第四部分：方程与不等式
总览：从等式到方程
这一部分的主线是：从实际问题中找出等量关系或不等关系，写成方程或不等式；再依据等式和不等式的性质，把每一种方程都化归为一元一次方程来解。
类型总表#
| 类型 | 未知数个数 | 次数 | 怎样解 | 解的个数 |
|---|---|---|---|---|
| 一元一次方程 | 1 | 1 | 用等式的性质变形成 | 1 个 |
| 二元一次方程组 | 2 | 1 | 消元（代入或加减），化成一元一次方程 | 通常 1 组；也可能无解或有无数组 |
| 一元一次不等式（组） | 1 | 1 | 用不等式的性质变形成 或 ；组要找公共部分 | 无数个，组成一个范围；不等式组可能无解 |
| 分式方程 | 1 | 分母含未知数 | 去分母化成整式方程，再检验 | 可能出现增根，也可能无解 |
| 一元二次方程 | 1 | 2 | 降次（开平方或因式分解），化成两个一元一次方程 | 由判别式决定：2 个、2 个相等或没有实数根 |
一条线：都化归为一元一次方程#
- 一元一次方程是起点。它的解法全部来自等式的两条性质：两边加减同一个式子，两边乘除同一个不为 0 的数（见第四部分“一元一次方程”）。
- 二元一次方程组多了一个未知数，就多要一个方程；消元把两个未知数变成一个（见第四部分“二元一次方程组”）。
- 分式方程的未知数在分母里，两边乘最简公分母就回到整式方程；因为乘的式子可能为 0，所以要检验（见第四部分“分式方程”）。
- 一元二次方程的次数高了一次，开平方或因式分解把它拆成两个一次方程（见第四部分“一元二次方程”）。
- 不等式和方程对照着学：步骤几乎一样，只有两边乘除负数时不等号要改变方向；解不再是一个数，而是一个范围（见第四部分“不等式与不等式组”）。
遇到一种新方程，先问：它和已经会解的方程差在哪里？怎样把这个差别消掉？这就是化归。
每种方程在图象上的样子#
每一种方程和不等式，都能在坐标系里找到对应的图形：
| 代数的问题 | 在图象上看 |
|---|---|
| 解一元一次方程 | 直线 与 轴交点的横坐标 |
| 解不等式 | 直线 在 轴上方的部分对应的 的范围 |
| 解二元一次方程组 | 两条直线的交点；平行无解，重合有无数个解 |
| 解一元二次方程 | 抛物线 与 轴交点的横坐标 |
| 判别式的正负 | 抛物线与 轴有两个、一个或没有交点 |
这些对应关系要到学了函数才完整（见第七部分“一次函数”和第七部分“二次函数”），这一部分先从数轴开始：不等式的解集画在数轴上，二元一次方程的解画成直线。
列方程解实际问题#
不管列的是哪种方程，过程都一样：
- 读题，找出等量关系（或不等关系）：通常是同一个量的两种表示；
- 设未知数，用含未知数的式子表示其他有关的量；
- 列出方程（组）或不等式（组）；
- 解；
- 检验：是不是方程的解（分式方程要查增根），是否符合实际（正数、整数、范围）；
- 作答。
设哪个量为未知数，会影响列出的方程的类型：同一道工程题，设天数得到分式方程，设每天的工作量得到一元一次方程。多种情境的建模方法见第十一部分“方程思想与建模”。
学习顺序#
按页面顺序学：
- 一元一次方程： 打好等式的性质和解方程步骤的基础；
- 二元一次方程组： 学会消元；
- 不等式与不等式组： 对照方程学，重点是不等号的方向和数轴表示；
- 分式方程： 学完第三部分“分式”后再学，重点是增根；
- 一元二次方程： 学完第三部分“整式的乘法”和第三部分“因式分解”、第二部分“实数”中的平方根后再学，和第七部分“二次函数”对照着看。