二次函数 ★
对应人教版九年级上册第二十六章。
二次函数 （）的图象是抛物线，每一条抛物线都能由 的图象平移得到。 所以研究二次函数只要看清两件事： 决定抛物线的形状（开口方向和大小），顶点决定它的位置。
从哪里来#
| 情境 | 函数关系 | 展开后 |
|---|---|---|
| 正方形的边长为 ，面积为 | ||
| 用长 20 m 的篱笆围一个矩形，一边长为 m，面积为 m² | ||
| 某产品原价 100 元，连续两年每年涨价的百分率都是 ，两年后价格为 元 |
这些关系展开后， 的最高次数都是 2。一般地，形如
的函数叫二次函数。 是为了保证有二次项； 时它就成了一次函数（或常数）。
二次函数和一次函数有什么不同？看 在 时的值：0，1，4，9。 每增加 1， 分别增加 1，3，5，每一步的增加量不再相同，而是每次多 2。
一次函数的台阶一样高，连起来是直线；二次函数的台阶一级比一级高（一般地， 每增加 1， 的增加量每次多 ），连起来就弯成了曲线。
最简单的抛物线：y = ax²#
的图象已经用描点法画过（见第七部分“函数”），就是这张图：
它的性质都能从解析式看出来：
- 关于 轴对称。 和 的函数值相等：。所以图象上每个点 关于 轴的对称点 也在图象上。
- 顶点是原点。 时，，只有 时 ，所以原点是图象的最低点，图象开口向上； 时，，原点是最高点，开口向下。
- 越大，开口越小。 同一个 ， 越大， 越大，曲线升（降）得越快，看上去越“瘦”。
增减性由对称得到。 时，在 轴右侧， 时 ，所以 随 的增大而增大；左侧和右侧关于 轴对称，变化方向正好相反， 随 的增大而减小。 时两侧都反过来。
平移：y = a(x − h)² + k#
上下平移：。 的每个函数值都比 多 ，所以图象是把 向上平移 个单位（ 是负数就向下），顶点从 移到 。这和一次函数中 的作用是一回事： 的图象，是把 的图象向上平移 个单位。
左右平移：。 的图象在哪里？在 上取一点 ，即 。把它向右平移 2 个单位，得到点 。代入 ：
所以这个点在 的图象上。 上的每个点向右平移 2 个单位，都落在 上，图象是向右平移了 2 个单位。
换个角度理解： 在 时取到最小值， 要等到 ，也就是 时才取到。同样的函数值，都要“晚 2 个单位”才出现，所以图象整体右移。同理， 是向左平移 2 个单位。
两种平移合起来： 的图象，是把 的图象向右平移 个单位、向上平移 个单位（、 是负数就向左、向下）。平移不改变形状，所以 不变；原点 移到了 。这个式子叫二次函数的顶点式。
| 开口方向 | 向上 | 向下 |
| 对称轴 | 直线 | 直线 |
| 顶点 | ，最低点 | ，最高点 |
| 增减性 | 时 随 的增大而减小； 时 随 的增大而增大 | 时 随 的增大而增大； 时 随 的增大而减小 |
| 最值 | 时， 有最小值 | 时， 有最大值 |
这张表不用背：画出草图（开口方向 + 顶点），每一行都能从图上读出来。
一般式：配方找顶点#
一般式 看不出顶点，要用配方把它化成顶点式，和配方法解一元二次方程是同一个变形（见第四部分“一元二次方程”）。
例 1 求抛物线 的顶点、对称轴和它与坐标轴的交点，并画出草图。
思路： 配方得到顶点和对称轴；与 轴的交点令 ，与 轴的交点令 。
解： 配方：
所以顶点是 ，对称轴是直线 ，开口向上。
令 ，得 ，与 轴交于 。点 关于直线 的对称点是 ，也在抛物线上。
令 ，得 ，即 ，与 轴交于 和 。
回顾： 两个交点 、 的纵坐标相等，所以关于对称轴对称，对称轴正好是 。抛物线上纵坐标相等的两点，横坐标的平均数就是对称轴。 这常常比配方更快。
对一般的 做同样的配方：
所以抛物线的对称轴是直线 ，顶点是
这个公式是配方的结果，记不住时，重新配一次方就能得到。
a、b、c 在图象上的样子#
| 系数 | 管什么 | 为什么 |
|---|---|---|
| 开口方向和大小 | 平移不改变 ，形状和 一样 | |
| 与 轴的交点 | 令 ，得 | |
| （和 一起） | 对称轴的位置 | 对称轴是 ：、 同号时它小于 0，在 轴左侧；异号时在右侧； 时就是 轴 |
还有几个常用的式子，也都是“代入一个 ”： 是 时的函数值， 是 时的函数值。看图时，找到这些点在 轴上方还是下方，就知道式子的正负。
待定系数法：三个条件，三种设法#
二次函数有 、、 三个待定系数，一般需要三个条件。设成哪种形式，看条件给的是什么：
| 已知条件 | 设成 | 待定的系数 |
|---|---|---|
| 图象上的三个点 | 一般式 | 、、 |
| 顶点 和另一个点 | 顶点式 | 只剩 |
| 与 轴的两个交点 、 和另一个点 | 交点式 | 只剩 |
交点式的来由： 和 时 ，所以 、 是方程 的两个根，二次式就能分解成 （见第三部分“因式分解”）。
例 2 分别根据下列条件求抛物线的解析式：
（1）经过点 、、；
（2）顶点是 ，且经过点 ；
（3）与 轴交于 、，且经过点 。
解：（1）设 。由过点 ，得 。再代入另两点：
即 ，，解得 ，。所以 。
（2）设 。代入 ，得 ，。所以 ，展开得 。
（3）设 。代入 ，得 ，。所以 ，展开得 。
想一想： 三问得到的是同一条抛物线，只是已知条件的“样子”不同。
| 比较 | 一般式 | 顶点式 | 交点式 |
|---|---|---|---|
| 要解的 | 二元一次方程组（先由 定出 ） | 一个一元一次方程 | 一个一元一次方程 |
| 利用了什么 | 三个普通的点 | 顶点同时给出了 、 两个条件 | 两个交点给出了两个条件 |
顶点和与 轴的交点是“特殊的点”，一个顶点顶两个条件，所以顶点式、交点式只剩一个系数要求。拿到条件先看有没有特殊的点，再决定怎样设。
与一元二次方程的关系#
令 ，二次函数 就变成一元二次方程 。所以方程的根，就是抛物线与 轴交点的横坐标。 抛物线与 轴有几个交点，方程就有几个实数根，由判别式 决定（见第四部分“一元二次方程”）。
以 为例，配方得 ， 变化时抛物线上下平移：
| 方程 的根 | 抛物线与 轴 | ||
|---|---|---|---|
| −3 | 16 > 0 | ， | 两个交点 |
| 1 | 0 | 一个交点（顶点在 轴上） | |
| 3 | −8 < 0 | 没有实数根 | 没有交点 |
拓展： 同一张图还能读出不等式的解：，就是抛物线 在 轴下方的部分，对应 ；，就是抛物线在 轴上方的部分，对应 或 。这和一次函数中“看直线在 轴上方还是下方”是同一个想法。
最值问题：先看顶点，再看范围#
二次函数的最大值或最小值在顶点取到，前提是顶点的横坐标在自变量的取值范围内。实际问题一定要先写出取值范围。
例 3 如图，用长 20 m 的篱笆靠墙围一个矩形菜园（靠墙的一边不用篱笆），设垂直于墙的边长为 m，菜园面积为 m²。
（1）墙足够长时， 为多少时菜园面积最大？最大面积是多少？
（2）如果墙长只有 8 m，菜园面积最大是多少？
思路： 平行于墙的边长是 ，面积是两边之积，得到二次函数。配方找顶点，再检查顶点在不在取值范围里。
解：（1）。
边长为正数： 且 ，所以 。，开口向下，顶点横坐标 5 在范围内，所以 时 最大，最大面积是 50 m²，此时平行于墙的边长 10 m。
（2）平行于墙的边不能超过墙长：，得 。所以 。
顶点的横坐标 5 不在这个范围里。范围在对称轴 的右侧，开口向下时右侧 随 的增大而减小，所以 取最小的 6 时 最大：。答：最大面积是 48 m²。
回顾： 第（2）问如果直接答“最大是 50”，就错了： 时平行于墙的边长 10 m，墙只有 8 m，围不出来。最值问题的三步是：写出函数和取值范围 → 配方找顶点 → 顶点在范围内就取顶点，不在范围内就看范围端点，由增减性判断。
例 4 某商品进价每件 40 元。售价 50 元时，每天能卖 500 件；售价每涨 1 元，每天少卖 10 件。售价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？
思路： 利润 = 每件的利润 × 销量，两个因式都随涨价的钱数变化。设每件涨价 元，把两个因式都用 表示。
解： 设每件涨价 元，每天利润为 元。每件利润 元，销量 件，所以
涨价的钱数不是负数，；销量不能是负数，，。所以 。顶点横坐标 20 在范围内，，所以 时 最大，为 9000。答：售价定为 70 元时，每天的利润最大，是 9000 元。
检验： 售价 70 元时，每件利润 30 元，销量 件，。
易错点#
- 左右平移的方向弄反。 是 向左平移 2 个单位，顶点 。依据是“同样的函数值， 要早 2 个单位取到”，不是看括号里的符号。
- 顶点坐标的符号写错。 的顶点是 。先把括号写成 的样子：，所以 。
- 忘了 。 “ 是二次函数”要求 。题目只说“函数”时，还要讨论 的情况，这时它是一次函数（见第十一部分“分类讨论”）。
- 最值不看取值范围。 顶点不在取值范围内时，最值在范围的端点取到。例 3 第（2）问就是这样：靠 8 m 长的墙围菜园，，，顶点横坐标 5 不在范围内，最大面积不是 50 m²，而是 时的 48 m²。
- 增减性不分段。 二次函数的增减性在对称轴两侧相反，不能笼统地说“ 随 的增大而增大”，要说清在对称轴的哪一侧。
- 随便用交点式。 抛物线与 轴没有交点（）时，没有交点式可设。
联系#
- 一元二次方程： 方程的根是抛物线与 轴交点的横坐标，判别式决定交点个数；配方找顶点和配方法解方程是同一个变形。见第四部分“一元二次方程”。
- 整式的乘法和因式分解： 顶点式、交点式展开就是一般式，用的是乘法公式；一般式分解因式就得到交点式。见第三部分“整式的乘法”和第三部分“因式分解”。
- 轴对称： 抛物线是轴对称图形，对称点的纵坐标相等，常用来求对称轴。见第五部分“轴对称与等腰三角形”。
- 平移： 顶点式就是把 的图象平移，“右移 ”对应 换成 ，“上移 ”对应函数值加 。见第六部分“平移、轴对称与旋转”。
- 一次函数： 一次函数每一步的变化量不变，二次函数每一步的变化量在均匀地变；直线在 轴上方、下方对应一元一次不等式，抛物线也一样。见第七部分“一次函数”。
- 动点与函数、方程思想与建模： 动点问题中的面积、实际问题中的利润，常常是二次函数，最值就是顶点。见第十一部分“动点与函数”和第十一部分“方程思想与建模”。
真题： 2026 年第 22 题、2025 年第 22 题、2024 年第 22 题、2023 年第 9 题、2023 年第 22 题。