与圆有关的位置关系 ★

对应人教版九年级上册第三十章。

点、直线和圆的位置关系，都由“距离和半径谁大”决定：距离小于半径是在圆内或相交，等于半径是在圆上或相切，大于半径是在圆外或相离。 反过来，知道了位置关系，也就知道了距离和半径的大小关系。

点和圆：比较距离和半径#

圆是到圆心的距离等于 的点组成的图形。所以一个点 和圆的位置关系，只要看 和 谁大：

表里每一行从左往右读、从右往左读都成立：由位置可以得出数量关系，由数量关系也可以判断位置。

这和数轴上的绝对值是同一个想法。数轴上 是点 到原点的距离，满足 的点在 和 之间；平面上满足 的点在圆的内部。一个在直线上，一个在平面上，都是“到一个定点的距离和一个定长比大小”（见第二部分“有理数”）。

过三点作圆#

经过一个点 能作多少个圆？以任意一点为圆心、以它到 的距离为半径，都行，有无数个。

经过两个点 、 呢？圆心到 、 的距离相等，所以圆心在线段 的垂直平分线上。这条直线上任取一点都可以作圆心，仍然有无数个。

经过三个点 、、，而且三点不在同一直线上：圆心既要在 的垂直平分线上，又要在 的垂直平分线上，只能是这两条直线的交点 。两条直线只有一个交点，所以圆心只有一个，半径 也只有一个。

不在同一直线上的三个点确定一个圆。

两条垂直平分线为什么一定相交？如果它们平行，那么分别垂直于它们的 和 也互相平行，而 、 有公共点 ，只能在同一条直线上，和“三点不在同一直线上”矛盾。反过来也说明了：经过同一直线上的三个点不能作圆，因为这时两条垂直平分线平行，找不到圆心。这种先假设、再推出矛盾的证法是反证法（见第一部分“怎样证明”）。

外接圆和外心。 经过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆，外接圆的圆心叫三角形的外心。外心是三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等（见第五部分“轴对称与等腰三角形”）。

外心不一定在三角形里面：

用圆周角定理可以说明原因。 是弧 所对的圆周角：

• 时， 是直径，外心就是斜边 的中点；
• 时，弧 小于半圆，圆心和 在 的同侧；三个角都是锐角，圆心就在三条边的内侧，也就是三角形内部；
• 时，弧 大于半圆，圆心和 在 的两侧，外心在三角形外部。

直线和圆：比较 d 和 r#

直线和圆的公共点可能有 2 个、1 个或 0 个：

公共点有几个，由圆心到直线的距离 决定。过 作直线 的垂线，垂足为 ，。把直线 看成一条数轴，原点取在 ， 上的点 对应的数记作 ，那么 。

在直角三角形 中，由勾股定理，

在圆上，就是 ，也就是

直线和圆有几个公共点，就看这个方程有几个解：

• 时，右边是正数， 有两个值（互为相反数），直线上有两个点在圆上，相交；
• 时，右边是 0，只有 ，唯一的公共点就是垂足 ，相切；
• 时，右边是负数，方程无解，相离。

拓展： 放到坐标系里看得更清楚。以原点为圆心、5 为半径作圆，点 到原点的距离是 ，所以点在圆上就是 。水平直线 上的点在圆上，就是 ：

• ：，，有两个公共点 和 ；
• ：，，只有一个公共点 ；
• ：，无解，没有公共点。

这里 正是圆心到直线的距离 。“求公共点”变成了“解方程”，“公共点有几个”变成了“方程有几个解”。一元二次方程根的个数由判别式决定，抛物线和 轴有几个交点也由判别式决定，想法完全一样（见第四部分“一元二次方程”和第七部分“二次函数”）。

切线的判定和性质#

直线 经过半径 的外端 ，并且 。这时圆心到 的距离就是 ，等于半径，所以 和圆相切：

切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

从图上也能直接看出来： 上除 以外的任何一点 ， 是 的斜边，，所以 在圆外， 和圆只有 一个公共点。

反过来，设 和 相切于点 。过 作 ，垂足为 。由上一节，相切时 ，也就是 ，所以 在圆上，是 和圆的公共点。相切时公共点只有一个，所以 就是切点 ，。也就是说，切点是直线上离圆心最近的点， 正是从 到 的垂线段（垂线段最短，见第五部分“相交线与平行线”）：

切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。

两个定理的条件和结论互换，是一对互逆的真命题（见第一部分“定义、命题与定理”）。要证明一条直线是切线，按已知条件分两种思路：

例 1　如图， 是 的直径，点 在 上，点 在 的延长线上，。

1. 求证： 是 的切线；
2. 若 的半径为 2，求 的长。

思路： 和圆有公共点 ，所以连接 ，证明 ，也就是 。 在 里，已知 ，只差 。 组成等腰三角形， 是它的外角，可以从 求出来。

证明： （1）连接 。

因为 ，所以 ，于是

在 中，，即 。 经过半径 的外端 ，并且垂直于 ，所以 是 的切线。

解： （2）在 中，，，所以 （ 角所对的直角边等于斜边的一半），

想一想： 也可以用圆周角定理得到： 是弧 所对的圆周角， 就是弧 所对的圆心角，所以 。两种算法本质相同，圆周角定理情况 ① 的证明，用的正是这个等腰三角形的外角：圆心在圆周角的一边上时，两条半径组成等腰三角形，圆心角是它的外角，等于两个相等的底角之和，也就是圆周角的 2 倍（见第九部分“圆的有关性质”）。

切线长定理#

从圆外一点 能作几条切线？设切点为 ，由切线的性质，。 是直角， 就在以 为直径的圆上（见第九部分“圆的有关性质”）。以 为直径的圆经过圆内的点 和圆外的点 ，和 交于两点，所以从圆外一点可以作圆的两条切线。

经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长。切线是直线，不能量长度；切线长是一条线段的长。

连接 、、。由切线的性质，，；又 ， 是公共边，所以 （HL），得 ，。

切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

从对称的角度看更直接：整个图形关于直线 对称， 和 是一对对称点。

三角形的内切圆#

和三角形三条边都相切的圆叫三角形的内切圆，内切圆的圆心叫三角形的内心。

内心在哪里？内切圆和三边都相切，圆心到三边的距离都等于半径。到 、 两边距离相等的点在 的平分线上，到 、 两边距离相等的点在 的平分线上（见第五部分“全等三角形”）。所以内心是三角形角平分线的交点，内切圆的半径就是内心到任意一边的距离。

外心和内心放在一起比较：

例 2　在 中，，，。求它的内切圆半径 。

思路： 内切圆半径是内心到三边的距离，可以从两个角度去找它：一是面积，连接内心和三个顶点，把三角形分成三块，每块的高都是 ；二是切线长，从每个顶点引出的两条切线长相等，三条边被切点分成的六段两两相等。

先由勾股定理，。设内切圆的圆心为 ，与 、、 分别相切于 、、。

解法一：用面积。 连接 、、，把 分成 、、，它们的高都是 ：

又 ，所以 ，。

解法二：用切线长。 连接 、，则 ，，又 ，所以四边形 是矩形；再加上 ，它是正方形，。由切线长定理，从同一个顶点引的两条切线长相等：

而 ，所以 ，得 。

想一想： 两种解法都可以推广：

对直角三角形（直角边为 、，斜边为 ），解法一得到

解法二得到

两个结果总是相等：交叉相乘，，最后一步用了勾股定理 。

易错点#

• 判定切线只用了一个条件。 “经过半径的外端”和“垂直于这条半径”缺一不可：经过半径外端的直线不一定垂直于半径，垂直于半径的直线也不一定经过外端。
• 已知切线，却不连半径。 要用“切线垂直于经过切点的半径”，先要把圆心和切点连起来，垂直关系才会出现在图上。
• 把切线长当成切线。 切线是直线，切线长是圆外一点到切点的线段的长。
• 用“只有一个公共点”判断线段、射线和圆相切。 相切的定义是对直线说的。一条线段和圆只有一个公共点，它所在的直线仍可能和圆相交，只是另一个交点落在线段外面。
• 外心、内心混淆。 外心到三个顶点距离相等，是垂直平分线的交点；内心到三条边距离相等，是角平分线的交点。外心可能在三角形外部，内心一定在内部。
• 过三点作圆忘了“不在同一直线上”。 同一直线上的三个点不能确定一个圆。
• 点和圆的位置不分情况。 只说“点 到圆心的距离不大于半径”，点可能在圆内，也可能在圆上。

联系#

• 有理数： 点和圆的位置关系，是数轴上“绝对值和定长比大小”在平面上的推广。见第二部分“有理数”。
• 一元二次方程： 直线和圆的公共点个数，就是方程 的解的个数；和判别式决定根的个数是同一个想法。见第四部分“一元二次方程”。
• 二次函数： 抛物线和 轴有几个交点、直线和圆有几个公共点，都是“图形的交点个数就是方程的解的个数”。见第七部分“二次函数”。
• 相交线与平行线： 切线的性质来自“垂线段最短”。见第五部分“相交线与平行线”。
• 轴对称与等腰三角形： 外心是三边垂直平分线的交点；切线长定理的图形关于 对称。见第五部分“轴对称与等腰三角形”。
• 全等三角形： 内心在角平分线上，依据是角平分线的性质；切线长定理用 HL 证明。见第五部分“全等三角形”。
• 圆的有关性质： 外心的位置和过圆外一点作切线，都要用圆周角定理。见第九部分“圆的有关性质”。
• 尺规作图： 作三角形的外接圆就是作两边的垂直平分线，作内切圆就是作两个角的平分线。见第五部分“尺规作图”。
• 与圆有关的计算： 正多边形的外接圆和内切圆是同心圆，半径分别是正多边形的半径和边心距。见第九部分“与圆有关的计算”。
• 分类讨论： 点和圆、直线和圆的位置各有三种情况，题目没说清是哪一种时要分别讨论。见第十一部分“分类讨论”。

真题： 2026 年第 10 题、2025 年第 14 题、2024 年第 15 题、2023 年第 14 题、2022 年第 22 题。