二次根式 ★
对应人教版八年级下册第十九章。
形如 （）的式子叫二次根式；它的全部性质都来自一句话： 是平方等于 的那个非负数。
从哪里来#
面积为 2 的正方形，边长是 ；直角边为 1 和 3 的直角三角形，斜边长是 （见第五部分“勾股定理”）。求长度时总会遇到开平方，而且被开方的常常是含字母的式子：直角边为 和 的直角三角形，斜边是 。
表示 的算术平方根：平方等于 的那个非负数（见第二部分“实数”）。所以，
- 被开方数 。 负数没有平方根， 时 没有意义。
- 。 算术平方根本身不是负数。
这两个“非负”是二次根式一切性质的出发点。
例 1 （1） 取什么值时， 有意义？ 呢？（2）已知 ，求 的值。
思路： （1）根号下不能是负数；式子在分母上时，还不能为 0。（2），，两个非负数的和为 0，只能每个都是 0。
解： （1）由 ，得 ，所以 时 有意义。 在分母上，还要 ，所以 时 有意义。
（2）由 ，，得 ，，所以 。
两条基本性质#
性质一：
这就是定义本身： 是平方等于 的数，它的平方当然是 。
性质二：
是平方等于 的非负数。平方等于 的数是 和 （ 时两者都是 0），要从中挑出非负的那一个：
- 时，挑 ，；
- 时， 是正数，挑 ，。
这正是绝对值的定义，所以 。比如 ，不是 。
两条性质的区别在于运算的顺序：性质一先开方、再平方， 必须非负；性质二先平方、再开方， 可以是任何数，结果要取绝对值。
例 2 已知 ，化简 。
思路： 由性质二，两项分别是 和 。去绝对值要看里面的正负，条件 正是用来判断正负的。
解： 因为 ，所以 ，。
想一想： 结果是一个常数，和 无关，为什么？ 是数轴上点 到 1 的距离， 是点 到 3 的距离（见第二部分“有理数”）。 在 1 和 3 之间移动时，两段距离一长一短，加起来总是 1 到 3 的距离 2：
如果 ，两段距离就有重叠，和是 ，不再是常数。
乘法和除法#
乘法：
为什么？看左边 这个数：
- 它的平方是 （积的乘方，再用性质一）；
- 它是两个非负数的积，本身也非负。
平方等于 的非负数，就是 。
除法： 同样的道理，
是因为 在分母上。
化简：把乘法法则倒过来用。 ，被开方数里能开得尽方的因数就能移到根号外面：
在方格里也能看出来： 是边长为 1 的正方形的对角线， 是边长为 2 的正方形的对角线，后者正好由两条前者连成：
化简的目标是最简二次根式，满足两个条件：
- 被开方数不含分母；
- 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
根号外面可以有分母，但分母里不留根号。去掉分母中根号的做法叫分母有理化：分子、分母同乘一个根式，让分母变成平方，比如
为什么要统一化成最简形式？就像分数要约成最简分数，写法统一了，才看得出两个根式是不是“同一种”，才能合并和比较。
例 3 化简或计算：（1）；（2）；（3）；（4）。
思路： （1）找 48 里最大的平方因数 16。（2）被开方数有分母，先用除法法则拆开，再有理化。（3）（4）直接用乘、除法则，把被开方数合在一起算。
解：
加法和减法#
是“2 个 ”， 是“5 个 ”，用分配律，
这和合并同类项是一回事（见第三部分“整式的加减”）：化成最简二次根式后，被开方数相同的可以合并，系数相加，根式不变。被开方数不同就不能合并。
所以做加减之前，先把每个根式化成最简。比如 ，看起来不能合并，化简后是 。讲化简时的方格图里， 是边长 1 的正方形的对角线， 是边长 2 的正方形的对角线，两条接在一起：
合起来就是边长 3 的正方形的对角线：。
例 4 计算：。
思路： 三个根式先分别化成最简，再看哪些被开方数相同。
解：
混合运算#
二次根式表示的是实数，实数的运算律照样成立，所以整式里的乘法公式照样能用。
拓展： 第一个式子说明，分母是 时，分子、分母同乘 ，用平方差公式就能去掉分母里的根号：
例 5 已知 ，求 的值。
解法一：直接代入。
解法二：先变形再代入。 由 ，得 。所求的式子可以凑成 ：
想一想： 解法一老老实实展开，含 的项最后正好抵消，步骤多、容易算错；解法二看出了 是个简单的数，把式子往 上凑，根号一次就消掉了。这是“整体代入”的想法（见第三部分“代数式”），凑的办法是完全平方公式（见第三部分“整式的乘法”）。
两点间的距离#
例 6 在平面直角坐标系中，点 ，，求线段 的长。
思路： 是斜的，不能直接数格子。过 作水平线、过 作竖直线，交于点 ，就得到以 为斜边的直角三角形，两条直角边的长可以从坐标算出来。
解： ，。由勾股定理，
勾股定理算出的边长常常是二次根式，结果要化成最简。
易错点#
- 忘了绝对值。 ，只有知道 时才等于 。； 时 。
- 把根号当成对加法也能拆。 ，不是 ；：两边平方，，比 大。乘法法则 只对乘法成立。
- 乘法法则忘了条件。 ，不能写成 ，因为负数的平方根没有意义。法则要求 ，。
- 被开方数不同也去合并。 要先化简成 才能合并； 化成最简后被开方数仍不同，不能合并。
- 结果不是最简。 被开方数含分母， 分母里有根号，都要化成 。
- 有意义的条件没考虑全。 根号下的式子要 ；根式在分母上时，还要 ，即根号下的式子 。
联系#
- 实数： 是无理数，二次根式的值常常是无理数；估算 的大小，看它夹在哪两个整数之间。见第二部分“实数”。
- 有理数： ，绝对值是数轴上到原点的距离。见第二部分“有理数”。
- 整式的加减、整式的乘法： 合并二次根式就是合并同类项；二次根式的乘法可以用乘法公式。见第三部分“整式的加减”和第三部分“整式的乘法”。
- 勾股定理： 由两条直角边求斜边，结果常是二次根式。见第五部分“勾股定理”。
- 平面直角坐标系： 两点 、 间的距离是 ，就是例 6 的做法：过两点分别作水平线和竖直线，得到直角三角形，两条直角边是横、纵坐标之差，再用勾股定理求斜边。见第六部分“平面直角坐标系”。
- 一元二次方程： 求根公式里有 ，根号下的式子为负时方程没有实数根。见第四部分“一元二次方程”。
- 锐角三角函数： 特殊角的三角函数值，如 ，都是二次根式。见第八部分“锐角三角函数”。