方程思想与建模
对应人教版七年级上册第五章、七年级下册第十章和第十一章、八年级上册第十八章 18.5 节、八年级下册第二十三章、九年级上册第二十五章和第二十六章中的实际问题。
方程思想，就是把不知道的量先设出来，让它和已知的量一样参与运算，再找出同一个量的两种表示，让它们相等。 把这种想法推广到不等关系和变化关系，就是建立数学模型：把实际问题翻译成方程、不等式或函数，算完再翻译回去。
从哪里来#
小学解应用题用算术方法：要求的量不能参与运算，只能从已知的量出发，一步一步凑出它，每一步都要想好先算什么。方程换了一个方向：把要求的量设成 ，当作已经知道，顺着题目的意思往下写，写到同一个量出现两种表示时，就得到了方程（见第四部分“一元一次方程”）。
这个想法不只用在应用题里。几何里求一条线段的长，找不到直接算的办法时，也可以把它设成 ，再用勾股定理、相似、面积找出一个等量关系。
实际问题里的数量关系有三种，对应三种模型：
| 题目里的说法 | 数量关系 | 模型 | 得到什么 |
|---|---|---|---|
| 相等、恰好、共、是……的几倍 | 等量关系 | 方程（组） | 确定的值 |
| 至少、不超过、不低于、多于 | 不等关系 | 不等式（组） | 一个范围 |
| 随着……变化、怎样最省、何时最大 | 两个变量的对应关系 | 函数 | 变化规律、最大值和最小值、方案比较 |
几何里的方程思想#
例 1 如图，矩形 中，，。沿 折叠，使点 落在 边上的点 处，折痕 的端点 在 上。求 的长。
思路： 折叠就是轴对称，折叠前后的图形全等：，所以 ，。要求的 没有直接的算法，把它设成 ，那么 、 都能用 表示，它们都在直角三角形 里，勾股定理正好给出一个方程。还缺 ：先在直角三角形 里算出 。
解： 由折叠，，。
在 中，，所以 。
设 ，则 ，。在 中，由勾股定理，
展开得 ，即 ，。所以 。
回顾： 勾股定理是直角三角形三条边之间的一个等式。三条边里只要能都用同一个未知数表示，它就是一个方程。几何里常用来列方程的等量关系还有：相似三角形的对应边成比例、同一个图形的面积用两种方法算、角的和（如三角形内角和）。
方程组、不等式、函数：一步接一步#
例 2 学校计划购买甲、乙两种树苗。买 3 棵甲种和 2 棵乙种共需 170 元，买 2 棵甲种和 3 棵乙种共需 180 元。
（1）两种树苗的单价各是多少元？
（2）学校要购买两种树苗共 50 棵，总费用不超过 1800 元，并且甲种树苗的数量不超过乙种的 2 倍。有几种购买方案？哪种方案的费用最低？
思路： 三种关系依次出现：第（1）问有两个未知的单价、两个“共需”的等量关系，列方程组；第（2）问“不超过”是不等关系，列不等式组求出甲种树苗数量的范围；“费用最低”是在这个范围里比较，总费用随甲种树苗的数量变化，写成函数。
解：（1）设甲种树苗每棵 元，乙种每棵 元。
两式相加得 ，即 ；第二式减第一式得 。解得 ，。
答：甲种树苗每棵 30 元，乙种每棵 40 元。
（2）设购买甲种树苗 棵，则乙种 棵。
由第一个不等式，，得 ；由第二个不等式，，得 。 是整数，所以 ，共有 14 种方案。
总费用 。 是 的一次函数，， 随 的增大而减小，所以 时 最小，。
答：共有 14 种购买方案；购买甲种 33 棵、乙种 17 棵时费用最低，为 1670 元。
回顾： 一道题里用了三种模型，各管一件事：方程组求出确定的单价，不等式组划出可行的范围，函数在范围里挑出最好的方案。函数的图象是一条下降的直线，可行的方案只是其中一段上的 14 个整数点，最低点在这一段的右端。
函数模型：先建坐标系#
实际问题里的曲线（拱桥、抛物线的轨迹）要写出解析式，得先放进坐标系。坐标系可以自己选，选得好，解析式就简单。
例 3 一座拱桥的桥洞是抛物线形。水面宽 4 m 时，拱顶离水面 2 m。水面下降 1 m 后，水面宽多少米？（精确到 0.1 m。参考数据：）
思路： 以拱顶为原点、对称轴为 轴建立坐标系，抛物线的顶点在原点，解析式可以设成最简单的 ，只有一个待定系数。水面在拱顶下方，所以水面上的点纵坐标是负数。
解： 建立如图所示的坐标系，设抛物线为 。水面宽 4 m、拱顶离水面 2 m，所以点 在抛物线上：，，抛物线为 。
水面下降 1 m 后，水面上的点纵坐标是 −3。令 ，得 ，。所以水面宽 （m）。
答：水面宽 m，约 4.9 m。
想一想： 如果以水面 的左端 为原点、水面为 轴，顶点是 ，解析式是 ，水面下降后令 ，得 ，两个交点的距离仍是 。坐标系是我们加上去的，换一种放法，解析式变了，答案不变；选顶点为原点，只是让计算最省事。
建模的步骤#
- 审题： 找出已知量、未知量，圈出表示关系的词（“共”“恰好”“不超过”“最多”）。
- 选模型： 等量关系列方程，不等关系列不等式，问变化和最值写函数；有图形的，先想图形里有什么等量关系，需要时建坐标系。
- 设未知数： 可以直接设要求的量，也可以设中间的量；设得不同，列出的方程类型也可能不同（见第四部分“分式方程”）。
- 列式： 同一个量的两种表示相等，或者满足不等关系，或者写出函数关系式和自变量的范围。
- 求解。
- 检验并作答： 一查是不是方程（不等式）的解；二查是否符合实际，比如数量是正整数、长度是正数、在题目给的范围里。
易错点#
- 单位不统一。 分钟和小时、厘米和米混在一起列式。列式前先把单位统一。
- 关系词翻译错。 “不超过”是 ，“少于”是 ，“至少”是 。
- 取整数时方向错。 的整数解是 ； 的整数解是 。在数轴上看一下往哪边取。
- 函数最值只看顶点或只看单调性。 最值要在自变量的范围里找：一次函数看范围的端点，二次函数先看顶点在不在范围里。
- 建坐标系后点的坐标符号写错。 例 3 以拱顶为原点，水面在拱顶下方，纵坐标是负数，水面宽 4 m 的右端点是 ；写成 会得到开口向上的抛物线。
- 不检验实际意义。 算出的棵数不是整数、长度是负数、时间超出范围，都要舍去或调整。
联系#
- 方程和不等式： 各类方程、不等式的列法和解法。见第四部分“一元一次方程”、第四部分“二元一次方程组”、第四部分“不等式与不等式组”、第四部分“分式方程”和第四部分“一元二次方程”。
- 函数： 方案比较用一次函数，最大值、最小值常用二次函数。见第七部分“一次函数”和第七部分“二次函数”。
- 勾股定理、相似： 几何里列方程最常用的等量关系。见第五部分“勾股定理”和第八部分“相似”。
- 翻折： 折叠是轴对称，折叠前后图形全等。见第六部分“平移、轴对称与旋转”。
- 以数解形： 给实际物体建立坐标系，就是用数来描述形。见第十一部分“以数解形”。
- 动点与函数： 动点问题也是建模：从图形里找出变量之间的关系。见第十一部分“动点与函数”。
真题： 2026 年第 18 题、2023 年第 21 题。