第七部分：函数

反比例函数 ★

对应人教版九年级上册第二十七章。

反比例函数描述“乘积一定”：两个变量、的乘积总是同一个不为 0 的常数，写成（）。 它的图象是分在两个象限里的两支曲线，叫双曲线。

从哪里来#

情境	不变的量	两个变量	关系
面积为 12 cm² 的长方形	面积 12	长，宽	，即
从甲地到乙地，路程 120 km	路程 120	速度，时间	，即
一批零件共 600 个，平均分给几个人做	总数 600	人数，每人做的个数	，即

共同点是：两个量的乘积不变。 一个量变成原来的 2 倍，另一个量就变成原来的一半，这就是“成反比例”。一般地，形如

y = \frac{k}{x}\quad(k \text{ 是常数，} k \ne 0)

的函数叫反比例函数。它也可以写成或。

和正比例函数对照着看：正比例函数是比值一定（），反比例函数是乘积一定（）。

定义里的两个限制都有来由：

：在分母上，分母不能为 0。
：时恒等于 0，不再随变化。

由还能看出：也永远不会等于 0。

图象：为什么是两支曲线#

用描点法画的图象：

	−6	−3	−2	−1	1	2	3	6
	−1	−2	−3	−6	6	3	2	1

y = 6/x 的图象：两支曲线分别在第一、三象限

图象的样子，每一点都能从解析式推出来：

分成两支。 不能取 0，所以轴上没有图象上的点，图象在轴两侧断开。
在第一、三象限。 ，、同号：时，时。
越来越靠近坐标轴，但永远碰不到。 越大，越接近 0，曲线越贴近轴，但不会等于 0；越接近 0，越大，曲线越贴近轴，但不会等于 0。

k 管什么#

的正负管位置和增减。 时、同号，图象在第一、三象限；时、异号，图象在第二、四象限。

增减性用作差来说明。设，在第一象限的那一支上取两点，，则

y_1 - y_2 = \frac{k}{x_1} - \frac{k}{x_2} = \frac{k(x_2 - x_1)}{x_1 x_2}.

，，，所以，即：增大，减小。时，仍然大于 0，结论一样。时，差的符号反过来，随的增大而增大。

注意推导里用到了，也就是 、同号，两点在同一支上。 两点分别在两支上时，结论不成立：中，时，时，增大，反而增大了。所以增减性一定要说“在每一个象限内”。

管远近。 越大，同一个对应的越大，曲线离原点越远。

k 取 6、1、−1、−6 时的图象：k 的正负决定所在象限，绝对值越大离原点越远


图象所在象限	第一、三象限	第二、四象限
增减性	在每一个象限内，随的增大而减小	在每一个象限内，随的增大而增大

对称性#

在的图象上取点。

点也满足，也在图象上。一般地，在图象上，则，所以也在图象上。和关于原点对称，所以双曲线是中心对称图形，对称中心是原点。
点也在图象上。一般地，在图象上，则，也在图象上。和关于直线对称，所以双曲线也是轴对称图形，直线是它的一条对称轴（同理，也在图象上，直线是另一条）。

P 和 P′ 关于原点对称，P 和 Q 关于直线 y = x 对称

过原点的直线也关于原点中心对称，所以双曲线和一条过原点的直线相交时，一个交点关于原点的对称点也同时在两个图象上，两个交点关于原点对称。

k 的几何意义：面积不变#

“乘积一定”在图上是什么样子？在的图象上任取一点，作轴于点，轴于点，得到长方形。它的两条边长是和，所以

S_{\text{长方形}OMPN} = \lvert x \rvert \cdot \lvert y \rvert = \lvert xy \rvert = \lvert k \rvert = 6.

点在曲线上怎么动，长方形的形状都在变，面积却始终是 6：

点 P 在 y = 6/x 上移动，长方形 OMPN 的面积始终是 6

连接，它把长方形分成两个全等的直角三角形，所以。

反过来，已知这样的长方形或三角形的面积，就能求出，再由图象所在的象限定出的正负。

待定系数法：一个条件就够了#

反比例函数只有一个待定的系数，所以一个条件就能确定它。

例 1　反比例函数的图象经过点。求它的解析式，并判断点、是否在这个函数的图象上。

思路： 设，用求最快。判断点在不在图象上，就看它的坐标满不满足解析式，也就是横、纵坐标的乘积是不是。

解：设。把代入，得，所以解析式是。

，所以点在图象上；，所以点不在图象上。

比较函数值的大小#

例 2　点、、都在的图象上，比较、、的大小。

思路： 解析式和横坐标都知道，直接算出三个函数值最稳妥。

解：，，，所以。

想一想： 如果把函数换成，不知道，就算不出具体的值了，这时要用性质：

，图象在第一、三象限，在每一个象限内随的增大而减小。
、的横坐标都是负数，在第三象限的同一支上；，所以。
在第一象限，；而、都小于 0。

所以仍然是。直接计算适合数都已知的情况；用性质比较，要先把点按所在的象限分组，同一组里才能用增减性，不同组之间比较正负。

和一次函数的交点#

例 3　一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点（点在第一象限），直线与轴交于点。

（1）求、两点的坐标；

（2）求的面积；

（3）取什么值时，一次函数的值大于反比例函数的值？

思路： 交点同时在两个图象上，它的坐标同时满足两个解析式，所以联立成方程组。的三条边都不在坐标轴上，但直线和轴交于，把它分成两个三角形，它们以为公共底，高就是、到轴的距离。

y = x + 1 和 y = 6/x 交于 A、B 两点，C 是直线与 y 轴的交点

解：（1）联立

\begin{cases} y = x + 1, \\ y = \dfrac{6}{x}, \end{cases}

得，两边乘，整理得，即，所以或。代入，得，。

（2）在中令，得，。点到轴的距离是 2，点到轴的距离是 3，所以

S_{\triangle AOB} = S_{\triangle AOC} + S_{\triangle BOC} = \frac{1}{2} \times 1 \times 2 + \frac{1}{2} \times 1 \times 3 = \frac{5}{2}.

（3）“一次函数的值大于反比例函数的值”，就是直线在双曲线上方。看图，以两个交点的横坐标 −3、2 和不能取的 0 为分界：时直线在上方，时直线也在上方。所以或。

检验： 取，，，，成立；取，，不成立，和答案一致。

回顾： 和不关于原点对称，因为直线不过原点。只有过原点的直线和双曲线的两个交点，才关于原点对称。

实际问题#

例 4　某蓄电池的电压一定，用它给一个可变电阻（Ω）供电，电流（A）与成反比例。当时，。

（1）写出关于的函数解析式；

（2）如果电路中的电流不能超过 12 A，可变电阻应控制在什么范围？

思路： 电压一定，就是与的乘积一定。求范围时，先找正好等于 12 时的，再看往哪边变电流会变小。

解：（1）设，由，得（）。

（2）时，。，，在第一象限内随的增大而减小，所以要，需要。答：可变电阻应不小于 3 Ω。

易错点#

增减性漏了“在每一个象限内”。 反比例函数在整个定义范围上并不单调：中，时，时，增大，反而增大了。比较函数值时，先看点在不在同一支上。
几何意义忘了绝对值，或者把三角形当成长方形。 长方形的面积是，的面积是。由面积求时，还要根据图象所在象限确定符号。
把不是反比例函数的式子当成反比例函数。 、都不是反比例函数：前者的分母不是，后者不是常数。判断时看能不能化成（）。
以为图象和坐标轴有交点。 、，双曲线只会无限靠近坐标轴，不会相交。
解不等式时漏了这个分界。 例 3 第（3）问求的值大于的值时的范围，两个交点的横坐标是 −3 和 2，答案是或。从负数变到正数时，要经过双曲线断开的地方，所以答案分成两段。

联系#

分式： 是分式，就是分式有意义的条件；面积一定的长方形，一边变长另一边就变短。见第三部分“分式”。
分式方程： 路程一定时时间和速度成反比，工作量一定时时间和效率成反比，列出的分式方程里藏着反比例关系。见第四部分“分式方程”。
一次函数： 正比例函数是比值一定，反比例函数是乘积一定；两者的交点要联立方程组去求。见第七部分“一次函数”。
一元二次方程： 一次函数和反比例函数联立，消元后常得到一元二次方程，它有几个根，两个图象就有几个交点。见第四部分“一元二次方程”。
中心对称和轴对称： 双曲线关于原点中心对称，关于直线和轴对称。见第六部分“平移、轴对称与旋转”。
以数解形： 用的几何意义求面积，是用坐标算几何量的典型。见第十一部分“以数解形”。

真题： 2026 年第 20 题、2025 年第 18 题、2024 年第 18 题、2023 年第 19 题、2022 年第 18 题。