2022 年河南中考数学
河南省 2022 年普通高中招生考试数学试卷，共 23 题，满分 120 分，考试时间 100 分钟。
第 1 题#
考点：第二部分“有理数”
的相反数是
- A.
- B.
- C.
- D.
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答案： A
思路： 相反数是在数轴上到原点距离相等、位于原点两侧的数，只改符号，不改绝对值。 改变符号得 。注意别和倒数（）混淆。
第 2 题#
考点：第五部分“几何图形初步”
2022 年北京冬奥会的奖牌“同心”表达了“天地合·人心同”的中华文化内涵。将这六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“地”字所在面相对的面上的汉字是
- A. 合
- B. 同
- C. 心
- D. 人
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答案： D
思路： 展开图里排成一行的三个正方形，中间一个两边折起 ，两端的正方形正好面对面，所以一行中隔着一个的两个面相对。“地、合、人”排成一行，“地”和“人”隔着“合”，是相对的面。见第五部分“几何图形初步”。
第 3 题#
如图，直线 ， 相交于点 ，，垂足为 。若 ，则 的度数为
- A.
- B.
- C.
- D.
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答案： B
思路： 和 不相邻，要找一个“中转”的角。，所以 ，； 和 是对顶角，所以 。
第 4 题#
下列运算正确的是
- A.
- B.
- C.
- D.
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答案： D
思路： 逐个回到定义检查。A：，合并同类二次根式只合并系数；B：，漏了中间项；C：幂的乘方指数相乘，；D：单项式相乘，系数相乘、同底数幂指数相加，正确。
第 5 题#
考点：第五部分“四边形”
如图，在菱形 中，对角线 ， 相交于点 ，点 为 的中点。若 ，则菱形 的周长为
- A. 6
- B. 12
- C. 24
- D. 48
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答案： C
思路： 看到两个中点就想中位线：菱形的对角线互相平分， 是 的中点， 是 的中点，所以 是 的中位线，。菱形四边相等，周长为 。
第 6 题#
考点：第四部分“一元二次方程”
一元二次方程 的根的情况是
- A. 有两个不相等的实数根
- B. 没有实数根
- C. 有两个相等的实数根
- D. 只有一个实数根
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答案： A
思路： 根的情况由判别式决定。，，，，所以有两个不相等的实数根。
第 7 题#
考点：第十部分“数据的分析”、第十部分“数据的收集、整理与描述”
如图所示的扇形统计图描述了某校学生对课后延时服务的打分情况（满分 5 分），则所打分数的众数为
- A. 5 分
- B. 4 分
- C. 3 分
- D. 45%
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答案： B
思路： 众数是出现次数最多的那个数据。扇形统计图里占比最大的是“4 分”（45%），所以打 4 分的人最多，众数是 4 分。众数是数据本身，不是它所占的百分比，所以不选 D。
第 8 题#
《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆。”说明了大数之间的关系：1 亿 = 1 万 × 1 万，1 兆 = 1 万 × 1 万 × 1 亿。则 1 兆等于
- A.
- B.
- C.
- D.
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答案： C
思路： 先把每个单位写成 10 的幂：1 万 ，1 亿 。再用同底数幂相乘、指数相加：1 兆 。
第 9 题#
考点：第六部分“平移、轴对称与旋转”、第六部分“平面直角坐标系”、第九部分“与圆有关的计算”、第十一部分“以数解形”
如图，在平面直角坐标系中，边长为 2 的正六边形 的中心与原点 重合， 轴，交 轴于点 。将 绕点 顺时针旋转，每次旋转 ，则第 2022 次旋转结束时，点 的坐标为
- A.
- B.
- C.
- D.
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答案： B
思路： 先求点 的坐标：正六边形的边长等于半径，； 是 的中点，，，所以 。再看旋转的周期：每 4 次转满 回到原处，，相当于只转 2 次，即绕 旋转 。绕原点旋转 ，横、纵坐标都变成相反数，得 。
第 10 题#
考点：第七部分“函数”
呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车。酒精气体传感器是一种气敏电阻（图 1 中的 ）， 的阻值随呼气酒精浓度 的变化而变化（如图 2），血液酒精浓度 与呼气酒精浓度 的关系见图 3。下列说法不正确的是
- A. 呼气酒精浓度 越大， 的阻值越小
- B. 当 时， 的阻值为 100
- C. 当 时，该驾驶员为非酒驾状态
- D. 当 时，该驾驶员为醉驾状态
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答案： C
思路： 这是读图题：从图 2 的图象上读出 与 的对应值，再代入图 3 的关系式算出 。A、B 直接从图象看出：图象从左往右下降， 时 。C： 时，，在 20 和 80 之间，是酒驾，所以 C 不正确。D： 时，从图象读出 ，，是醉驾，正确。
第 11 题#
考点：第七部分“一次函数”
请写出一个 随 的增大而增大的一次函数的表达式：____。
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答案： （答案不唯一）
思路： 一次函数 中， 每增加 1， 变化 。要 随 增大而增大，只要 ， 取什么都可以，比如 、。
第 12 题#
不等式组
的解集为____。
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答案：
思路： 分别解两个不等式，再取公共部分。由 得 ；由 得 。在数轴上两部分重叠的是 。
第 13 题#
考点：第十部分“概率”
为开展“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”主题教育宣讲活动，某单位从甲、乙、丙、丁四名宣讲员中随机选取两名进行宣讲，则恰好选中甲和丙的概率为____。
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答案：
思路： 先把所有等可能的结果不重不漏地列出来。从四人中选两人，共有甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁 6 种结果，每种可能性相同，恰好选中甲和丙的只有 1 种，所以概率为 。用列表法列出 12 种有序结果、其中 2 种符合，结果相同。
第 14 题#
考点：第九部分“与圆有关的计算”、第六部分“平移、轴对称与旋转”、第十一部分“辅助线从哪里来”
如图，将扇形 沿 方向平移，使点 移到 的中点 处，得到扇形 。若 ，，则阴影部分的面积为____。
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答案：
思路： 阴影是不规则图形，用“整体减空白”：阴影 = 扇形 − 两扇形重叠的部分（ 右侧、弧 下方的部分）。设 与弧 交于点 ，连接 。在 中，，，所以 ，。重叠部分 = 扇形 − ：
扇形 的面积是 ，所以阴影面积为
第 15 题#
考点：第十一部分“分类讨论”、第五部分“勾股定理”、第六部分“平移、轴对称与旋转”、第一部分“基本事实”
如图，在 中，，，点 为 的中点，点 在 上，且 ，将 绕点 在平面内旋转，点 的对应点为点 ，连接 ，。当 时， 的长为____。
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答案： 或
思路： 先弄清点 在哪里：， 在以 为圆心、1 为半径的圆上。 是等腰直角三角形， 是斜边中点，所以 ，。 说明 ，过点 垂直于 的直线只有一条，就是直线 ，所以 在直线 上。直线 和圆有两个交点，要分两种情况：
- 在线段 上：，；
- 在 的延长线上：，。
第 16 题#
考点：第二部分“实数”、第三部分“分式”、第三部分“因式分解”
（1）（5 分）计算：；
（2）（5 分）化简：
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答案：
（1）原式 。
（2）
思路： （1）三项各用一个规定：，所以 ；任何不为 0 的数的 0 次幂是 1；。（2）先把括号里通分成 ，除法变成乘倒数；分子 因式分解成 ，才能和分母约分。
第 17 题#
考点：第十部分“数据的分析”
（9 分）2022 年 3 月 23 日下午，“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，这是中国空间站的第二次太空授课，被许多中小学生称为“最牛网课”。某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取 50 名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理，信息如下：
a. 成绩频数分布表：
| 成绩 （分） | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| 频数 | 7 | 9 | 12 | 16 | 6 |
b. 成绩在 这一组的是（单位：分）：
70 71 72 72 74 77 78 78 78 79 79 79
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这次测试中，成绩的中位数是____分，成绩不低于 80 分的人数占测试人数的百分比为____。
（2）这次测试成绩的平均数是 76.4 分，甲的测试成绩是 77 分。乙说：“甲的成绩高于平均数，所以甲的成绩高于一半学生的成绩。”你认为乙的说法正确吗？请说明理由。
（3）请对该校学生“航空航天知识”的掌握情况作出合理的评价。
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答案：
（1）78.5，44%。
（2）不正确。因为甲的成绩 77 分低于中位数 78.5 分，所以甲的成绩不可能高于一半学生的成绩。
（3）测试成绩不低于 80 分的人数占测试人数的 44%，说明该校学生对“航空航天知识”的掌握情况较好。（答案不唯一，合理即可）
思路： （1）50 个数据的中位数是从小到大第 25、26 个数的平均数。前两组共 人，所以第 25、26 个数是第三组的第 9、10 个，即 78 和 79，中位数是 78.5。不低于 80 分的有 人，。（2）“高于一半学生”要和中位数比，不是和平均数比：平均数会被少数很低的分数拉低，中位数才把数据分成人数相等的两半。
第 18 题#
考点：第七部分“反比例函数”、第五部分“尺规作图”、第五部分“轴对称与等腰三角形”、第一部分“怎样证明”
（9 分）如图，反比例函数 （）的图象经过点 和点 ，点 在点 的下方， 平分 ，交 轴于点 。
（1）求反比例函数的表达式。
（2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段 的垂直平分线。（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用 2B 铅笔作图）
（3）线段 与（2）中所作的垂直平分线相交于点 ，连接 。求证：。
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答案：
（1）因为反比例函数 的图象经过点 ，所以 ，反比例函数的表达式为 。
（2）分别以 、 为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧在 两侧各交于一点，过这两点画直线，就是 的垂直平分线。
（3）因为 平分 ，所以 。因为 的垂直平分线交 于点 ，所以 ，。所以 ，所以 （内错角相等，两直线平行）。
思路： （2）到 、 距离相等的点都在 的垂直平分线上，所以作两个这样的点，两点确定一条直线（见第五部分“尺规作图”）。（3）要证平行，就找一对内错角相等：角平分线给出 ，垂直平分线给出 ，从而 ，两个等量关系一接，。角平分线、平行线、等腰三角形常常一起出现，知道其中两个就能推出第三个。
第 19 题#
考点：第八部分“锐角三角函数”、第十一部分“辅助线从哪里来”
（9 分）开封清明上河园是依照北宋著名画家张择端的《清明上河图》建造的，拂云阁是园内最高的建筑。某数学小组测量拂云阁 的高度，如图，在 处用测角仪测得拂云阁顶端 的仰角为 ，沿 方向前进 15 m 到达 处，又测得拂云阁顶端 的仰角为 。已知测角仪的高度为 1.5 m，测量点 ， 与拂云阁 的底部 在同一水平线上，求拂云阁 的高度（结果精确到 1 m。参考数据：，，）。
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答案： 延长 交 于点 ，则 ， m。设 m。
在 中，，所以 。
在 中，，所以 。
因为 ，所以 ，即
解得 。所以 。
答：拂云阁 的高度约为 32 m。
思路： 两个仰角各在一个直角三角形里，要把它们放到同一条水平线上：延长 交 于 ，得到两个共用直角边 的直角三角形。设公共边 ，用 分别表示 和 ，它们的差就是已知的 15 m，列方程求 。最后别忘了加上测角仪的高度 1.5 m。
第 20 题#
考点：第四部分“分式方程”、第七部分“一次函数”、第四部分“不等式与不等式组”
（9 分）近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022 年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来。某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动。据了解，市场上每捆 A 种菜苗的价格是菜苗基地的 倍，用 300 元在市场上购买的 A 种菜苗比在菜苗基地购买的少 3 捆。
（1）求菜苗基地每捆 A 种菜苗的价格。
（2）菜苗基地每捆 B 种菜苗的价格是 30 元。学校决定在菜苗基地购买 A，B 两种菜苗共 100 捆，且 A 种菜苗的捆数不超过 B 种菜苗的捆数。菜苗基地为支持该校活动，对 A，B 两种菜苗均提供九折优惠。求本次购买最少花费多少钱。
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答案：
（1）设菜苗基地每捆 A 种菜苗的价格为 元，根据题意，得
解得 。经检验， 是原方程的解。
答：菜苗基地每捆 A 种菜苗的价格为 20 元。
（2）设购买 A 种菜苗 捆，则购买 B 种菜苗 捆。根据题意，得 ，解得 。
设本次购买花费 元，则
因为 ， 随 的增大而减小，所以当 时， 有最小值 。
答：本次购买最少花费 2250 元。
思路： （1）等量关系是“捆数差 3”，捆数 = 总价 ÷ 单价，单价是未知数，所以列出的是分式方程，解完要检验。（2）花费随 A 种菜苗的捆数一次变化，写成一次函数 ；A 种便宜，买得越多越省，但受“不超过 B 种”限制， 最大取 50。求最值的问题，先写出函数，再由不等式定出自变量的范围，在范围的端点取最值。
第 21 题#
（9 分）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头 距地面 0.7 m，水柱在距喷水头 水平距离 5 m 处达到最高，最高点距地面 3.2 m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为 ，其中 （m）是水柱距喷水头的水平距离，（m）是水柱距地面的高度。
（1）求抛物线的表达式。
（2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头 水平距离 3 m。身高 1.6 m 的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离。
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答案：
（1）由题意知，点 是抛物线 的顶点，所以 。又因为抛物线经过点 ，所以 ，解得 。所以抛物线的表达式为 （或 ）。
（2）当 时，，解得 ，。，。
答：小红与爸爸的水平距离为 2 m 或 6 m。
思路： （1）已知最高点，就用顶点式，只剩 一个未知数，再代入喷水头 求 。（2）“头顶恰好接触水柱”就是水柱高度等于 1.6 m，已知函数值求自变量，得到对称轴两侧的两个 ，所以小红有两个位置，分别和爸爸的位置 相减。
第 22 题#
考点：第九部分“与圆有关的位置关系”、第八部分“锐角三角函数”、第一部分“怎样证明”、第十一部分“辅助线从哪里来”
（10 分）为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目。滚铁环器材由铁环和推杆组成。小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环 与水平地面相切于点 ，推杆 与铅垂线 的夹角为 ，点 ，，，， 在同一平面内。当推杆 与铁环 相切于点 时，手上的力量通过切点 传递到铁环上，会有较好的启动效果。
（1）求证：。
（2）实践中发现，切点 只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动。图中点 是该区域内最低位置，此时点 距地面的距离 最小，测得 。已知铁环 的半径为 25 cm，推杆 的长为 75 cm，求此时 的长。
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答案：
（1）过点 作 ，分别交 于点 ，交 于点 。
因为 与 相切于点 ，所以 。因为 ，所以 。因为 ，所以 。所以 ，。
因为 为 的切线，所以 ，。所以 ，所以 。
（2）在 中，，，所以 。
由（1）知 ，所以 。在 中，，所以 ，。因为 ，所以 。
因为 ，所以四边形 为矩形，。所以 cm。
思路： （1）题目里有两个“切”：地面切圆于 得 ，推杆切圆于 得 。再加上 铅垂，全是直角，过 画一条水平线，就能把 和 分别放进两个直角三角形里，用“同角的余角相等”连起来。（2） 被水平线 分成两段：上段 在 里直接用余弦算；下段 ，而 要在 里算，这里正好用上（1）的结论 。
第 23 题#
考点：第六部分“平移、轴对称与旋转”、第五部分“全等三角形”、第五部分“勾股定理”、第一部分“怎样证明”
（10 分）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动。
（1）操作判断
操作一：对折矩形纸片 ，使 与 重合，得到折痕 ，把纸片展平；
操作二：在 上选一点 ，沿 折叠，使点 落在矩形内部点 处，把纸片展平，连接 ，。
根据以上操作，当点 在 上时，写出图 1 中一个 的角：____。
（2）迁移探究
小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片 按照（1）中的方式操作，并延长 交 于点 ，连接 。
① 如图 2，当点 在 上时，°，°；
② 改变点 在 上的位置（点 不与点 ， 重合），如图 3，判断 与 的数量关系，并说明理由。
（3）拓展应用
在（2）的探究中，已知正方形纸片 的边长为 8 cm，当 cm 时，直接写出 的长。
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答案：
（1） 或 或 或 （任意写出一个即可）。
（2）① 15，15。
② 。理由如下：
因为四边形 是正方形，所以 ，。由轴对称的性质，得 ，。所以 ，。又因为 是公共边，所以 （HL），所以 。
（3） cm 或 cm。
思路： 折叠就是轴对称，折痕两侧的对应边、对应角相等。（1） 是对折线，；折叠后 ，所以 中 ，，再由 和折叠推出 、、。（2）换成正方形后 ，，两个直角三角形斜边公共、一条直角边相等，用 HL 得全等；图 2 中 ，被 平分，所以两个角都是 。（3）由全等得 ，设 ，则 ，，，在 中用勾股定理列方程。 是 的中点， 时 可能在 下方（）或上方（），要分两种情况：