 解法二：近似值计算 |
|---|---|---|
| 做法 | 只需知道 | 需要知道 的前几位小数 |
| 结论 | 严格成立 | 两个数相差较大时可靠 |
| 什么时候用 | 两数接近、需要说明理由时 | 手边有计算器、差距明显时 |
两个数离得越近，需要的精确度越高。用夹逼的办法，只要夹到足够把两个数分开就可以停下来，这里夹到 就够了。
易错点#
- 把平方根和算术平方根混为一谈。 “16 的平方根是 4”不对，应该是 ； 的平方根是 ，不是 ，要先算出 。
- 认为 。 算术平方根一定不小于 0，结果是 3。一般地，。
- 负数开平方。 没有意义；但负数可以开立方，。
- 凭样子判断无理数。 带根号的不一定是无理数（），无限小数也不一定是无理数（ 是循环小数）。判断的标准是能否写成两个整数的商，或者说是否无限不循环。
- 说“有理数和数轴上的点一一对应”。 有理数不能填满数轴，和数轴上的点一一对应的是实数。
- 估算时取相反数不改不等号方向。 由 得到的是 ，不是 。
联系#
- 有理数： 相反数、绝对值、大小比较都是在数轴上定义的，所以原样推广到实数。见第二部分“有理数”。
- 勾股定理： 直角边为 1、1 的直角三角形，斜边是 ；直角边为 1、2 的，斜边是 。勾股定理算出来的边长经常是无理数。见第五部分“勾股定理”。
- 二次根式： 把 当成式子来运算、化简， 是化简的关键。见第三部分“二次根式”。
- 一元二次方程： 解 就是求 的平方根，正数有两个根，负数没有实数根，这就是判别式的雏形。见第四部分“一元二次方程”。
- 怎样证明： 不是有理数，是反证法的经典例子。见第一部分“怎样证明”。
- 平面直角坐标系： 实数和数轴上的点一一对应，所以有序实数对和坐标平面上的点一一对应。见第六部分“平面直角坐标系”。
- 与圆有关的计算： 是无理数，弧长、扇形面积的结果常常保留 。见第九部分“与圆有关的计算”。
真题： 2026 年第 16 题、2025 年第 16 题、2023 年第 1 题、2023 年第 16 题、2022 年第 16 题。