整式的乘法 ★

对应人教版八年级上册第十六章。

整式乘法的每一条法则，都是由乘方的定义和乘法的交换律、结合律、分配律推出来的；多项式乘多项式，就是把一个长方形分成几块，再把各块的面积加起来。

幂的运算：从乘方的定义出发#

整式相乘，先要会算字母的幂相乘。一切从乘方的定义开始：

同底数幂相乘：数一数一共有几个 。

3 个 再乘 2 个 ，一共 5 个 。一般地， 个 乘 个 ，一共 个 ：

幂的乘方： 个 相乘。

一般地， 是 个 相乘，由上一条，指数是 个 相加，得

积的乘方：用交换律和结合律重新分组。

一般地，：积的乘方，等于把积的每个因式分别乘方，再相乘。

同底数幂相除：约掉公共的 。 比如

5 个 除以 2 个 ，约掉 2 个，剩下 3 个。一般地，

，因为 0 不能作除数。

零指数幂：为了让法则继续成立而规定。 时，一方面 （一个不为 0 的数除以它自己）；另一方面，如果同底数幂相除的法则还能用，应该得到 。为了让两边一致，规定

不能再理解成“0 个 相乘”，它的意义来自“让法则继续成立”。 没有意义，因为推导时用到了除以 。

例 1　计算：。

思路： 两项分开算，各自用哪条法则要看清：第一项是积的乘方， 和 都要三次方；第二项是同底数幂相乘。最后看两项能不能合并。

解：

例 2　已知 ，，求 和 的值。

思路： 、 不好求，但法则可以倒过来用：指数相加的幂，可以拆成两个幂相乘；指数是倍数的幂，可以写成幂的乘方。

解：

单项式与单项式、多项式相乘#

单项式乘单项式： 用交换律和结合律，把系数放在一起，同一个字母的幂放在一起：

也就是系数相乘，同底数幂相乘，只在一个单项式里出现的字母连同它的指数照写。

单项式乘多项式： 就是分配律，用单项式去乘多项式的每一项，再把积相加：

在图上，这是一个高为 的长方形，分成宽为 、、 的三块：

整个长方形的面积 ，等于三块面积的和 。

多项式乘多项式#

计算 时，先把 看成一个整体，用一次分配律；再对每一部分各用一次：

结果是：用一个多项式的每一项，乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 两项乘两项，得 项（合并同类项之前）。在图上，长 、宽 的长方形正好被分成四块：

例 3　计算：。

解：

回顾： 把 2 和 换成任意的 、，同样的步骤给出

一次项系数是 ，常数项是 。例 3 里 ，，和算出来的一致。这个式子倒过来读，就是因式分解的一种方法（见第三部分“因式分解”）。

乘法公式#

有两种多项式乘法特别常见，结果又特别整齐，把它们记成公式，以后看见这种结构就不必一项一项乘。

平方差公式： 两个数的和与这两个数的差相乘。

中间的 和 正好抵消，只剩两项：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。

在图上：边长为 的正方形挖去边长为 的小正方形，剩下的面积是 。把剩下的部分剪成两个长方形，把右下方的一块转过来拼到上面，就拼成一个长 、宽 的长方形：

面积没有变，所以 。

完全平方公式： 两个数的和（或差）的平方。

两个数的和的平方，等于它们的平方和，加上它们的积的 2 倍。 在图上，边长 的正方形分成四块：两个正方形 、，两个同样的长方形 ：

差的平方不必另外推导：把 看成 ，代入上面的公式，

在图上，从边长 的正方形里去掉右边和下边两条 的长方形，就剩下边长 的正方形。但右下角那块 被两条长方形都盖住了，减了两次，所以要加回一次：

例 4　用乘法公式计算：（1）；（2）。

思路： 两个数都靠近 100，写成 100 加减一个小数，就能用公式。

解：

例 5　计算：。

思路： 这是差的平方，公式里的 是 ， 是 。把整个 当作 ，平方时系数 2 也要平方。

解：

例 6　已知 ，，求 和 的值。

思路： 由 、 去求 、 很麻烦（它们不是整数）。但完全平方公式把 、、 三者连在一起：知道其中两个，就能求第三个。

解： 由 ，得

再由 ，得

想一想： 上面求 分了两步，先求出 。其实 和 可以直接比较：用四个长 、宽 的长方形围成一圈，拼成边长 的大正方形，中间空出一个小正方形，它的边长是 （长方形的长 减去宽 ）：

大正方形比中间的小正方形多了 4 块 ，也就是 。所以 ，一步就到。、、、 这几个量，任意知道两个，就能用完全平方公式求出其余的，不必先求出 和 。

整式的除法#

除法是乘法的逆运算：求“什么乘除式等于被除式”。

单项式除以单项式： 系数相除，同底数幂相除，只在被除式里出现的字母连同它的指数照写。

检验：，对了。

多项式除以单项式： 除以 就是乘 ，再用分配律，所以用多项式的每一项分别除以这个单项式，再把商相加：

前面算单项式乘多项式 时，用的是这张图：高为 的长方形，分成宽为 、、 的三块。

除法就是反过来看这张图：知道整个长方形的面积 和高 ，求宽。每一块的宽都是它的面积除以高：，，，合起来宽就是 。这正是“用多项式的每一项分别除以单项式，再把商相加”。

例 7　计算：。

解：

最后一项 ，不是 0。检验：。

杨辉三角（拓展）#

用 再乘一次 ：

把 展开后各项的系数一行一行排起来：

每一行两端是 1，中间的每个数等于它“肩上”两个数的和。为什么？，右边展开时， 这一项有两个来源： 里的 乘 ，和 乘 。所以 的系数是 ，正好是上一行相邻两个数的和。于是

这张表在南宋数学家杨辉的《详解九章算法》里就有记载，杨辉注明它出自更早的贾宪，所以叫杨辉三角，也叫贾宪三角。

易错点#

• 幂的法则混用。 （指数相加），（指数相乘）。回到定义数一数有几个 ，就不会混。
• 把加法当乘法。 不能合并，更不是 ；，不是 。同底数幂相乘的法则只管乘法，加法只能合并同类项。
• 积的乘方漏乘。 ，不是 ；，不是 ，也不是 。积里的每个因式都要乘方，包括系数和它的符号。
• 完全平方漏了中间项。 。图上一眼就能看出：正方形里除了 、，还有两块 。取 也能看出，，而 。
• 不是平方差硬用平方差公式。 用平方差公式，两个因式里要有一项完全相同、另一项互为相反数。 可以用；，两项都互为相反数，不是平方差。
• 多项式除以单项式漏掉 1。 ， 不能丢。
• 忘了 的条件。 要求 。

联系#

• 整式的加减： 单项式乘多项式、多项式乘多项式，是分配律的连续使用；乘完的最后一步总是合并同类项。见第三部分“整式的加减”。
• 因式分解： 把乘法公式和 的展开式倒过来读，就是因式分解。见第三部分“因式分解”。
• 分式： 同底数幂相除要求 ； 时会出现负整数指数幂，那里把幂的运算推广到全部整数指数。见第三部分“分式”。
• 怎样证明： 用乘法公式做代数推理，比如两个连续奇数的平方差：，总是 8 的倍数。见第一部分“怎样证明”。
• 勾股定理： 拼图证明勾股定理，用的就是完全平方公式的面积图。见第五部分“勾股定理”。
• 一元二次方程： 配方法就是凑出完全平方公式 的样子，几何上是把图形补成正方形。见第四部分“一元二次方程”。
• 二次函数： 顶点式 展开就是一般式，用的是完全平方公式。见第七部分“二次函数”。

真题： 2026 年第 7 题、2025 年第 16 题、2024 年第 7 题、2022 年第 4 题、2022 年第 8 题。