动点与函数 ★

对应人教版八年级下册第二十二章和第二十三章、九年级上册第二十六章，以及各册几何章节中的动点问题。

点在图形上运动时，和它有关的长度、面积也跟着变化：把运动的时间或路程当作自变量，把要求的量当作函数，动点问题就变成了函数问题。

从哪里来#

函数讲的是“一个量变，另一个量跟着变，而且每个值只对应一个结果”（见第七部分“函数”）。动点正是这样：每一时刻，点只有一个位置；点的位置定了，和它有关的线段长、三角形面积也就定了。

所以解动点问题，先回答三个问题：

1. 自变量是什么，范围多大？ 通常是运动时间 或走过的路程 ，从出发到停止。
2. 关系在哪里改变？ 点拐过图形的顶点、两个动点中有一个停下，关系式就可能换一个。这些时刻叫转折点，要在这里分段。
3. 每一段是什么函数？ 看要求的量怎样由变化的长度算出来。

写关系：按转折点分段#

例 1　矩形 中，，。点 从 出发，沿 以每秒 1 个单位的速度运动，到 停止。设运动时间为 秒， 的面积为 。写出 与 的函数关系式，并画出图象。

思路： 的边 不变，把它当作底，高就是点 到 的距离。 在三条边上时，这个距离的算法不同，所以按 到达 、 的时刻分段：

• 到 用时 （秒），到 再用 3 秒（共 7 秒），到 再用 4 秒（共 11 秒）。

解：

• 在 上（）：高 ，；
• 在 上（）：高 ，；
• 在 上（）：高 ，。

和 时 与 或 重合，三角形不存在，所以不取端点。

图象是三段线段组成的折线（上图右边）。每一段的样子都能从运动看出来： 离 越来越远，面积上升； 在 上时离 的距离不变，面积不变，图象是平的； 回头靠近 ，面积下降。

读图：从图象反推运动#

反过来，给出图象，也能读出图形的尺寸。

例 2　矩形 中，点 从 出发，沿 运动。设 走过的路程为 ， 的面积为 ， 与 的函数图象如下图右边所示。求 、 的长和矩形 的面积。

思路： 图象的转折点对应 经过矩形的顶点。先把图象的每一段翻译成运动：

• ， 从 0 均匀增大到 6： 在 上， 的底 不变，高 在增大；
• ， 保持 6 不变： 在 上，到 的距离始终是 ，面积不变。

解： 由转折点， 走到 时 ，所以 ；从 到 走了 ，所以 ，。矩形的面积是 。

检验： 在 时，，和图象上的最高值一致。

判断一个动点问题的图象对不对，也按同样的顺序看：

1. 找转折点： 图象在哪里拐弯，是否正好对应动点到达顶点的时刻；
2. 看每段的类型： 是平的、斜的直线，还是曲线（二次函数）；曲线向上弯还是向下弯；
3. 看特殊点的值： 起点、终点、转折点的函数值对不对。

两个动点：面积是二次函数#

例 3　在 中，， cm， cm。点 从 出发沿 向 以 1 cm/s 的速度运动，同时点 从 出发沿 向 以 2 cm/s 的速度运动，其中一点到达终点时，另一点也停止。设运动时间为 s， 的面积为 cm²。

（1）求 与 的函数关系式，写出 的取值范围；

（2） 为何值时， 最大？最大是多少？

（3） 为何值时，？

思路： 是直角三角形，两条直角边 、 都随 变化，每条都是 的一次式，相乘就是二次函数。取值范围由先到终点的那个点决定。

解：（1），。 到 要 6 s， 到 要 （s），所以运动 4 s 后停止，。

（2）配方，。 在 内，所以 时 最大，最大值是 9。

（3）令 ，即 ，解得 或 。两个值都在 内，所以 或 。

检验： 时，，（ 正好到达 ），。

想一想： 如果把 改成 6 cm， 到 只要 3 s，取值范围变成 。关系式没变，第（3）问解方程仍得 或 ，但 时 已经停了，只能取 。上图中 的虚线部分也是这样：解析式还能算，但点已经不动了，没有意义。解析式来自图形，取值范围也来自图形，两样都要写。

动线：扫过的面积#

动的不一定是点，也可以是一条线。道理一样：找到转折点，分段写关系。

例 4　在平面直角坐标系中，、、。直线 （）从左向右平移， 在这条直线左侧部分的面积为 。求 与 的函数关系式。

思路： 直线经过 （）时，左侧部分的形状从三角形变成四边形，这是转折点。 所在直线是 ， 所在直线是 ，直线 与它们的交点都能用 表示。

解： 的面积是 。

• ：左侧是直角三角形，两条直角边都是 （交点是 ），；
• ：右侧剩下一个直角三角形，两条直角边都是 （交点是 ），。

检验： 时两个式子都等于 2，图象在这里连起来； 时 ，正好是整个三角形。

图象由两段抛物线组成，先越来越陡，过了 又越来越平。原因在图形里：直线在三角形内截出的线段越长，每移动一点扫过的面积就越多；这条线段在 时最长，所以 在这里增加得最快。

易错点#

• 不分段。 动点拐过顶点、某个点停下，关系式就可能改变。写关系式前先把转折点的时刻全部算出来。
• 取值范围写错。 两个点同时出发时，先到终点的那个决定停止时间；三角形退化成线段的时刻（面积为 0）要看题意决定取不取。
• 把速度忘了。 速度是 2 时， 秒走过的路程是 ，不是 。
• 求出 不检验。 解方程得到的 要落在取值范围内，否则舍去。
• 判断图象只看升降。 同样是上升，直线和抛物线不一样；抛物线向上弯还是向下弯也不一样。还要核对起点、转折点的函数值。

联系#

• 函数： 动点问题是“变量与对应”最直观的例子。见第七部分“函数”。
• 一次函数、二次函数： 一个量在变，得到一次函数；两个量同时变再相乘，得到二次函数；最值用配方求。见第七部分“一次函数”和第七部分“二次函数”。
• 一元二次方程： “面积等于某个值”就是解方程，解出来要检验范围。见第四部分“一元二次方程”。
• 四边形、勾股定理： 动点经过的图形，边长、高由图形的性质决定。见第五部分“四边形”和第五部分“勾股定理”。
• 以数解形： 在坐标系里设动点的坐标，用竖直线段求面积。见第十一部分“以数解形”。
• 以形助数： 水平直线 上下移动，看它和图象有几个交点，也是一种“动线”。见第十一部分“以形助数”。
• 分类讨论： 分段本身就是按点的位置分类。见第十一部分“分类讨论”。

真题： 2026 年第 20 题、2023 年第 10 题。