基本事实

对应人教版八年级上册第十四章“图说数学史：公理化方法”，基本事实散见各册。

基本事实是公认正确、不加证明、作为推理起点的少数几条结论。 其余的几何定理，都由定义和这几条基本事实一步一步推出来。

为什么需要不证自明的起点#

对一个结论追问“为什么”：对顶角为什么相等？因为同角的补角相等。同角的补角为什么相等？因为补角的定义和等式的性质……每一次回答都要用到前面的结论，这样问下去没有尽头。就像查字典，每个词都用别的词来解释，总得有几个最基本的词，大家不再追问就懂。

所以推理必须有起点。数学的做法是：选出少数几条简单、公认的结论，不证明，直接承认；其余的结论全部从它们和定义推出来。 两千多年前，古希腊的欧几里得写《几何原本》，就是从几条公设和公理出发，推出了几百条几何命题。这种“选定少数起点、其余全部推出”的方法，叫公理化方法。初中数学把选作起点的结论叫基本事实。

选作起点的结论，要满足两个要求：一是足够简单，谁都承认；二是足够用，后面的定理都能从它们推出来。

初中几何的基本事实#

下面逐条看它们说了什么、为什么可信、在哪里用到。

直线和线段#

基本事实 1：两点确定一条直线。 经过两点有一条直线，并且只有一条直线。

经过一个点 能画无数条直线；再要求经过点 ，就只剩一条了。“确定”包含两层意思：有，并且只有一条。木工弹墨线、植树时先定两端的两棵树，用的都是这个事实。

用到它的地方：两条直线相交只有一个交点（见下面的例 1）；一次函数的图象是直线，所以画图只需两个点，求解析式只需两个条件（见第七部分“一次函数”）。

基本事实 2：两点之间，线段最短。 连接两点的所有线中，线段最短。

因此把连接两点的线段的长度，叫这两点间的距离。

用到它的地方：图中的折线 和线段 围成 ，从 直接到 比绕道 近，所以 ，这就是三角形两边之和大于第三边（见第五部分“三角形”）；最短路径问题，都是想办法把折线变成一条线段（见第五部分“轴对称与等腰三角形”）。

垂线和平行线#

基本事实 3：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 这个点可以在直线上，也可以在直线外。

“有且只有”也是两层意思：有，是说这样的直线存在，能画出来；只有，是说它是唯一的。让一条直线绕点 转动，它和 的夹角连续变化，恰好有一个位置是直角。

用到它的地方：因为过 的垂线只有一条，垂线段 就是唯一确定的，它的长度才能叫点到直线的距离；三角形的高、尺规作垂线也都依靠它（见第五部分“尺规作图”）。“垂线段最短”也常常直接使用，学了勾股定理后可以说明它：直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和，所以斜边比直角边长。

基本事实 4：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。

过点 的直线只要稍微倾斜，向一侧延长就会和 相交；只有 这一个位置，两边无限延长都不相交。

用到它的地方：

• 平行于同一条直线的两条直线互相平行。 如果直线 、 都和 平行，而 、 相交于点 ，那么过点 就有两条直线和 平行，这和基本事实 4 矛盾。所以 、 不能相交，。
• 三角形内角和的证明要过一个顶点作对边的平行线，再用“两直线平行，内错角相等”。这条平行线能作出来，靠的是基本事实 4；平行线的性质也要用基本事实 4 才能推出（见下面基本事实 5 之后的推导）。内角和的证明见第一部分“怎样证明”。

基本事实 5：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。 简单说成：同位角相等，两直线平行。

用到它的地方：平行线的另外两个判定（内错角相等、同旁内角互补，两直线平行）都由它推出，见下面的例 2。

平行线的性质“两直线平行，同位角相等”是它的逆命题，由基本事实 4 和 5 可以推出。设 ，直线 与 、 分别交于点 、，、 是同位角（上图）。先假设结论不成立：。过点 作直线 ，使 与 所成的同位角 ，由基本事实 5，。因为 ， 和 不重合，于是过点 有两条直线 、 都和 平行，这和基本事实 4 矛盾。所以 。

下图画的是假设的情况（），所以 看起来和 不平行。正是这种情况推出了矛盾，说明它不会出现。

三角形全等#

基本事实 6～8：SAS、ASA、SSS。

按这三组条件画三角形，不管谁来画，画出来的都能完全重合：三角形的形状和大小被“定死”了（见第五部分“全等三角形”）。注意 SSA（两边和其中一边的对角）不在其中，它确实定不死三角形。

用到它的地方：AAS 由 ASA 和三角形内角和推出，直角三角形的 HL 也能由它们推出；等腰三角形“三线合一”、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、平行四边形的性质，都要借助全等来证明；尺规作图“作一个角等于已知角”的依据是 SSS。

平行线分线段成比例#

基本事实 9：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。

图中 ，直线 与它们交于 、、，直线 与它们交于 、、，那么

特别地，如果 ，那么 ：平行线在一条直线上截得的线段相等，在另一条直线上截得的线段也相等。

用到它的地方：“平行于三角形一边的直线截其他两边，截得的三角形与原三角形相似”，以及相似三角形的各个判定，都由它推出（见第八部分“相似”）。

代数推理的起点#

代数推理同样有起点。计算和解方程时，每一步都能追到下面几类规则：

运算律在小学是从具体的数里总结出来的；数扩充到负数、无理数以后，仍然承认它们成立，并以它们为依据继续推理。加上相反数、绝对值、乘方这些定义，代数里的法则、公式都能由此推出。

例题#

例 1　用基本事实说明：两条直线相交，只有一个交点。

思路： 要说明“只有一个”，可以设想有两个，看会不会出问题。

解： 假设直线 和 相交，并且有两个不同的交点 、。那么 经过 、 两点， 也经过 、 两点，经过两点就有了两条不同的直线，和“两点确定一条直线”矛盾。所以两条直线相交只有一个交点。

这种先假设结论不成立、再推出矛盾的说理方法，叫反证法（见第一部分“怎样证明”）。

例 2　如图，直线 、 被直线 所截，。求证：。

思路： 和 是内错角。能用来判定平行的，目前只有基本事实“同位角相等，两直线平行”。所以要找一个角，它和 是同位角，又和 相等： 的对顶角 正好是。

证明： 因为 （对顶角相等），（已知），所以 （等量代换），所以 （同位角相等，两直线平行）。

回顾： 这就是判定定理“内错角相等，两直线平行”的证明。把依据一路往回追：“对顶角相等”来自补角和平角，“同位角相等，两直线平行”是基本事实。每一个定理都这样扎根在定义和基本事实上。

例 3　解方程 ，并说出每一步的依据。

思路： 解方程的每一步都是在用运算律或等式的性质，把它们写出来。

解：

检验： 左边 ，右边 ，左边等于右边。

想一想： 移项要“变号”，不是一条需要记住的规定。等式两边都加 2，左边的 消失了，右边多出一个 ，看起来就像 变号后移到了右边。

易错点#

• 把“看起来显然”的结论当基本事实用。 几何的基本事实只有表里这几条。用 SSA 判定全等、凭图说两条线平行，都是用了没有依据的“事实”。
• 漏掉“同一平面内”“直线外”。 在空间里，过一点和已知直线垂直的直线有无数条；点在直线上时，过这一点的直线都和已知直线相交或重合，谈不上平行。
• 把判定和性质弄反。 基本事实 5 是由角推出平行（判定）；“两直线平行，同位角相等”是由平行推出角（性质），方向相反，不能混用。
• 把线段和距离混为一谈。 距离是线段的长度，是一个数；线段是图形。“点到直线的距离”是垂线段的长度，不是垂线段本身。
• “有且只有”只理解了一半。 “有”是存在，“只有”是唯一。作辅助线时用的是“有”，说明两条线重合时用的是“只有”。

联系#

• 定义、命题与定理： 基本事实是不证明的真命题，定理是证明了的真命题。见第一部分“定义、命题与定理”。
• 怎样证明： 证明里的每一个依据，追到最后都是定义和基本事实。见第一部分“怎样证明”。
• 几何图形初步： 直线、线段、两点间的距离从这里开始。见第五部分“几何图形初步”。
• 相交线与平行线： 垂线、平行线的判定和性质，都建立在基本事实 3、4、5 上，也就是同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，同位角相等，两直线平行。见第五部分“相交线与平行线”。
• 三角形： 三边关系来自“两点之间，线段最短”，内角和的证明要用到平行线。见第五部分“三角形”。
• 全等三角形： 全等的判定从 SAS、ASA、SSS 出发。见第五部分“全等三角形”。
• 相似： 相似三角形的判定从“平行线分线段成比例”出发。见第八部分“相似”。
• 一次函数： “两点确定一条直线”对应待定系数法里的“两个条件确定 和 ”。见第七部分“一次函数”。
• 一元一次方程： 解方程的依据是等式的性质。见第四部分“一元一次方程”。

真题： 2022 年第 15 题。