第九部分：圆

总览：圆的对称性

圆上每一点到圆心的距离都等于半径，这一个事实让圆拥有最完整的对称：沿任何一条直径翻折都和自身重合，绕圆心旋转任意角度也和自身重合；圆的性质都从这两种对称推出来，位置关系都归结为比较距离和半径，计算都归结为按圆心角的比例取整圆的一部分。

圆的两种对称：沿任一直径所在直线翻折，绕圆心旋转任意角度

两种对称推出的性质#

对称	为什么成立	推出的性质	页面
旋转对称：绕圆心旋转任意角度，和自身重合	旋转不改变点到圆心的距离	同圆或等圆中，圆心角、弧、弦有一组相等，另两组也相等；弧的度数等于圆心角的度数	第九部分“圆的有关性质”
旋转对称，加上半径相等	两条半径和一条弦组成等腰三角形	圆周角等于同弧所对圆心角的一半；直径所对的圆周角是直角；圆内接四边形对角互补	第九部分“圆的有关性质”
轴对称：任何一条直径所在直线都是对称轴	圆心在对称轴上，到一对对称点的距离相等	垂径定理：垂直于弦的直径平分弦和弦所对的两条弧	第九部分“圆的有关性质”
轴对称	两条切线关于圆心和圆外一点的连线对称	切线长定理：两条切线长相等	第九部分“与圆有关的位置关系”
旋转对称	把圆等分，转过一个中心角就重合	正边形，中心角是	第九部分“与圆有关的计算”

证明这些性质时，最常用的一步都是“连接半径”：有了两条相等的半径，就有了等腰三角形，前面学过的“三线合一”、全等、勾股定理就都能用上了。

对象	比较的距离
点和圆	点到圆心的距离	点在圆内	点在圆上	点在圆外
直线和圆	圆心到直线的距离	相交，2 个公共点	相切，1 个公共点	相离，没有公共点

位置关系和数量关系可以互相推出：知道位置，就知道和谁大；知道和谁大，也就知道位置。三角形和圆的关系也是这样说的：外接圆的圆心到三个顶点的距离都等于半径，内切圆的圆心到三条边的距离都等于半径。

整圆的周长和面积是用圆内接正多边形逼近得到的。有了它们，弧长、扇形面积都是按圆心角占的比例取一部分，圆锥的侧面积是展开后扇形的面积。

圆的定义推出三条线：对称推出性质，比较距离得到位置关系，按比例得到计算

页面	讲什么	核心的想法
圆的有关性质	弦、弧、圆心角；垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形	旋转对称和轴对称，再加上半径相等
与圆有关的位置关系	点与圆、直线与圆；过三点作圆；切线的判定和性质；切线长定理；外接圆和内切圆	比较距离和半径
与圆有关的计算	正多边形与圆；圆周率；弧长；扇形面积；圆锥的侧面积和全面积	按圆心角占的比例取一部分

建议按顺序学：

先学第九部分“圆的有关性质”。学之前复习等腰三角形的“三线合一”（见第五部分“轴对称与等腰三角形”）和勾股定理（见第五部分“勾股定理”），圆里的证明和计算几乎都要用到它们。
再学第九部分“与圆有关的位置关系”。它用到上一页的垂径定理和“直径所对的圆周角是直角”；外心和内心又连着线段的垂直平分线（见第五部分“轴对称与等腰三角形”）和角的平分线（见第五部分“全等三角形”）。
最后学第九部分“与圆有关的计算”。正多边形的计算要用锐角三角函数（见第八部分“锐角三角函数”），圆锥的展开图要用到立体图形的展开（见第五部分“几何图形初步”）。

圆里常用的辅助线怎样想到，见第十一部分“辅助线从哪里来”；位置不确定、需要分情况讨论的问题，见第十一部分“分类讨论”。