有理数
对应人教版七年级上册第一章。
正数和负数表示意义相反的量，整数和分数合起来叫有理数；每个有理数都是数轴上的一个点，相反数、绝对值、大小都可以在数轴上看出来。
从哪里来：意义相反的量#
小学里的数只能回答“有多少”。可生活里很多量除了多少，还有方向：
| 情境 | 一个方向 | 相反的方向 | 基准 |
|---|---|---|---|
| 气温 | 零上 5 ℃，记作 | 零下 3 ℃，记作 | 0 ℃ |
| 海拔 | 高于海平面 200 m，记作 | 低于海平面 50 m，记作 | 海平面 |
| 收支 | 收入 100 元，记作 | 支出 30 元，记作 | 不收不支 |
| 水位 | 比警戒线高 0.4 m，记作 | 比警戒线低 1.2 m，记作 | 警戒线 |
这几个例子的做法完全一样：先定一个基准，记作 0；再规定一个方向为正，相反的方向就是负。 哪个方向算正，是人规定的，只要前后一致就行。比如把“支出”规定为正也可以，那收入就要记成负数。
- 大于 0 的数叫正数，如 、、。正数前面的“+”号可以省略。
- 在正数前面加上“−”号的数叫负数，如 、、。
- 0 既不是正数，也不是负数。 它是正、负的分界，是基准本身。
有理数的分类#
正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数。
有限小数和无限循环小数都能化成分数，比如 ，，，所以它们也是分数，是有理数。整数也能写成分数，比如 。所以有理数有一个统一的样子：都能写成两个整数的商 （）。
同一批数可以按不同的标准分类：
| 分类标准 | 第一层 | 第二层 |
|---|---|---|
| 按整数、分数分 | 整数 | 正整数、0、负整数 |
| 分数 | 正分数、负分数 | |
| 按正负分 | 正有理数 | 正整数、正分数 |
| 0 | — | |
| 负有理数 | 负整数、负分数 |
分类时要做到不重不漏：每个有理数恰好落在一类里。0 在按正负分时单独成一类，在按整数、分数分时属于整数。正数和 0 合起来叫非负数，这个说法后面会经常用到。
例 1 把下列各数填入相应的类别：，，，，，，。
思路： 先看它能不能写成两个整数的商，再看正负和是不是整数。
解：
| 类别 | 数 |
|---|---|
| 正数 | ，， |
| 负数 | ，， |
| 整数 | ，， |
| 分数 | ，， |
| 有理数 | ，，，，， |
是正数，但它是无限不循环小数，写不成两个整数的商，不是有理数（见第二部分“实数”）。 是整数，但既不在正数里，也不在负数里。
数轴：把数画成点#
温度计是一根竖着的刻度尺，0 ℃ 以上是正、以下是负。把它横过来，就是数轴。
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴。 这三样缺一不可：
- 原点说明 0 在哪里，是基准；
- 正方向说明哪边是正，通常向右；
- 单位长度说明 1 有多长，每一段都必须一样长。
有了这三样，每个有理数都能找到唯一的点：正数 在原点右边、离原点 个单位长度；负数 在原点左边、离原点 个单位长度。下图中，点 表示 ，点 表示 ：
从此，一个数就是一个点。数的性质可以在数轴上看，数轴上的位置关系也可以用数来算。
相反数：关于原点对称#
只有符号不同的两个数互为相反数，如 和 。0 的相反数是 0。
在数轴上， 和 分别在原点两侧，到原点的距离都是 3。沿着过原点的竖线把数轴对折，这两个点正好重合：互为相反数的两个点关于原点对称。
的相反数记作 。所以 是 的相反数，等于 ：对折两次，又回到原来的位置。
注意， 读作“ 的相反数”，不一定是负数： 时，。
绝对值：到原点的距离#
数轴上表示数 的点与原点的距离，叫作 的绝对值，记作 。
从图上看，，，。绝对值去掉了方向，只留下“有多远”。
从“距离”这个定义出发，可以推出绝对值的算法：
- 时，点在原点右边，离原点 个单位，所以 ；
- 时，点就是原点，所以 ；
- 时，点在原点左边，它到原点的距离等于它的相反数，比如 ，所以 。
还有两条性质，也是直接从“距离”来的：
- 距离不会是负数，所以 。
- 互为相反数的两个点到原点一样远，所以 。
例 2 （1）若 ，求 ；（2）若 ，求 。
思路： 把 翻译成数轴上的话：点 到原点的距离是 3。
解：（1）到原点距离为 3 的点，原点右边有一个，左边有一个，所以 或 。
（2）距离不可能是负数，没有满足条件的 。
例 3 已知 ，求 的值。
思路： 这里只有一个等式，却有两个未知的数，关键在于绝对值不会是负数。两个不小于 0 的数相加得 0，只能两个都是 0：只要有一个大于 0，和就大于 0 了。
解： 因为 ，，而它们的和是 0，所以
于是 ，，得 ，，所以 。
大小比较：越往右越大#
正数之间比大小，小学就会：3 比 2 大，在数轴上 3 也在 2 的右边。把这个规律推广到所有有理数：在数轴上，右边的点表示的数总比左边的大。 这也符合生活经验： ℃ 比 ℃ 更冷。
从这一条出发，其他的比较规则都能在图上读出来：
- 正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数。 正数都在原点右边，负数都在原点左边。
- 两个负数，绝对值大的反而小。 两个负数都在原点左边，离原点越远（绝对值越大），就越靠左，也就越小。上图中 ，而 。
例 4 比较 和 的大小。
思路： 两个都是负数，谁离原点远谁就小，所以先比较它们的绝对值。
解： ，。
因为 ， 离原点更远、更靠左，所以 。
易错点#
- 把带“−”号的都当成负数。 是 的相反数， 本身是负数时， 是正数。同样，不带符号的字母 也不一定是正数。
- 弄错 0 的归属。 0 是整数、是有理数、是非负数，但既不是正数，也不是负数。
- 数轴画得不完整。 缺原点、缺箭头（正方向）、刻度不等距，都不是数轴。
- 以为 总成立。 只有 时才成立； 时 。所以 有两个解，漏掉 就是忘了原点左边还有一个点。
- 两个负数比大小时，按绝对值大的算大。 这是把“离原点远”当成了“在右边”。回到定义：数的大小看左右，不看远近。
- 以为无限小数都不是有理数。 是无限循环小数，等于 ，是有理数； 是无限不循环小数，才不是有理数。
联系#
- 有理数的运算： 加减法就是在数轴上移动，加法法则里要用绝对值。见第二部分“有理数的运算”。
- 实数： 数轴上还有很多点不表示有理数，比如边长为 1 的正方形的对角线长。见第二部分“实数”。
- 平面直角坐标系： 两条互相垂直的数轴组成坐标系，点的位置用两个数表示。见第六部分“平面直角坐标系”。
- 中心对称： 相反数关于原点对称；到了坐标系里，关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标都互为相反数。见第六部分“平移、轴对称与旋转”。
- 不等式： 不等式的解集是数轴上的一段，用“越往右越大”来画。见第四部分“不等式与不等式组”。
- 二次根式： ，化简时要用绝对值的算法。见第三部分“二次根式”。
- 分类讨论： 要分原点左右两种情况，这是分类讨论最早出现的地方。见第十一部分“分类讨论”。