第十一部分：数形结合

以数解形

对应人教版七年级下册第九章、八年级下册第二十章、第二十一章和第二十三章，九年级上册第二十六章、第二十九章和第三十章，综合运用。

以数解形，就是给图形装上坐标，把点写成数对、把线写成方程，于是长度、面积、位置关系都能按固定的步骤算出来。

从哪里来#

几何证明常常要先想到一条辅助线，想不到就卡住。坐标系给了另一条路：点有了坐标，几何关系就能翻译成式子，接下来只要计算。

几何的说法	用坐标说
点	有序数对
水平线段、竖直线段的长	横坐标之差、纵坐标之差（大减小）
两点间的距离	勾股定理：
线段的中点	横、纵坐标分别取平均数
直线	一次函数
两条直线平行	相等（不等）
点在图象上	点的坐标满足解析式
两条线的交点	两个解析式组成的方程组的解

用坐标解几何题的步骤是：建坐标系、设坐标 → 把条件翻译成式子 → 计算 → 把结果翻译回几何。 前后两步是“翻译”，中间一步是代数。

距离：勾股定理的坐标写法#

设、。过画水平线、过画竖直线，交出一个直角三角形：水平直角边长，竖直直角边长，斜边就是。由勾股定理，

AB^2 = (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2.

平方以后正负号不影响结果，所以公式里不用写绝对值。

例 1　已知、、，判断的形状。

思路： 判断形状就是比较边的长短、看有没有直角。三边的平方都能用距离公式算出来；比较平方就够了，不用开方。

A(1, 1)、B(4, 2)、C(0, 4)：AB 的水平分量 3、竖直分量 1

解：

\begin{aligned} AB^2 &= (4 - 1)^2 + (2 - 1)^2 = 10, \\ AC^2 &= (0 - 1)^2 + (4 - 1)^2 = 10, \\ BC^2 &= (0 - 4)^2 + (4 - 2)^2 = 20. \end{aligned}

；又，由勾股定理的逆定理，。所以是等腰直角三角形。

中点：平行四边形的第四个顶点#

数轴上和的中点是，它到两端的距离都是。平面上也一样：线段的中点，横坐标在、的正中间，纵坐标在、的正中间，所以中点是

\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right).

平行四边形的对角线互相平分，也就是两条对角线的中点重合（见第五部分“四边形”）。写成坐标：平行四边形相对的两个顶点，坐标之和相等。 比如是平行四边形，、是对角线，则，。

例 2　已知、、。以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标。

思路： 题目说“以、、、为顶点”，没有说顶点的顺序，所以不知道和谁相对。可以和、、中的任何一个相对，要分三种情况（见第十一部分“分类讨论”）。每种情况用“相对顶点坐标之和相等”列式。

以 A、B、C 为三个顶点的平行四边形有三个，第四个顶点分别是 D1、D2、D3

解：设。

与相对（是对角线）：，，得；
与相对（是对角线）：，，得；
与相对（是对角线）：，，得。

所以点的坐标是、或。

面积：竖直的线段最好算#

在坐标系里，水平或竖直的线段，长度就是坐标之差；斜着的线段要用距离公式，斜边上的高更难求。所以求面积时，常用一条竖直线把图形分开，让竖直线段当底。

例 3　抛物线与轴交于、两点（在左边），与轴交于点。点是直线上方抛物线上的一个动点。求面积的最大值，以及此时点的坐标。

思路： 的三条边都是斜的。过作竖直线交于，把三角形分成和。两个三角形有公共底，高分别是、到直线的水平距离，两个高加起来正好是、的横坐标之差。是竖直线段，长度就是、的纵坐标之差。

过 P 作竖直线交 BC 于 Q，△PBC 的面积 = PQ × 3 ÷ 2

解：令，得，或，所以，；令，得。

直线过和，解析式是。

设，，则。在的上方，

PQ = (-t^2 + 2t + 3) - (-t + 3) = -t^2 + 3t.

\begin{aligned} S_{\triangle PBC} &= \frac{1}{2} PQ \cdot t + \frac{1}{2} PQ \cdot (3 - t) = \frac{3}{2} PQ \\ &= -\frac{3}{2}t^2 + \frac{9}{2}t = -\frac{3}{2}\left(t - \frac{3}{2}\right)^2 + \frac{27}{8}. \end{aligned}

，在内，所以时面积最大，最大值是。此时，点的坐标是。

回顾： 这道题把几何问题（面积）变成了函数问题（二次函数求最值）。“竖直线段的长 = 上面的纵坐标 − 下面的纵坐标”，是坐标系里求面积最常用的一步。

存在性：先设坐标，再列方程#

“是否存在一个点，使……”这类问题，做法是：先假设点存在，用一个字母表示它的坐标（点在坐标轴或已知图象上，就只需要一个字母），把条件翻译成方程。方程有解，点就存在，解就是坐标；方程无解，点就不存在。

例 4　已知、。在轴上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标。

思路： ，就是以为斜边，三边满足勾股定理。在轴上，设，三边的平方都能用表示。

解：设。

PA^2 = (x - 1)^2 + 9, \quad PB^2 = (x - 5)^2 + 1, \quad AB^2 = 4^2 + 2^2 = 20.

由勾股定理及其逆定理，就是：

(x - 1)^2 + 9 + (x - 5)^2 + 1 = 20.

整理得，即，解得或。

所以存在，点的坐标是或。

以 AB 为直径的圆与 x 轴交于 P1、P2，两点处的角都是直角

想一想： 为什么恰好两个点？直径所对的圆周角是直角，所以使的点都在以为直径的圆上（见第九部分“圆的有关性质”）。这个圆的圆心是的中点，半径是。圆心到轴的距离 2 小于半径，所以圆与轴有两个交点（见第九部分“与圆有关的位置关系”）。代数这边，方程的判别式，也是两个根。交点的个数，和方程根的个数，是同一件事。

用坐标证明几何结论#

例 5　用坐标证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

思路： 建坐标系要让尽量多的点落在坐标轴上。直角顶点放在原点，两条直角边放在两条坐标轴上。斜边端点的坐标设成、，中点的坐标就不带分数。

直角顶点在原点，A(2a, 0)、B(0, 2b)，斜边中点 M(a, b)

证明： 设中。以为原点，、所在直线为轴、轴建立坐标系，设、（，）。斜边的中点是。

CM = \sqrt{a^2 + b^2}, \quad AB = \sqrt{(2a)^2 + (2b)^2} = 2\sqrt{a^2 + b^2}.

所以。

想一想： 不用坐标的证法是延长到，使，证出四边形是矩形，再用矩形的对角线相等（见第五部分“四边形”）。那种证法要先想到辅助线；坐标证法不用想辅助线，但要会选坐标系。两种方法各有长处：几何证法说明了为什么（这个三角形是矩形的一半），坐标证法步骤固定、不容易卡住。

延长 CM 到 D，使 MD = CM，四边形 ACBD 是矩形

易错点#

由坐标求长度时带上了负号。 点到轴的距离是 3，不是 −3。竖直线段的长是“上面的纵坐标减下面的纵坐标”，不确定上下时加绝对值。
距离公式漏了平方或开方。 不是；它是直角三角形的斜边，要用勾股定理。
只按一种顶点顺序找平行四边形。 “以、、、为顶点”没有规定顺序，三种情况都要算；如果题目写的是“平行四边形 ”，顺序已经定了，只有一种。
动点坐标用了两个字母。 点在已知图象上时，纵坐标用横坐标表示，如，只留一个未知数。
忘了动点的范围。 例 3 中在上方，所以；求出的最值点要检验是否在范围内。

联系#

平面直角坐标系： 点的坐标、坐标和距离是这一页的基础。见第六部分“平面直角坐标系”。
勾股定理： 距离公式就是坐标系里的勾股定理。见第五部分“勾股定理”和第三部分“二次根式”。
四边形： 平行四边形对角线互相平分，写成坐标就是中点重合。见第五部分“四边形”。
函数： 直线用一次函数表示，面积的最大值用二次函数求。见第七部分“一次函数”和第七部分“二次函数”。
圆：直径所对的圆周角是直角；圆与直线交点的个数对应方程根的个数。见第九部分“圆的有关性质”和第九部分“与圆有关的位置关系”。
分类讨论： 平行四边形的第四个顶点、存在性问题常常要分情况。见第十一部分“分类讨论”。
反方向： 把代数问题画成图来想，见第十一部分“以形助数”。

真题： 2026 年第 15 题、2025 年第 18 题、2025 年第 21 题、2024 年第 14 题、2024 年第 18 题。