有理数的运算 ★

对应人教版七年级上册第二章。

有理数的运算法则都是推出来的：加法是数轴上的移动，减法和除法分别是加法和乘法倒过来，负数乘负数得正数，是为了让交换律、结合律、分配律继续成立。

从哪里来#

有了负数，就要回答： 等于多少？ 呢？这些算式小学没有见过，结果不能随便规定，要满足两个要求：

1. 和实际意义相符。 比如先收入 2 元、再支出 5 元，结果应该是少了 3 元。
2. 原来的运算律照样成立。 小学的加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律，到了有理数里仍然要对。

下面每一条法则，都是从这两个要求推出来的。

加法：在数轴上移动#

把加法看成移动：从 出发，加上一个正数就向右移，加上一个负数就向左移，移动的距离是加数的绝对值。 最后停在哪里，和就是几。

从“移动”可以读出加法法则：

先走哪一步、后走哪一步，最后停的位置不变，所以加法交换律 和结合律 仍然成立。计算时可以先把互为相反数的、同号的、能凑整的放在一起加。

减法：加法倒过来#

减法是加法的逆运算： 就是“加上 以后等于 ”的那个数。

那么哪个数加上 等于 ？试一试 ：

它正好满足要求，所以

减去一个数，等于加上这个数的相反数。 这样减法就变成了加法，一串加减混合的算式可以全部看成加法，叫作代数和。比如 就是 、、、 这四个数的和。

减法在数轴上也有意思： 表示从点 走到点 ，要走多远、朝哪个方向。 比如某天最高气温 3 ℃、最低气温 ℃，温差是 （℃）。

差是正数，说明从 到 是向右走；差是负数，说明是向左走。不管方向，只看路程，就是数轴上两点 、 之间的距离 。

乘法：让运算律继续成立#

正数乘负数。 是 3 个 相加：。比如水位每天下降 2 cm，3 天后比原来低 6 cm。

负数乘正数。 要让乘法交换律成立， 必须等于 ，也是 。

负数乘负数。 没法再说成“几个几相加”，这时让分配律来决定。一方面 ，另一方面用分配律展开：

所以 ，也就是说 是 的相反数：

如果规定它等于 ，分配律就不成立了。负数乘负数得正数，不是随便规定的，而是保住分配律的唯一选择。

也可以看一串算式的规律：

第二个因数每减少 1，积就增加 2。顺着这个规律走下去，问号处应该是 和 ，和分配律推出来的结果一致。

归纳起来就是乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与 0 相乘都得 0。

乘以 ，就是取相反数。 ，。在数轴上，乘以 就是把点翻到原点的另一侧：

乘一个负数，可以看成先乘它的绝对值、再乘以 翻一次面。所以几个不是 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定： 负因数有奇数个，翻了奇数次，积为负；有偶数个，翻回来了，积为正。只要有一个因数是 0，积就是 0。

乘法交换律、结合律、分配律对有理数都成立：

除法：乘法倒过来#

乘积是 1 的两个数互为倒数。 的倒数是 ， 的倒数是 。0 乘任何数都得 0，得不到 1，所以 0 没有倒数。

除法是乘法的逆运算： 就是“乘以 以后等于 ”的那个数。 试一试 ：

它正好满足要求，所以除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数：

这样除法就变成了乘法，符号法则也和乘法一样：同号得正，异号得负。比如 ，。

为什么除数不能是 0？ 按定义， 是“乘以 0 等于 ”的数。 时，任何数乘以 0 都是 0，找不到这样的数； 时，任何数乘以 0 都等于 0，答案不唯一。两种情况都没法给出确定的结果，所以除数不能为 0。

乘方：相同因数的乘积#

个相同的因数 相乘，记作 ，读作“ 的 次方”。这种运算叫乘方，结果叫幂， 叫底数， 叫指数。

乘方就是乘法，所以符号也由负因数的个数决定：

• 正数的任何次幂都是正数；
• 负数的偶数次幂是正数，负数的奇数次幂是负数，比如 ，；
• 0 的任何正整数次幂都是 0。

指数只管紧挨着它的那个数。 的底数是 ，表示 4 个 相乘，等于 ； 的底数是 ，表示 的相反数，等于 。同样，，而 。

混合运算：先算“打包”的运算#

运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算从左到右；有括号先算括号里面的。

这个顺序有它的道理。 是 的简写， 是 的简写：级别越高的运算，越是把低一级的运算“打了包”。算 时， 是一个整体，要先拆开这个包，再和 2 相加，所以先乘后加。括号的作用就是人为地打一个包，告诉你“这一部分先算”。

同级运算要从左到右，是因为减法和除法不满足交换律。比如 ，从左到右算是 ；先算 就得到 ，错了。把除法先化成乘法，，就可以任意交换顺序，不会出错。

例 1　计算：

思路： 先认清式子里的“包”：两个乘方，一个乘法，一个除法，最外层是加减。 的底数是 2，不是 。除以 就是乘以 。

解：

例 2　计算：

思路： 按顺序应该先算括号，要通分；也可以注意到 12 是 4、6、3 的公倍数，用分配律把 乘进去，每一项都能约掉分母。

解法一：先算括号。

解法二：用分配律。

想一想： 两种解法结果相同，因为分配律保证了“先加后乘”和“先乘后加”一样。

运算顺序是“默认怎么算”，运算律告诉你“还可以怎么算而结果不变”。先看清式子的结构，再决定走哪条路。

例 3　10 箱苹果，每箱标准重量是 20 kg。超过标准的千克数记作正数，不足的记作负数，称得的结果是：

这 10 箱苹果一共重多少千克？

思路： 把 10 个数直接相加很繁。换个角度：总重量 = 标准总重 + 所有偏差的和。偏差里有好几对相反数，用加法交换律、结合律先把它们凑在一起，和为 0。

解： 偏差的和是

所以总重量是 （kg）。

选一个基准、只算偏差，是处理一批相近数据的常用办法，求平均数时也可以这样做。

科学记数法#

地球到太阳的平均距离大约是 km，这样的数写起来长，读起来还要一位一位数。

就是 1 后面跟 个 0，比如 。所以

把一个数写成 的形式，其中 ， 是正整数，叫科学记数法。 对于绝对值大于等于 10 的数， 等于原数的整数位数减 1： 有 9 位整数，。负数也一样，。

这样写的好处是一眼看出数的大小：比较 和 ，先看指数， 比 大一个数量级，前者更大。

近似数#

参加活动的人数、书的页数，都是准确数；量出来的长度、称出来的重量，往往是近似数。近似数与准确数的接近程度，用精确度表示：四舍五入到哪一位，就说精确到哪一位。

一个近似数代表的不是一个点，而是一段范围。近似数 2.4（精确到十分位，也说精确到 0.1）代表的是四舍五入后等于 2.4 的所有数：

所以 和 不一样： 精确到百分位，代表大于或等于 且小于 的数，范围小得多。近似数末尾的 0 不能随便去掉。

例 4　把 精确到万位，并用科学记数法表示。

思路： 万位上的数字是 7，看它右边一位（千位）上的 6，大于等于 5，要进 1。结果是 308 万。如果写成 ，末尾的 0 会让人以为它精确到个位，所以要用科学记数法写。

解： 。

反过来，已知近似数 ，要判断它精确到哪一位，就看最后一位数字 8 在原数中的位置：，8 在万位上，所以精确到万位。

易错点#

• 把 算成 4。 指数只管紧挨着的 2，；要表示 的平方，必须写成 。
• 同级运算不从左到右。 ，不是 。把除法化成乘倒数，就不会出错。
• 以为除法也有分配律。 是对的，因为它就是 ；但 不能拆开。比如 ，而 。
• 交换位置时丢了符号。 把 看成 ，符号跟着数一起走，才能交换成 。
• 多个因数相乘时符号判断错。 先数负因数的个数定符号，再算绝对值；有一个因数是 0，积就是 0。
• 0 没有倒数，0 不能作除数。 求倒数、做除法之前，先确认它不是 0。
• 科学记数法里 的范围不对。 不是科学记数法，要写成 。
• 近似数去掉了末尾的 0。 和 的精确度不同。

联系#

• 有理数： 加法法则里的“绝对值”、减法里的“相反数”、乘以 时的“关于原点对称”，都是前一页在数轴上定义的。见第二部分“有理数”。
• 实数： 这一页的法则和运算律，到了实数里全部照样成立。见第二部分“实数”。
• 整式的加减： 去括号就是乘以 再用分配律，合并同类项也是分配律。见第三部分“整式的加减”。
• 整式的乘法： 同底数幂相乘、幂的乘方，都从“乘方是相同因数的乘积”推出来。见第三部分“整式的乘法”。
• 分式： 分式的运算和分数的运算规则一样；绝对值小于 1 的数的科学记数法要用到负整数指数幂。见第三部分“分式”。
• 平移和中心对称： 加一个数是把点沿数轴平移，乘以 是关于原点对称。见第六部分“平移、轴对称与旋转”。
• 数据的分析： 例 3 称 10 箱苹果，以每箱 20 kg 为基准，只把偏差加起来（和是 0.2 kg），总重量就是 （kg）。这种选基准、算偏差的办法，求平均数时同样好用。见第十部分“数据的分析”。

真题： 2026 年第 1 题、2026 年第 8 题、2025 年第 3 题、2024 年第 2 题、2023 年第 3 题。