平移、轴对称与旋转 ★

对应人教版七年级下册 7.4 节和 9.2 节、八年级上册第十五章、九年级上册第二十八章。

平移、轴对称、旋转都只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，变换前后的两个图形全等。 每种变换由几个要素完全确定，对应点之间有固定的关系；放进坐标系，这种关系就变成了坐标的简单运算。

从哪里来：纸片的三种动法#

把一张三角形纸片放在桌上，不许撕、不许折、不许拉，只让它换个位置。仔细想想，基本的动法只有三种：

纸片本身没有变，所以变换前后的图形全等，对应线段相等，对应角相等。反过来，两个全等的图形，总能通过这几种变换的组合重合在一起（见第五部分“全等三角形”）。

研究每一种变换，就是研究一个问题：对应点之间有什么关系？ 这个关系清楚了，性质就出来了，画图的方法也出来了：变换对图形上每一个点都按同一个规则作用，所以画图时只要找出几个关键点，把它们变过去，再连起来。

平移#

在平面内，把一个图形整体沿某一方向移动一定的距离，叫平移。平移由方向和距离确定。

平移时，图形上每一个点都沿同一个方向移动了同样的距离。于是：

• 对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等： ，。
• 对应线段平行（或在同一条直线上）且相等： 和 平行且相等，所以四边形 是平行四边形（一组对边平行且相等），它的另一组对边也平行且相等，即 ，（见第五部分“四边形”）。
• 对应角相等， 平移前后的图形全等。

画平移后的图形： 找出图形的关键点（多边形的顶点），把每个关键点都按规定的方向和距离移过去，再按原来的顺序连起来。

用坐标表示平移#

在坐标系里，平移的方向和距离可以拆成水平、竖直两部分。一个点向右平移 个单位，它沿水平方向移动，到 轴的距离不变，纵坐标不变；它在水平方向上的读数增加 ，横坐标加 。其他方向同理：

左右移动只改横坐标，上下移动只改纵坐标。 斜着平移，就是两个方向各移一段，横、纵坐标各加一个数。反过来，一个图形上所有点的横坐标都加同一个数、纵坐标都加同一个数，这个图形就是平移了。

例 1　如图， 的顶点 ，，。把 平移，使点 移到点 ，求 、 的坐标。

这是前面讲平移时用过的那张图：

思路： 平移时每个点的移动都一样。题目没有直接说怎样平移，但给了一对对应点，从 到 的变化就是所有点的变化。

解： 从 到 ，横坐标增加 ，纵坐标增加 ，也就是向右平移 5 个单位、再向上平移 2 个单位。所以

检验： 的横向变化是 ，纵向变化是 ，和 一样，符合“对应点的连线平行且相等”。

想一想： 例 1 里坐标系不动、图形动： 向右平移 5 个单位、向上平移 2 个单位，每个顶点的横坐标都加 5、纵坐标都加 2。反过来，图形不动、坐标系动，坐标也会这样变。第六部分“平面直角坐标系”的例 3 中，地图上的地点没有动，只是把原点从学校换到了公园：以学校为原点时公园是 、图书馆是 ，换成以公园为原点后，图书馆变成 、学校变成 ，每个点的横坐标都加 2、纵坐标都加 −3，也是加上了同一对数。图形向右平移 2 个单位，和坐标系向左平移 2 个单位，坐标的变化完全一样：运动是相对的。

轴对称#

把一个图形沿一条直线翻折，得到的图形和原图形关于这条直线对称，这条直线叫对称轴。轴对称由对称轴确定。一个图形沿一条直线对折，两旁的部分能够完全重合，这个图形叫轴对称图形。这些概念和垂直平分线的来历，见第五部分“轴对称与等腰三角形”，这里只看它和其他变换的对比。

轴对称的核心性质：对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 图中 、、 都垂直于 轴，并且被 轴平分。

画轴对称图形： 对每个关键点，过它作对称轴的垂线，在垂线上对称轴的另一侧截取等长的线段，得到对称点，再按原来的顺序连起来。

翻折和另外两种变换有一点不同：翻折会把图形翻个面。 图中 是逆时针方向，翻折后 变成了顺时针方向。只靠平移和旋转，永远改不了这个绕向；所以两个全等图形绕向相反时，要重合必须经过一次翻折。

旋转#

在平面内，把一个图形绕着一个定点 沿某个方向转动一个角度，叫旋转。点 叫旋转中心，转动的角叫旋转角。旋转由旋转中心、旋转方向（顺时针或逆时针）、旋转角三个要素确定，少一个都说不清。

旋转时，图形像钉在 点上的纸片一样转动，上面每一个点都绕 画一段圆弧，转过同样的角度。于是：

• 对应点到旋转中心的距离相等： ，，；
• 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角： ；
• 旋转前后的图形全等。

画旋转后的图形： 对每个关键点 ，连接 ，按旋转方向作 等于旋转角，在射线上截取 ，得到 ，再按原来的顺序连起来。

找旋转中心： 已知两对对应点 、 和 、，因为 ， 在 的垂直平分线上；同样 在 的垂直平分线上。两条垂直平分线的交点就是旋转中心。

旋转有什么用？ 旋转不改变长度和角度，却能把一个三角形整个搬到别处去。题目里分散在不同位置的线段和角，可以用旋转把它们拼到一起。

例 2　如图，正方形 的边长为 6，点 在 上，点 在 上，。

(1) 求证：；

(2) 若 ，求 和 的长。

思路： 要证一条线段等于另两条线段的和，通常把两条线段接成一条。 在 上， 在 上，离得很远。注意正方形的两条邻边 ，夹角是 ：把 绕点 顺时针旋转 ， 正好转到 上， 就被搬到了 点旁边，和 接在同一条直线上。

证明： (1) 把 绕点 顺时针旋转 ，因为 ，，点 落在点 上。设点 落在点 ，得到 ：

旋转不改变形状和大小，，所以

因为 ，所以 、、 三点在一条直线上，。

又因为 ，所以

在 和 中，，，，所以 （SAS），。

所以 。

解： (2) 设 ，则 ，，。在 中，由勾股定理，

展开得 ，所以 ，。所以 ，。

检验： ，，，满足 。

回顾： 旋转的目的是把 搬到 的延长线上。能转过去，靠的是正方形里两条相等的邻边 、 有公共端点 ：以 为中心，转过它们的夹角，一条边就和另一条重合。以后看到“共端点的两条等线段”（正方形、等边三角形、等腰直角三角形里都有），就可以想到绕这个公共端点旋转。

中心对称#

旋转角是 的旋转最特殊。把一个图形绕着某一点旋转 ，如果它能和另一个图形重合，就说这两个图形关于这个点对称，或者说中心对称，这个点叫对称中心。

旋转 时，，所以 、、 在一条直线上；又 ，所以 是 的中点。于是：

中心对称的两个图形，对应点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心平分。 要找对称中心，连接两对对应点，交点就是。

和轴对称一样，也要分清“两个图形”和“一个图形”：一个图形绕某一点旋转 后能和自己重合，这个图形叫中心对称图形。

平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。 “平行四边形的对角线互相平分”说的正是这件事：每个顶点和它的对顶点关于对角线交点对称。

正 边形都有 条对称轴，但只有 是偶数时才是中心对称图形。 绕中心旋转 后，每个顶点都要落到另一个顶点上，这就要求每个顶点正对面还有一个顶点。 是奇数时，顶点的正对面是一条边的中点，所以正三角形、正五边形都不是中心对称图形。

对称点的坐标#

在坐标系里，关于坐标轴或原点对称的点，坐标有简单的关系。这些关系都从对应点的性质推出来，不用单独记。

关于 轴对称： 轴垂直平分 。“垂直”说明 是竖直的，横坐标相同；“平分”说明 、 到 轴的距离相等、分在两侧，纵坐标互为相反数。所以 关于 轴的对称点是 。

关于 轴对称： 同理，纵坐标相同，横坐标互为相反数， 关于 轴的对称点是 。

关于原点对称： 原点是 的中点，从 到 是向左 3、向下 2，从 到 也是向左 3、向下 2，所以横、纵坐标都互为相反数，。

图中还能看出： 先关于 轴对称到 ，再关于 轴对称，就到了 。两次沿互相垂直的直线翻折，合起来就是绕交点旋转 。 翻两次面，绕向又翻了回来，所以结果是一个旋转。

把本页的坐标规律合在一起：

例 3　已知点 和点 。、 分别关于 轴、 轴、原点对称时，求 、 的值。

思路： 每种对称都说清了哪个坐标相等、哪个坐标互为相反数，按它列出两个方程就行。拿不准时，想一想对称轴垂直平分对应点连线：关于 轴对称，连线是竖直的，所以横坐标相等。

解：

检验： 以关于 轴对称为例，、 时，，，横坐标相同，纵坐标互为相反数，确实关于 轴对称。

图案设计#

许多美丽的图案，都是从一个简单的基本图形出发，经过平移、轴对称、旋转得到的。分析一个图案，就是找出它的基本图形和用到的变换；设计一个图案，就是反过来做。

上图的风车，基本图形是强调色的那一片叶子。把它绕点 依次旋转 、、，得到另外三片。从这个“做法”可以直接读出图案的性质：

• 整个图案绕 旋转 后和自己重合，因为每片叶子都转到了下一片的位置；
• 所以旋转 也和自己重合，它是中心对称图形；
• 它不是轴对称图形：每片叶子都朝同一个绕向“甩”出去，翻折会把绕向变反，找不到一条能让它和自己重合的对称轴。

同一个基本图形换一种变换，得到的图案就不一样：一片叶子不断平移，得到一排花边；沿一条直线翻折，得到左右对称的剪纸。

用坐标看函数图象的平移#

函数图象也是图形，也可以平移。把 的图象向右平移 2 个单位，得到的新图象是什么函数的图象？

原图象上每个点 都变成 。比如 变成 ，顶点 变成 。

反过来想：新图象在横坐标为 的地方有多高？它是从原图象上横坐标为 的点平移过来的，高度没变，所以新图象上 。向右平移 2 个单位，式子里的 换成 ， 因为新图象要“晚 2 个单位”才达到原来的高度。

向上平移 3 个单位就简单了：每个点的纵坐标加 3，式子变成 。

一次函数 中 的作用，就是把 的图象上下平移（见第七部分“一次函数”）。对直线来说，左右平移和上下平移还可以互相转化： 向右平移 1 个单位得 ，和向下平移 2 个单位的结果一样。二次函数的各种形式，也都是由 平移得到的（见第七部分“二次函数”）。

易错点#

• 平移的坐标变化方向弄反。 向左、向下是减，向右、向上是加；左右只改横坐标，上下只改纵坐标。拿不准时，画出一个点移动一下看看。
• 关于 轴对称，改错了坐标。 关于 轴对称，横坐标不变、纵坐标变为相反数。原因是对应点连线垂直于 轴，是竖直的。
• 旋转只说角度。 “旋转 ”说不清是哪个变换，必须同时说清旋转中心和旋转方向。
• 旋转角找错。 旋转角是对应点与旋转中心所连线段的夹角，如 ，顶点一定在旋转中心。
• 中心对称和中心对称图形不分。 前者说两个图形之间的关系，后者说一个图形自己的性质。轴对称和轴对称图形也一样。
• 平行四边形当成轴对称图形。 一般的平行四边形沿任何直线对折都不能重合；它是中心对称图形。矩形、菱形、正方形才同时是轴对称图形。
• 正多边形都当成中心对称图形。 只有边数是偶数的正多边形才是。
• 函数图象向右平移写成 。 向右平移 2 个单位，新图象在 处的高度等于原图象在 处的高度，所以是 换成 。

联系#

• 全等三角形： 三种变换都不改变形状和大小，变换前后的图形全等；两个全等图形总能用变换的组合重合。见第五部分“全等三角形”。
• 轴对称与等腰三角形： 轴对称的定义、垂直平分线、利用轴对称求最短路径。见第五部分“轴对称与等腰三角形”。
• 四边形： 平移的性质靠平行四边形来证；平行四边形是中心对称图形，对角线互相平分。见第五部分“四边形”。
• 平面直角坐标系： 所有坐标规律都从坐标的意义推出；换原点和平移是同一件事的两种看法。见第六部分“平面直角坐标系”。
• 一次函数和二次函数： 函数图象的平移，就是图象上每个点的平移；抛物线是轴对称图形。见第七部分“一次函数”和第七部分“二次函数”。
• 反比例函数： 反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心是原点。见第七部分“反比例函数”。
• 相似： 位似是另一种变换，它保持形状、按比例改变大小，在坐标系中表现为坐标乘同一个数。见第八部分“相似”。
• 圆： 圆绕圆心旋转任意角度都和自己重合，弧、弦、圆心角之间的关系就是从这里来的。见第九部分“圆的有关性质”。
• 辅助线： 旋转、翻折、平移都能把分散的条件集中起来，例 2 就是一个例子：正方形 中 ，把 绕点 顺时针旋转 ， 就接到了 的延长线上，证出 。见第十一部分“辅助线从哪里来”。

真题： 2026 年第 5 题、2024 年第 14 题、2023 年第 23 题、2022 年第 9 题、2022 年第 23 题。