第十一部分：数形结合

以形助数

对应人教版七年级上册第一章、七年级下册第十一章、八年级上册第十六章、八年级下册第二十三章、九年级上册第二十五章至第二十七章，综合运用。

以形助数，就是把数、式子、方程画成图，让图告诉我们答案在哪里、有几个、什么时候最大最小，再用计算把答案算准。

从哪里来#

代数的计算一步一步往前推，每一步都可靠，但看不到全局；图形一眼就能看到全局，却说不准具体的数。前面各部分里，几乎每个代数对象都有一个几何的样子：

代数的说法	画成图
一个数	数轴上的一个点
	数轴上、两点间的距离
不等式的解集	数轴上的一段
函数值的大小	图象上点的高低
两个式子相等时的值	两个图象交点的横坐标
乘积	长、宽的长方形面积
	两条直角边为、的直角三角形的斜边

以形助数就是用这张表把题目“翻译”过去：先画图，看出答案的方向（在哪一段、有几个、哪里最小），再回到代数把它算出来。图负责想，式子负责算。

数轴：绝对值是距离#

数轴上表示和的两点之间的距离是：时距离是，时距离是，两种情况合起来正好是（见第二部分“有理数”）。所以是到 1 的距离，是到 −2 的距离。

例 1　（1）求的最小值；（2）解方程。

思路： 在数轴上取点表示 −2，点表示 1，点表示。式子就是：点到、两点的距离之和。

数轴上 P 到 A、B 的距离之和：P 在 A、B 之间时最小

解：（1）。

在、之间（含端点）时，；
在的右边时，，所以；
在的左边时，同理。

所以最小值是 3，当时取到。

（2），所以在线段外面。由（1），在的右边时，在的左边时。

在的右边：，，；
在的左边：，，。

检验： ，。所以或。

想一想： 不画图也能做：按、、三段分别去掉绝对值，在每一段里解方程（见第十一部分“分类讨论”）。这三段正是在的右边、在之间、在的左边三种位置。代数解法的分段要先想到才会分，图上的分段是一眼看出来的；图还顺便说明了为什么中间一段的值都是 3。

数轴：不等式组的整数解#

例 2　关于的不等式组

\begin{cases} x > a, \\ x < 3 \end{cases}

恰好有 2 个整数解，求的取值范围。

思路： 解集是。在数轴上从 3 往左数整数：3 不在解集里（空心点），接下来是 2、1。恰好 2 个整数解，就是 2 和 1 在解集里、0 不在。所以要落在 0 和 1 之间。

x < 3 和 x > a 的公共部分恰好含整数 1 和 2

解： 1 在解集里，要求；0 不在解集里，要求。

端点要单独检验，不能只凭图：

时，解集是，整数解是 1、2，恰好 2 个，可以取；
时，解集是，整数解只有 2，不能取。

所以。

图象：方程的解就是交点#

方程的解，就是抛物线和水平直线交点的横坐标。变化时，直线上下平移，交点的个数跟着变。

例 3　关于的方程。

（1）取什么值时，方程有两个不相等的实数根？

（2）如果只考虑范围内的解，取什么值时，方程在这个范围内恰好有两个解？

思路： 第（1）问可以用判别式，也可以看图；第（2）问限定了的范围，判别式只管有没有根，不管根落在哪里，这时看图最直接。

抛物线 y = x² − 2x − 3 在 0 ≤ x ≤ 4 的部分与水平线 y = m 的交点

解：（1）方程化为，

\Delta = (-2)^2 - 4 \times 1 \times (-3 - m) = 16 + 4m.

时有两个不相等的实数根，即。从图上看：，顶点是，是图象的最低点。直线高于顶点时和抛物线交于两点，正好是。

（2）只看的一段（图中实线）。它的两端是和，最低点是。让直线从下往上移动：

的范围	交点个数
	0
	1（顶点）
	2（左边一个在，右边一个在）
	1（左边的交点跑到，不算了）
	0

所以。

检验端点： 时，方程是，解得或，都在范围里，确实是两个解。

想一想： 第（2）问如果只用代数，要求两个根都在里，得同时考虑判别式、对称轴的位置和端点的函数值，条件多，容易漏。画图后，只要看直线在哪个高度范围内和实线部分交两次，关键高度就是顶点和两个端点的纵坐标。

图象：比较两个函数的大小#

例 4　直线与双曲线交于、两点。

（1）求、两点的坐标；

（2）取什么值时，？

思路： 交点坐标要解方程；比较大小看的是“直线在双曲线上方”的部分。这个不等式里在分母上，两边乘时不知道的正负，代数做法很麻烦，看图就简单了。

解：（1）令，两边乘，得，即，所以或。检验：两个值都不使分母为 0。所以，。

（2）画出两个图象：

直线在双曲线上方的部分对应 −2 < x < 0 和 x > 1

直线在双曲线上方的部分有两段：和轴之间的一段（），和右边的一段（）。所以当或时，。

不在答案里：双曲线在处断开，没有意义。时双曲线在直线上方，这一段不满足。

面积：式子的几何样子#

把边长为的正方形按下图分割（设）：四个角上是四个长、宽的长方形，中间剩下一个边长为的小正方形。

边长 a + b 的正方形 = 4 个 a × b 的长方形 + 边长 a − b 的小正方形

算两遍面积：

(a + b)^2 = 4ab + (a - b)^2.

用乘法公式展开两边也能验证（见第三部分“整式的乘法”）。中间的小正方形面积，所以；只有时小正方形消失，等号成立。

例 5　用长 20 m 的篱笆围一个长方形菜园，长和宽各是多少时面积最大？最大面积是多少？

思路： 周长一定，就是长与宽的和一定。把长、宽放进上面的图：不变，大正方形不变；面积是四个长方形之一，四个长方形越大，中间的空就越小。空消失时最大。

解：设长为 m，宽为 m，则，。由，得，，当时等号成立。

答：长和宽都是 5 m（围成正方形）时面积最大，最大面积是。

想一想： 也可以设长为 m，写出面积，用二次函数求最大值（见第七部分“二次函数”），结果一样。函数的方法算得出最值，图形的方法说得清为什么：两边一样长时，中间的“空”没有了。

距离：把根式看成线段（拓展）#

是直角边为、的直角三角形的斜边，在坐标系里就是两点间的距离（见第三部分“二次根式”）。

例 6　取什么值时，最小？最小值是多少？

思路： 把两个根式都看成两点间的距离。设是轴上的动点：

\sqrt{x^2 + 1} = \sqrt{(x - 0)^2 + (0 - 1)^2} = PA, \quad A(0, 1);

\sqrt{(x - 4)^2 + 4} = \sqrt{(x - 4)^2 + (0 - 2)^2} = PB, \quad B(4, 2).

问题变成：在轴上找一点，使最小。、在轴同侧，这正是最短路径问题（见第五部分“轴对称与等腰三角形”）：作关于轴的对称点，则。

P 在 x 轴上移动，PA + PB = PA′ + PB，P 落在 A′B 上时最小

解：，当在线段上时取等号（两点之间，线段最短）。

A'B = \sqrt{(4 - 0)^2 + (2 + 1)^2} = \sqrt{25} = 5.

直线过和，用待定系数法得。令，得。

所以时，原式有最小值 5。

检验： 时，，，和是 5。

易错点#

当成到 2 的距离。 ，是到 −2 的距离。先把式子写成“ 减一个数”的样子，再读出是到哪个点。
端点凭图判断。 图上实心点、空心点容易画错，也容易看错。像例 2 那样，把端点值代回原题检验一次。
限定了范围还只用判别式。 判别式只回答“有没有实数根、有几个”，不回答根在哪里。题目限定了的范围，要看图象在这个范围里的那一段。
读图时漏掉一段。 双曲线有两支，比较大小时轴两侧要分别看；处函数没有意义，不能算进答案。
用图代替计算。 图只告诉我们答案的方向和个数。交点坐标、最值、范围的端点，都要回到方程和不等式算出来。画得不准的图还会误导，比如两个靠得很近的交点，可能被看成一个。

联系#

有理数： 绝对值是数轴上的距离，是以形助数的第一个例子。见第二部分“有理数”。
不等式： 解集画在数轴上，不等式组的解集是公共部分。见第四部分“不等式与不等式组”。
函数与方程： 方程的解是图象交点的横坐标，不等式的解集是图象在上方的部分。见第七部分“一次函数”、第七部分“反比例函数”和第七部分“二次函数”。
判别式： 判别式的正负对应抛物线与直线交点的个数。见第四部分“一元二次方程”。
面积模型： 乘法公式、配方都能画成正方形的拼图。见第三部分“整式的乘法”和第四部分“一元二次方程”。
最短路径： 两段距离之和最小，用轴对称把折线拉直。见第五部分“轴对称与等腰三角形”。
反方向： 把几何问题写成数来算，见第十一部分“以数解形”。

真题： 2026 年第 16 题、2026 年第 22 题、2025 年第 22 题、2024 年第 5 题、2024 年第 10 题。