圆的有关性质 ★
对应人教版九年级上册第二十九章。
圆上每一点到圆心的距离都相等，所以圆绕圆心旋转任意角度都和自身重合，沿任何一条直径翻折也和自身重合；弧、弦、圆心角的关系，垂径定理，圆周角定理，都是这两种对称推出来的。 证明时最常用的一步是“连接半径”：两条半径和一条弦围成一个等腰三角形。
从哪里来：圆的定义#
在一个平面内，线段 绕它固定的端点 旋转一周，另一个端点 所形成的图形叫做圆。固定的端点 叫圆心，线段 叫半径，通常用 表示。以 为圆心的圆记作 ，读作“圆 ”。
用圆规画圆就是这个过程：针尖是圆心，两脚之间的距离是半径。在转动中， 每到一个位置，它到 的距离都是 。所以圆也可以这样定义：
圆是平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形。
这句话包含两层意思：圆上每一点到圆心的距离都等于 ；反过来，到圆心的距离等于 的点都在圆上。确定一个圆需要两个条件：圆心确定它的位置，半径确定它的大小。半径相等的两个圆叫等圆，等圆经过平移可以完全重合。
圆上的线和弧有下面这些名称：
| 名称 | 定义 | 图中的例子 |
|---|---|---|
| 弦 | 连接圆上任意两点的线段 | 、 |
| 直径 | 经过圆心的弦 | |
| 弧 | 圆上任意两点间的部分 | 弧 |
| 半圆 | 直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条都叫半圆 | 弧 、弧 |
| 劣弧、优弧 | 小于半圆的弧叫劣弧，大于半圆的弧叫优弧 | 劣弧 （红色）、优弧 |
| 等弧 | 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧 | — |
以 、 为端点的弧读作“弧 ”，书写时在字母 上方画一段弧线。优弧要用三个字母表示，比如优弧 ，中间的字母说明弧经过哪一边。
直径是圆中最长的弦。 任取一条不经过圆心的弦 ，连接 、。在 中，两边之和大于第三边，所以 ，而直径的长正好是 。
旋转对称：圆心角、弧、弦#
顶点在圆心的角叫圆心角。
把圆绕圆心旋转任意角度，每个点到圆心的距离都不变，所以圆上的点仍然落在圆上：圆绕圆心旋转任意角度，都能和原来的圆重合。 转 当然也重合，所以圆是中心对称图形，对称中心是圆心。
用这个性质比较两个相等的圆心角。设 ，把 连同弧 、弦 一起绕 旋转，使 和 重合。因为两个角相等，射线 就落在射线 上；又因为 、（都是半径），点 落在 上，点 落在 上。于是弧 和弧 重合，弦 和弦 重合：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
反过来也成立：
- 弧 和弧 相等，就是能够重合，重合时端点对端点，所以圆心角相等、弦相等。
- 弦 ，再加上四条半径相等，由 SSS 得 ，所以圆心角相等，于是弧也相等（这里的弧都指劣弧，或都指优弧）。
合起来就是：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中，只要有一组相等，另外两组也相等。 三者捆在一起，是因为它们都随着旋转一起移动。
“同圆或等圆”不能丢：两个大小不同的同心圆，同一个圆心角在大圆上截得的弧和弦都比在小圆上的长。
弧的度数。 把以圆心为顶点的周角等分成 360 份，每一份是 的圆心角，它所对的弧叫 的弧。所以圆心角是多少度，它所对的弧就是多少度。 后面讲圆周角、弧长时都要用到这句话。
轴对称：垂径定理#
在圆上任取一点 ，作它关于某条直径所在直线的对称点 。圆心 在对称轴上，而对称轴是线段 的垂直平分线，所以 ， 也在圆上。圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
现在让直径 垂直于弦 ，垂足为 ：
连接 、。，所以 是等腰三角形， 是底边 上的高。由“三线合一”， 也是底边上的中线，（见第五部分“轴对称与等腰三角形”）。于是直线 是 的垂直平分线，、 关于直线 对称。沿 翻折， 和 重合，、 不动，所以弧 和弧 重合，弧 和弧 重合：
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
图中，条件是“ 是直径”和“”，结论是 ，弧 和弧 相等，弧 和弧 相等。
这五件事说的是同一条直线。 “过圆心”“垂直于弦”“平分弦”“平分弦所对的优弧”“平分弦所对的劣弧”，每一条都是弦 的垂直平分线的特征。一条直线由两个条件就确定了，所以知道其中两条，就能推出另外三条。比如过圆心又平分弦 ，这条直线经过 和 的中点两个点，就是 的垂直平分线，于是：
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
“不是直径”是因为：如果 本身是直径，它的中点就是 ，“过圆心”和“平分弦”说的是同一个点，只算一个条件。两条直径总是互相平分，却不一定互相垂直。
垂径定理最常见的用法是算长度。 圆心到弦的距离叫弦心距，记作 ，弦长记作 。半径、弦心距、弦的一半组成直角三角形。再看一次前面讲垂径定理时用的图，直径 垂直于弦 ，垂足为 ，其中的 就是这个直角三角形：
由勾股定理，
三个量知道两个，就能求第三个。
例 1 一座石拱桥的桥拱是圆弧形。如图，跨度 m，拱高 m，其中 是 的中点，。求桥拱所在圆的半径。
思路： 半径、弦的一半、弦心距能组成直角三角形，所以先找圆心。圆心到 、 的距离相等，一定在 的垂直平分线上，而直线 正是 的垂直平分线，所以圆心 在直线 上。半径不知道，就设为 ，把直角三角形的三条边都用 表示出来，列方程。
解： 设桥拱所在圆的圆心为 ，半径为 m，连接 。由上面的分析， 在直线 上，，所以 ；。
在 中，，即
展开得 ，所以 ，。
答：桥拱所在圆的半径是 10 m。
回顾： 圆里求长度，常常是“作弦心距、连半径，构成直角三角形”，再把未知量设出来用勾股定理列方程（见第十一部分“方程思想与建模”）。
圆周角定理#
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角。
圆心角是“站在圆心看一条弧”，圆周角是“站在圆上看一条弧”。同一条弧 ，站在圆心看和站在圆上看，张开的角有什么关系？在圆上取一点 ，看圆周角 和圆心角 。圆心 和 的位置有三种情况：
情况 ①：圆心 在 的一边 上。 这是最容易的情况。，所以 。 是 的外角，等于和它不相邻的两个内角之和：
情况 ②：圆心在角的内部。 作直径 ，它把 分成 和 ，两部分都属于情况 ①：，。两式相加，得 。
情况 ③：圆心在角的外部。 同样作直径 ，这次 是两个角的差：
三种情况结论相同：
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
证明的想法是：先把最简单的情况 ① 证出来，另两种情况都作一条直径，把角拆成或补成情况 ①。这种“分情况、再化归到已经会的情况”的做法，见第十一部分“分类讨论”。
由圆周角定理马上得到两个推论。
推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等。 它们都等于同一个圆心角的一半。
推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 的圆周角所对的弦是直径。 直径所对的圆心角是平角，一半就是 。反过来，圆周角是 ，它所对的圆心角就是 ，弦的两个端点和圆心在一条直线上，这条弦是直径。
推论 2 就是“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”换了一种说法：斜边的中点到三个顶点的距离相等，所以直角顶点在以斜边为直径的圆上（见第五部分“四边形”）。
例 2 如图， 是 的直径，点 、 在 上，。求 的度数。
思路： 是弧 所对的圆周角，它所在的 里没有已知的角。但同一条弧 还对着别的圆周角，比如 ，可以把问题转到它身上。 在 里，而 是直径，，这个三角形的角就都能求了。所以连接 。
解： 连接 。
因为 是直径，所以 。在 中，
和 都是弧 所对的圆周角，所以 。
想一想： 不连 ，改连 也能做。
，所以 ，，于是 。
| 比较 | 连 | 连 |
|---|---|---|
| 得到什么 | 直径所对的圆周角，是直角 | 两条半径，是等腰三角形 |
| 用的定理 | 直径所对的圆周角是直角；同弧所对的圆周角相等 | 等腰三角形的底角相等；圆周角是圆心角的一半 |
这两种添线正是圆里最常用的辅助线：连半径得到等腰三角形，连出直径所对的圆周角得到直角。 见第十一部分“辅助线从哪里来”。
圆内接四边形#
四个顶点都在同一个圆上的四边形叫圆内接四边形，这个圆叫四边形的外接圆。
是弧 所对的圆周角， 是弧 所对的圆周角。两条弧合起来正好是整个圆，它们所对的圆心角合起来是周角 ，所以
同样，。圆内接四边形的对角互补。
延长 到 ， 和 互补，而 也和 互补，所以 ：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。
例 3 在圆内接四边形 中，，求 的度数。
思路： 四个角里有两对对角，每对互补。 和 是一对，按比例设出来，就能求出每一份是多少度。
解： 设 ，，。由 ，得 ，，所以 。再由 ，得 。
检验： ，，四个角的和是 ，符合四边形内角和。
易错点#
- 丢掉“在同圆或等圆中”。 圆心角、弧、弦“一组相等则其余相等”，只在同一个圆或半径相等的圆里成立。
- 把“度数相等的弧”当成“等弧”。 等弧要能完全重合。半径不同的两个圆里，度数相同的弧长短不同，不是等弧。
- 垂径定理的推论漏掉“弦不是直径”。 两条直径互相平分，但不一定互相垂直。
- 一条弦所对的圆周角只算了一个。 弦把圆分成优弧和劣弧，顶点在优弧上的圆周角和顶点在劣弧上的圆周角互补（这正是圆内接四边形对角互补）。比如弦长等于半径时，它所对的圆心角是 ，所对的圆周角是 或 。
- 把不是圆周角的角当成圆周角。 圆周角的顶点必须在圆上，而且两边都和圆相交。顶点在圆内或圆外的角，不能用圆周角定理。
- 弦的位置只考虑了一种。 半径为 5 的圆里有两条平行弦，长分别为 6 和 8，它们的弦心距分别是 4 和 3。两条弦在圆心同侧时相距 ，在圆心两侧时相距 ，要分两种情况。
联系#
- 轴对称与等腰三角形： 连接两条半径就得到等腰三角形；垂径定理就是“三线合一”加上圆的轴对称。见第五部分“轴对称与等腰三角形”。
- 平移、轴对称与旋转： 圆心角、弧、弦的关系来自旋转，垂径定理来自轴对称。见第六部分“平移、轴对称与旋转”。
- 勾股定理： 半径、弦心距、弦的一半组成直角三角形，知二求一。见第五部分“勾股定理”。
- 三角形： 圆周角定理的证明用的是三角形的外角等于不相邻的两个内角之和。见第五部分“三角形”。
- 四边形： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，说的就是直角顶点在以斜边为直径的圆上。见第五部分“四边形”。
- 与圆有关的位置关系： 过三点作圆，圆心在弦的垂直平分线上，是垂径定理的另一种用法；过圆外一点作切线要用直径所对的圆周角是直角。见第九部分“与圆有关的位置关系”。
- 与圆有关的计算： 弧的度数等于圆心角的度数，弧长、扇形面积都按圆心角占 的比例计算。见第九部分“与圆有关的计算”。
- 辅助线从哪里来： 连半径、作弦心距、连出直径所对的圆周角，是圆里最常用的辅助线。见第十一部分“辅助线从哪里来”。
真题： 2026 年第 13 题、2025 年第 14 题、2025 年第 19 题、2024 年第 20 题、2023 年第 6 题。