一元二次方程 ★
对应人教版九年级上册第二十五章。
只含一个未知数、未知数的最高次数是 2 的整式方程叫一元二次方程；它的各种解法都在做同一件事：降次，把一个二次方程变成两个一次方程。
从哪里来#
一块长方形空地，长比宽多 4 m，面积是 60 m²，长和宽各是多少？
设宽为 m，长就是 m，根据面积得 ，整理成
和一元一次方程比，多了一个 项。面积、增长率、自由落体的距离……很多数量关系里都有“一个量乘它自己”，列出的就是这样的方程。
只含有一个未知数、未知数的最高次数是 2 的整式方程，叫一元二次方程。它都能整理成一般形式
其中 是二次项， 是一次项， 是常数项，、 分别是二次项系数和一次项系数。要求 ，因为 时 项消失，就成了一次方程。
一次方程已经会解了，所以问题是：怎样把“二次”降成“一次”？ 手里有两件工具：
- 开平方： 如果 （），那么 。这是平方根的定义。
- 乘积为 0： 如果 ，那么 或 。
下面的几种解法，都是想办法用上这两件工具之一。
直接开平方#
例 1 解方程 。
思路： 平方等于 9 的数是 3 和 −3，所以 要么是 3，要么是 −3。一个二次方程变成了两个一次方程。
解： 由平方根的定义， 或 ，所以 ，。
一般地，方程 ：
| 的情况 | 开平方后 | 根 |
|---|---|---|
| 或 | 两个不相等的实数根 | |
| 两个相等的实数根 | ||
| 没有数的平方是负数 | 没有实数根 |
配方法：配成正方形#
只要方程能写成 的样子，就能开平方。那么， 能不能变成这个样子？
把 看成边长为 的正方形，把 看成两个 的长方形，一个贴在右边，一个贴在下边。拼起来差一个角，这个角是 的小正方形。补上它，就是边长为 的大正方形：
方程两边同时加上这个角的面积 9（等式的性质 1），得
所以 ，，。
图里 是边长，只能看到正数根 2；代数上 也满足方程：。图帮我们想到“补一个角”，算的时候仍然用代数。
补多少？ 用完全平方公式对照（见第三部分“整式的乘法”）：
一次项系数是 ，所以 是一次项系数的一半，要补上的是 ，即一次项系数一半的平方。
例 2 用配方法解方程 。
思路： 常数项移到右边，左边补上一次项系数 的一半的平方，也就是 。
解： 移项，得 。两边加 4，得 ，即 。所以 ，，。
二次项系数不是 1 时，先两边除以二次项系数，再配方。
公式法：配方的一般结果#
对一般形式 （）配方，得到的结果以后就能直接套用。两边除以 ，移项，再加上一次项系数 一半的平方：
右边的分母 ，所以右边的正负由 决定。当 时，开平方得（分母开方得 ，前面有 ，写成 结果一样）
这就是求根公式。用它解方程叫公式法：先把方程化成一般形式，写出 、、，算出 ，再代入公式。
例 3 解方程 。
解： ，，，。
即 ，。
判别式：根的个数#
推导公式时已经看到， 等于一个和 同号的数。所以不用解方程，只看 就知道根的情况。 叫一元二次方程根的判别式，记作 ：
| 根的情况 | 抛物线 与 轴 | |
|---|---|---|
| 两个不相等的实数根 | 两个交点 | |
| 两个相等的实数根 | 一个交点（相切） | |
| 没有实数根 | 没有交点 |
表的最后一列是几何的说法：方程 的根，就是抛物线 上纵坐标为 0 的点的横坐标，也就是抛物线和 轴交点的横坐标。下图是 在 、1、3 时的图象，对应的 分别是 16、0、−8：抛物线越往上，和 轴的交点从 2 个变成 1 个，再变成没有。
例 4 关于 的方程 有两个不相等的实数根，求 的取值范围。
思路： “两个不相等的实数根”对应 。但先要保证它是一元二次方程：二次项系数 。
解： 由题意，，且 ，得 。
所以 且 。
因式分解法：乘积为 0#
如果方程一边是 0，另一边能分解成两个一次因式的积，就用第二件工具：两个数的积为 0，至少有一个是 0。
例 5 解方程 。
思路： 两边都有 ，移到一边后提公因式，就变成“积为 0”。
解： 移项，得 ，提公因式，得 。所以 或 ，，。
想一想： 能不能两边直接除以 ，得 ？不能。 可能等于 0，除以它不符合等式的性质 2，正好把 这个根丢了。这和分式方程两边乘含未知数的式子会产生增根，是同一个道理的两面（见第四部分“分式方程”）。
像 ，左边分解成 ，也能用因式分解法，得 ，（见第三部分“因式分解”）。
开头长方形空地的问题（长比宽多 4 m，面积 60 m²）列出的方程 也是这样：左边分解成 ，得 ，。宽不能是负数，舍去 ，所以宽 6 m，长 10 m。
怎样选方法#
| 方程的样子 | 方便的方法 | 用哪件工具降次 |
|---|---|---|
| ，或没有一次项 | 直接开平方 | 开平方 |
| 一边为 0，另一边容易分解因式 | 因式分解法 | 积为 0 |
| 二次项系数为 1，一次项系数是偶数 | 配方法 | 配成 再开平方 |
| 其他情况 | 公式法 | 配方的结果，公式里的 就是两个一次方程 |
四种方法其实是两种想法：开平方，或者因式分解。配方法和公式法是为了用上开平方，先把方程变形。
根与系数的关系#
设方程 （）的两个根是 、（）。把求根公式给出的两个根相加、相乘：
也可以这样看：二次项系数为 1 时，、 是方程的根，方程就能写成 ，展开得
和 对照，一次项系数是两根之和的相反数，常数项是两根之积。
例 6 设 、 是方程 的两个根，求 和 的值。
思路： 两个根都是带根号的数，直接代入很繁。要求的两个式子都能用“两根之和”与“两根之积”表示出来，而这两个量从系数就能读出。先检查 ，方程确实有两个实数根。
解： 由根与系数的关系，，。
实际问题#
例 7 某商品原价 100 元，连续两次降价，每次降价的百分率相同，现价 81 元。求每次降价的百分率。
思路： 每次降价后的价格是降价前的 倍。降两次，就是乘两次 。
解： 设每次降价的百分率为 ，根据题意，得
所以 ，，，。降价的百分率不能超过 100%， 不合题意，舍去。
答：每次降价的百分率是 10%。
例 8 一块长 30 m、宽 20 m 的长方形空地上，修两条互相垂直、宽度相同的小路，一条和长平行，一条和宽平行，剩下的部分种草，面积是 504 m²。小路宽多少米？
思路： 两条小路交叉，重叠的地方不好算。但把小路平移到空地的边上，剩下部分的面积不变（平移不改变图形的大小），剩下的就拼成了一个长方形，长 m，宽 m。下图中，实线是小路原来的位置，虚线是平移到边上以后的位置，蓝框就是拼成的长方形。
解： 设小路宽 m，根据题意，得
整理，得 ，即 ，所以 ，。小路宽不能超过空地的宽 20 m， 舍去。
答：小路宽 2 m。
回顾： 方程有两个根，不等于实际问题有两个答案。解完以后要回到题目，逐个检查根是否符合实际。
黄金分割数（拓展）#
在线段 上找一点 ，使较长的一段 与全长 的比，等于较短的一段 与较长一段 的比。设 ，，那么 ：
两边乘 ，得 ，即 。用公式法，，
是线段长，取正根 （参考数据：）。这个数叫黄金分割数，点 叫线段 的黄金分割点。它在建筑、绘画中常用，在相似中还会再遇到（见第八部分“相似”）。
易错点#
- 忘了二次项系数不为 0。 题目说“一元二次方程”或“两个实数根”，就隐含 。例 4 中方程 有两个不相等的实数根，由 得 ，还要加上 ，漏掉它是最常见的错误。
- 两边同除以含未知数的式子。 例 5 解 ，如果两边除以 ，会丢掉 。应该移项后因式分解。
- 没化成一般形式就套公式。 要先化成 ，这时 ，不是 5。
- 配方时只在一边加。 补上的一次项系数一半的平方，两边都要加；二次项系数不是 1 时要先除掉。
- 开平方漏掉负根。 的解是 ，不只是 2。
- 用根与系数的关系前不看判别式。 的 ，没有实数根，“两根之和为 −1”就没有意义。
- 实际问题不舍根。 百分率、长度、人数有各自的范围，解出的根要逐个检验。
联系#
- 二次函数： 方程 的根是抛物线 与 轴交点的横坐标，判别式决定交点个数；把二次函数配方化成顶点式，和配方法解方程是同一种变形。见第七部分“二次函数”。
- 整式的乘法： 配方就是反用完全平方公式，配方法那张拼图里，把 拼成缺一个角的正方形，再补上 的角，这个“补一个角”就是 的面积模型。见第三部分“整式的乘法”。
- 因式分解： 因式分解法把二次方程拆成两个一次方程。见第三部分“因式分解”。
- 实数和二次根式： 直接开平方用的是平方根的定义，公式法的结果常常要化简二次根式。见第二部分“实数”和第三部分“二次根式”。
- 平移、轴对称与旋转： 小路问题靠平移把零散的图形拼成长方形。见第六部分“平移、轴对称与旋转”。
- 勾股定理： 已知直角三角形边长之间的关系求边长，列出的往往是一元二次方程。见第五部分“勾股定理”。
- 与圆有关的位置关系： 直线和圆有两个、一个或没有公共点，和判别式决定抛物线与 轴交点个数的道理类似。见第九部分“与圆有关的位置关系”。
- 相似： 黄金分割是比例线段的一种。见第八部分“相似”。
真题： 2026 年第 4 题、2025 年第 5 题、2024 年第 13 题、2023 年第 7 题、2022 年第 6 题。