相似 ★

对应人教版九年级下册“相似”一章。

形状相同、大小不一定相同的图形叫相似图形；相似就是把图形的每一条线段都乘同一个数 ：对应角相等，对应边成比例。

从哪里来#

把一张照片等比例放大、按比例尺画地图、用复印机缩印一页纸，得到的图形和原来的“样子一样”，只是大小变了。“样子一样”要说清楚，就要问：变的是什么，不变的是什么？

• 放大到 2 倍，所有线段都变成原来的 2 倍，不能有的边放大、有的边不变，否则图形会被拉扁；
• 所有的角都不变，否则图形会变歪。

所以两个多边形相似，是指：对应角相等，对应边成比例。各对应边的比 叫相似比。 与 相似，记作 ，和全等一样，字母的顺序表示对应关系。

两个条件缺一不可：

正方形和长方形的四个角都是直角，但长方形的长和宽不相等，不能由正方形按同一个比放大得到；正方形和菱形的四条边都相等，边是成比例的，但菱形的角变了。它们都和正方形不相似。

相似比 时，对应边相等，对应角也相等，就是全等。全等是相似的特殊情况。

比例线段#

相似离不开“比”。四条线段 、、、 中，如果 与 的比等于 与 的比，即

就说这四条线段是成比例线段。求线段的比时，两条线段要用同一个长度单位，比值是一个没有单位的数。

比例式本质是一个等式，所以可以用等式的性质变形：

合比要成立，前提是两个比相等。它说的是：两个比相等，把每个比的前项和后项加起来作新的前项，得到的两个比仍然相等。道理就是两边都加 1：，通分就是 。

它在相似里的用处，是处理“两条线段按同样的比例切开”的情况。如图，，，，，：

• 部分比部分相等： ，即 。平行线截出来的就是这种关系（见下文“平行线分线段成比例”）。
• 合比，得到整体比部分相等： 两边都加 1，，即 ，也就是 。
• 再得到部分比整体相等： 把上式倒过来，；用 1 减去它，。

用份数看更直观：，就是把 分成 5 份， 在第 2 份处； 也是 ， 也分成 5 份， 也在第 2 份处。两条边不一样长（，，每份的长短不同），但切的位置相同，所以 占 的 ， 也占 的 。合比做的就是“把份数加成整体”这一步。

为什么要这样换？平行线直接给出的是“部分比部分”，；而相似三角形 的相似比要用“部分比整体”，，分母是整条边。合比就是这两种写法之间的桥。

黄金分割#

在线段 上取一点 ，如果较长的一段 是全长 和较短的一段 的比例中项，即 ，就说点 把线段 黄金分割，点 叫线段 的黄金分割点。

设 ，，则 ，条件变成 。解这个一元二次方程，取正根：

也就是说 （见第四部分“一元二次方程”）。黄金分割点离哪一端近都可以，所以一条线段有两个黄金分割点。

黄金分割为什么和相似有关？看一个长和宽的比是 的长方形 ，从中截去正方形 ：

原长方形的宽与长之比是 ；剩下的长方形 的宽是 ，长是 ，宽与长之比是 。要让剩下的长方形和原来的相似，就要

仍然是 。所以宽与长之比为 0.618 的长方形有一个特点：截去一个正方形，剩下的还是和它相似的长方形，可以一直截下去。这样的长方形叫黄金矩形。

平行线分线段成比例#

相似的判定要从一个基本事实出发（见第一部分“基本事实”）：

两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。

把它用到三角形里：在 中作 ，、 分别在直线 、 上。再过顶点 作直线 。这样 、、 是三条互相平行的直线，它们截直线 、，在 上截出 、，在 上截出 、，由基本事实，这些对应线段成比例。多作直线 ，是因为 、 的一端在顶点 处，要让它们也成为“被平行线截出的线段”， 处就得有一条平行线。于是得到推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。

两种图里都有

A 字型中还有 ，两个比例式可以用合比互相转化。、 恰好是 、 的中点时，，这就是三角形的中位线（见第五部分“四边形”）。

相似三角形的判定#

起点：平行线截出相似三角形#

平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。

以 A 字型为例，，要证 ，按定义要说明三个角分别相等、三条边成比例。

1. 角： 是公共角；，所以 ，（两直线平行，同位角相等）。
2. 两条边： 由上一节的推论（平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例），。
3. 第三条边： 和 不在同一对截线上，要把 “搬”到 上。过 作 交 于点 。四边形 两组对边分别平行，是平行四边形，所以 。对直线 、 用推论，，也就是 。

三个角分别相等，三条边的比都等于 ，所以 。

三个判定：截一个全等的小三角形#

有了这个起点，判定就好推了。要证 （较小）和 相似，办法是：在 的边 上截取 ，作 交 于点 。 由上面的结论，；只要再证 ， 也就和 相似了。

每一条相似的判定，都是一条全等的判定把“边相等”换成“边成比例”，证明时也正是借用了对应的全等判定。直角三角形还有一条：斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似，因为由勾股定理，第三边也成同样的比，就变成了三边成比例（对应全等里的 HL）。

和全等一样，“两边成比例且其中一边的对角相等”不能判定相似。而“三个角分别相等”在全等里不行，在相似里只要两个角就够了：相似本来就不管大小。

相似三角形的性质#

相似三角形的对应角相等，对应边成比例，这是定义。由此还能推出更多的“对应量”之比：

• 对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比。 比如 ，、 是对应的高，那么 和 中 ，，两角分别相等，所以相似，。中线、角平分线也一样，找出含它们的那一对三角形：若 、 是对应中线，则 ，又 ，，两边成比例且夹角相等；若是对应角平分线，则 （相等的角的一半），又 ，两角分别相等。
• 周长的比等于相似比。 三条边都乘 ，和也乘 。
• 面积的比等于相似比的平方。 三角形面积是 ，底乘 ，高也乘 ，面积就乘 。

长度是“一维”的量，乘 ；面积是“二维”的量，乘 。把一张照片的长和宽都放大到 2 倍，面积是原来的 4 倍，道理相同。

例题#

例 1　如图，在 中，，，，。求 的长，以及 与四边形 的面积比。

思路： 马上给出 。相似比是哪两条边的比？ 和 是对应边，和它们对应的是 与 ，不是 与 。

解： 因为 ，所以 ，相似比为

所以 ，。

面积比等于相似比的平方，。把 的面积看成 25 份， 占 9 份，四边形 占 份，所以 与四边形 的面积比是 。

例 2　如图，在 中，， 于点 。求证：。若 ，，求 和 。

思路： 要证的式子是乘积相等，由比例的基本性质，它就是 。这三条线段里，、 在 中，、 在 中，所以去证这两个三角形相似。

证明： 在 和 中，（公共角），，所以 （两角分别相等），所以 ，即 。

计算： 由勾股定理，。所以 ，。

求 可以有两种想法：

• 再找一对相似三角形。 同理 ，所以 ，得 ，。
• 把面积算两遍。 的面积既等于 ，又等于 ，所以 。

想一想： 图中三个直角三角形 、、 两两相似，因为它们各有一个直角，又两两共用一个锐角（图中蓝色弧标出的 ，都是 的余角）。这种“直角三角形斜边上的高”的图形里，任意两个三角形都可以列比例式；只求高时，面积法更快。

例 3　同一时刻，身高 1.6 m 的小明在阳光下的影长是 1.2 m，一棵树的影长是 6 m。这棵树有多高？

思路： 树高没法直接量，影长能量。太阳离得很远，同一时刻照到地面上的光线可以看成平行的，于是树、影子、光线围成的三角形，和人、影子、光线围成的三角形形状相同。

解： 因为 ，所以 ；又 ，所以 ，

答：树高 8 m。

例 4　为了测量河宽，在河对岸选一个目标 ，在这一岸找到点 ，使 与河岸垂直。沿河岸从 走 40 m 到 ，在 处立一根标杆，再走 20 m 到 ；从 沿与河岸垂直的方向往远离河的方向走，直到点 ，使 、、 在同一直线上，量得 m。求河宽 。

思路： 河宽过不去，就在岸上造一个“缩小版”的三角形： 和 在 处是对顶角，又各有一个直角，是 8 字型的相似三角形。

解： （对顶角相等），，所以 ，

答：河宽 60 m。

回顾： 测高、测距的共同想法是：要量的长度够不着，就找一个和它相似、又能量的三角形。 相似三角形把“形状”搬到了能测量的地方，比例式再把长度换算回来。

位似#

把一个图形放大或缩小，最直接的画法是：选一个点 ，把每个点 沿射线 推到 ，使 。

这样得到的两个图形不仅相似，而且对应点的连线都经过同一点 ，对应边互相平行（或在同一条直线上）。这样的两个图形叫位似图形，点 叫位似中心， 叫位似比。

为什么 ？因为 ，又 是公共角，所以 （两边成比例且夹角相等），得 ，且 ，。三条边都这样，所以三边成比例。

位似中心也可以在两个图形之间：把每个点 推到射线 的反向延长线上，同样使 ，得到的图形在 的另一侧，是倒过来的（见下面例 5 的图）。

坐标系中的位似。 以原点 为位似中心，位似比为 ，点 的对应点是 或 。理由是：从点 和它的对应点 分别向 轴作垂线，得到的两个直角三角形也是位似的，直角边都变成原来的 倍，而两条直角边的长正是横坐标和纵坐标的绝对值。

例 5　 的顶点是 ，，。以原点 为位似中心，位似比为 ，把 缩小，写出对应点的坐标。

思路： 位似比为 ，就是每个点到原点 的距离都变成一半；缩小后的图形可以在 的同一侧，也可以在另一侧，两种都要写。

解： 把每个点的横、纵坐标都乘 ，得 ，，；都乘 ，得 ，，。两个三角形都符合要求。

和坐标系中的其他变化放在一起看：

平移、轴对称、旋转得到全等的图形，位似得到相似的图形。取 时的 ，正好是绕原点旋转 。

易错点#

• 对应关系没对齐就写比例式。 的比例式是 ，对应边要从相似式里按字母位置读出来。题目只说“两个三角形相似”而没给出对应关系时，要分情况讨论。
• 把 当成相似比。 A 字型中 ，是“部分比整体”； 只对两条边上的线段成立，不能用来求 。
• 面积比用了相似比。 面积比是相似比的平方；反过来，已知面积比 ，相似比是 。
• 把相似比的方向弄反。 与 的相似比是 ，那么 与 的相似比是 。
• 位似只画了一侧。 没有说明在位似中心的哪一侧时，两侧的图形都符合要求，坐标乘 和乘 各有一个答案。
• 黄金分割点只找了一个。 一条线段有两个黄金分割点，分别靠近两个端点。

联系#

• 全等三角形： 全等是相似比为 1 的相似；相似的判定由全等的判定推出，一一对应。见第五部分“全等三角形”。
• 基本事实： 相似三角形的全部判定都从“平行线分线段成比例”出发。见第一部分“基本事实”。
• 四边形： 三角形的中位线是平行线截三角形时比为 的特例。见第五部分“四边形”。
• 一元二次方程： 黄金分割数是方程 的正根。见第四部分“一元二次方程”。
• 勾股定理： 直角三角形斜边上的高分出的三个三角形两两相似，由此也能推出勾股定理。像例 2 那样，， 于点 ，则 ，，两式相加得 。见第五部分“勾股定理”。
• 平移、轴对称与旋转： 这三种变化保持大小不变，位似改变大小、保持形状。见第六部分“平移、轴对称与旋转”。
• 锐角三角函数： 有一个锐角相等的两个直角三角形相似，所以它们对应边的比相等，这个比只由锐角决定。见第八部分“锐角三角函数”。
• 投影与视图： 阳光下的影长和物高成比例，路灯下的影子问题也是相似三角形。见第八部分“投影与视图”。
• 分类讨论： 相似的对应关系不确定、位似在中心的哪一侧不确定时，都要分情况。见第十一部分“分类讨论”。

真题： 2025 年第 6 题、2025 年第 15 题、2025 年第 21 题、2024 年第 6 题、2023 年第 20 题。