投影与视图

对应人教版九年级下册“投影与视图”一章。

用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫物体的投影；把光线换成视线、从三个规定的方向去看，就得到物体的三视图。 投影和视图都是把立体图形变成平面图形的办法。

从哪里来#

阳光下的树影、灯光下的人影、皮影戏里幕布上的影子，都是投影。照射的光线叫投影线，影子所在的平面叫投影面。

影子的形状和大小由两件事决定：光线是怎样射来的，物体和投影面是怎样摆放的。光线有两种典型情况：

平行投影和中心投影#

平行投影： 太阳离地球非常远，射到地面上的光线可以看成平行的。同一时刻，竖直的物体和它的影子、光线组成的直角三角形，一个锐角都等于光线和地面的夹角，所以都相似，物高与影长的比都相等。第八部分“相似”中测树高的例题就是这样做的：同一时刻，身高 1.6 m 的小明影长 1.2 m，树的影长 6 m，树高与影长的比也等于 ，所以树高是 （m）。一天中太阳的位置在变，影子的方向和长短也在变：上午影子偏向西，中午最短，下午偏向东。

中心投影： 灯光从一点射出。把两个物体的顶端和各自影子的端点分别连成直线，两条直线的交点就是光源。

例 1　如图，路灯 竖直立在地面上，身高 1.5 m 的小明站在 处， m，他的影长 m。

（1）求路灯的高 ；

（2）小明沿 方向再走 3 m 到 处，这时他的影长 是多少？

思路： 光线 经过小明的头顶 。人和路灯都垂直于地面，，于是 和 是 A 字型的相似三角形。第（2）问换了位置，但还是同一个图形，只是未知数变成了影长。

解：（1）因为 ，所以 ，

所以 m。

（2）此时 （m）。设 m，同理 ，

两边乘 ，得 ，解得 。经检验， 是方程的解。答：影长是 3.5 m。

想一想： 上面算了两个位置：离灯 4 m 时影长 2 m，离灯 7 m 时影长 3.5 m，每换一个位置都要重新列比例、解方程。能不能一次说清“走到哪里，影子多长”？把位置也用字母表示：设小明离路灯底部 m，影长 m（这里 表示离灯的距离，不再是第（2）问的影长）。同样由 ，

左边化简是 ，所以 ，即

这个 从哪里来？人高 1.5 m，是灯高 4.5 m 的 ，所以影长占“离灯距离 + 影长”的 ，也就是离灯距离的一半。

是正比例函数（见第七部分“一次函数”）：人离灯越远，影子越长，而且均匀变长，离灯每远 1 m，影子变长 0.5 m；走到灯底下（），影子缩成 0。把前面两个位置代进去： 时 ， 时 ，和上面算的一致。有了这个式子，小明走到哪里，影子多长，一眼就能看出来。

正投影#

平行投影中，投影线垂直于投影面时，叫正投影。一条线段的正投影有多长，要看它和投影面怎样摆放：

• 平行于投影面： 、 都垂直于投影面， 是矩形，所以 ；
• 倾斜于投影面： 设 与投影面成 角，过 作投影面的平行线，得到一个斜边为 的直角三角形，，比 短（见第八部分“锐角三角函数”）；
• 垂直于投影面： 正投影是一个点。

平面图形也一样：平行于投影面时，正投影和原图形全等；倾斜时，形状会被“压扁”；垂直时，缩成一条线段。所以要看清一个面的真实形状，就要让它平行于投影面。

三视图#

从一个方向看一个物体，看到的就是物体在这个方向上的正投影，叫视图。一个视图只能反映物体的两个方向的尺寸，所以要从三个互相垂直的方向去看：

• 从正面看，得到主视图；
• 从左面看，得到左视图；
• 从上面看，得到俯视图。

把物体的左右方向叫“长”，前后方向叫“宽”，上下方向叫“高”。三个视图各反映两个尺寸：

三视图这样排，是为了让共有的尺寸对齐：主视图和俯视图都反映长，就上下对正，左右边界对齐；主视图和左视图都反映高，就左右摆齐，上下边界对齐；俯视图和左视图都反映宽，所以俯视图的上下宽度等于左视图的左右宽度。

读图时还要分清方向：俯视图的下方是物体的前面；左视图的右方是物体的前面（站在物体左边往右看，物体的前面在你的右手边）。上图中较高的部分在物体后部，所以在俯视图里靠上，在左视图里靠左。

看得见的轮廓线画实线，看不见的轮廓线画虚线。 比如一块中间打了竖直圆孔的木块，孔在主视图里看不见，要画成两条竖直的虚线；从上往下看，孔看得见，俯视图里是一个实线的圆。

常见几何体的三视图：

圆锥的俯视图里有圆心那一点，因为从上往下看，顶点正对着底面圆心。

由三视图想象几何体#

反过来，由三视图想象物体的形状，常用的顺序是：先看俯视图定“地基”，再用主视图和左视图定高度。

例 2　用若干个大小相同的小正方体搭成一个几何体，它的主视图和俯视图如图所示。搭成这个几何体最多需要几个小正方体？最少需要几个？

思路： 俯视图告诉我们哪些位置上有小正方体：后排 2 个位置，前排 3 个位置，每个位置至少有 1 个。主视图告诉我们的是每一列最高的那一摞有多高，至于这一列前后两个位置各有几个，主视图看不出来。

• 左边一列：前后两个位置，最高是 2；
• 中间一列：前后两个位置，最高是 3；
• 右边一列：只有前排一个位置，高是 1。

解： 把每个位置上小正方体的个数写在俯视图的格子里：

• 最多： 每个位置都摆到这一列的最高高度，共 个。
• 最少： 每一列只要有一个位置达到最高高度，其余位置各摆 1 个，共 个。最少时哪个位置摆高都可以，摆法不止一种。

答：最多需要 11 个，最少需要 8 个。

例 3　一个几何体的三视图如图所示（单位：cm）。求这个几何体的侧面积和全面积。

思路： 俯视图是带圆心的圆，主视图、左视图是等腰三角形，这是一个竖放的圆锥。主视图的底边是底面直径，高是圆锥的高；求侧面积还需要母线长，它是由高、底面半径和母线组成的直角三角形的斜边。

解： 这个几何体是圆锥，底面半径 cm，高 cm。由勾股定理，母线长 （cm）。

侧面积 （），底面积 （），全面积为 （）。

圆锥侧面积公式的由来见第九部分“与圆有关的计算”。

立体图形、展开图与三视图#

把立体图形变成平面图形，有两种办法，得到的东西不一样：

展开图适合算表面积、做模型；三视图适合表示形状和尺寸。一个面只有平行于投影面时，在视图里才是真实形状，所以倾斜的面要从展开图或计算中求真实大小，例 3 的母线长就是这样算出来的：视图里看不到母线的真实长度，是由圆锥的高 4 cm 和底面半径 3 cm 用勾股定理算出 5 cm。展开图的读法见第五部分“几何图形初步”。

制作立体模型。 把三视图、想象、展开图连起来，可以亲手做一个模型来检验：

1. 由三视图想象出几何体的形状，从视图中读出各部分的尺寸；
2. 画出它的展开图，尺寸和三视图一致；
3. 剪下、折叠、粘好，做成模型；
4. 从正面、左面、上面看模型，画出三视图，和原来的对照。

比如一个直三棱柱，俯视图是边长 4 cm 的等边三角形，主视图和左视图都是高 6 cm 的长方形。它的侧面是三个 4 cm × 6 cm 的长方形，上下底面是两个边长 4 cm 的等边三角形，展开图可以画成：

易错点#

• 左视图放错位置或看错方向。 左视图画在主视图的正右方，是从左往右看得到的；物体的前面在左视图的右边。
• 看不见的轮廓线没画成虚线。 被挡住的棱和轮廓线也要画出来，用虚线。
• 分不清平行投影和中心投影。 看投影线：互相平行的是平行投影（太阳光），交于一点的是中心投影（灯光）。在中心投影下，影长与物高不再有固定的比，要用相似三角形具体算。
• 以为正投影和原线段一样长。 只有线段平行于投影面时才一样长，倾斜时变短。
• 圆锥的俯视图漏了圆心。 顶点投影在底面圆心，要画出这一点。
• 用主视图直接数小正方体。 主视图只反映每一列的最高高度，前后有几个位置要看俯视图；最多、最少要分开想。

联系#

• 相似： 平行投影中影长与物高成比例，中心投影的影子问题是 A 字型相似三角形。见第八部分“相似”。
• 锐角三角函数： 倾斜的线段的正投影长等于原长乘以夹角的余弦。见第八部分“锐角三角函数”。
• 一次函数： 路灯下影长是离灯距离的正比例函数。见第七部分“一次函数”。
• 几何图形初步： 立体图形与平面图形的互相转化，除了三视图，还有展开图。见第五部分“几何图形初步”。
• 勾股定理： 由三视图求圆锥的母线、长方体的对角线，都要用勾股定理。见第五部分“勾股定理”。
• 与圆有关的计算： 圆锥的侧面展开图是扇形，侧面积 由扇形面积推出。见第九部分“与圆有关的计算”。

真题： 2025 年第 21 题、2024 年第 4 题、2023 年第 2 题。