几何图形初步

对应人教版七年级上册第六章。

几何研究物体的形状、大小和位置关系；最基本的图形是点、线、面、体，最基本的量是线段的长度和角的大小。

从哪里来#

一个易拉罐、一块砖、一个篮球，颜色、材料、重量各不相同。几何只关心它们的形状、大小和位置，把其余的都丢掉，剩下的就是几何图形：易拉罐是圆柱，砖是长方体，篮球是球。

几何图形分两类：

• 立体图形： 各部分不都在同一个平面内，如正方体、长方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球；
• 平面图形： 各部分都在同一个平面内，如线段、角、三角形、长方形、圆。

区分这些立体图形，看它们由什么样的面围成：

正方体、长方体是特殊的四棱柱。棱柱按底面的边数叫三棱柱、四棱柱……，棱锥也一样。

立体图形和平面图形可以互相转化：从不同方向看一个立体图形，看到的是平面图形（见第八部分“投影与视图”）；把立体图形的表面剪开、摊平，得到的也是平面图形，叫展开图。

展开图#

正方体有 6 个面。沿着一些棱剪开，可以把它的表面摊成一个平面图形：

读展开图最常用的问题是：哪两个面是相对的？ 从正方体本身想：

1. 相对的两个面（比如上面和下面）没有公共的棱；相邻的两个面有一条公共的棱。
2. 展开图里两个正方形有公共边，说明折回去以后它们共用一条棱，所以它们在正方体上是相邻的面。因此，相对的两个面在展开图里一定不相邻。
3. 展开图里排成一行的三个正方形，中间的一个两边各折起 ，两端的正方形一共转过 ，正好面对面。所以一行中隔着一个的两个面是相对的面。

上图中，“上”和“下”隔着“前”，“前”和“后”隔着“下”，“左”和“右”隔着“前”，都在同一行里隔一个。

正方体的展开图一共有 11 种，不用背，用上面的道理就能判断一个图形能不能折成正方体、哪两个面相对。圆柱的展开图是一个长方形和两个圆，圆锥的展开图是一个扇形和一个圆（见第九部分“与圆有关的计算”）。

点、线、面、体#

把立体图形拆开来看：体由面围成，面和面相交成线，线和线相交成点。正方体有 6 个面、12 条棱、8 个顶点，棱就是面与面相交成的线，顶点就是棱与棱相交成的点。面有平的（正方体的面），也有曲的（圆柱的侧面）；线有直的，也有曲的。

反过来，也可以用运动的眼光看：点动成线，线动成面，面动成体。 笔尖（点）划过纸面留下一条线；雨刷（线）扫过挡风玻璃扫出一个面；一个长方形绕它的一边旋转一周，扫出一个圆柱：

同样地，直角三角形绕一条直角边旋转一周形成圆锥，半圆绕它的直径旋转一周形成球。

直线、射线、线段#

拉紧的绳子、笔直的铁轨，给人“直”的印象。把这种“直”的线抽象出来，按有没有端点、能不能延伸，分成三种：

三者的关系：把线段向一方无限延长，得到射线；向两方无限延长，得到直线。射线和线段都是直线的一部分。

关于直线和线段，有两条最基本的事实，全部几何推理都要从这样的事实出发（见第一部分“基本事实”）：

• 两点确定一条直线： 经过两点有一条直线，并且只有一条。木工用两个钉子就能把木条固定住，植树时先定两端的树再种中间的树，用的都是这一条。
• 两点之间，线段最短： 连接两点的所有线中，线段最短。连接两点的线段的长度叫作这两点间的距离。

线段的比较和中点#

比较两条线段的长短有两种办法：度量法，用刻度尺量出长度再比较；叠合法，把一条线段移到另一条上，一端对齐，看另一端落在哪里。两条线段在同一条直线上首尾相接，可以得到它们的和；一条从另一条上截去，得到它们的差。

把一条线段分成两条相等线段的点，叫作这条线段的中点。 点 是线段 的中点，就是

线段的计算，依据只有两条：点在线段上时，整条线段等于各段的和（线段的和差）；中点把线段分成相等的两半（中点的定义）。长度不能直接算出时，就设未知数，按这两条依据列方程。

例 1　如图，点 在线段 上，，点 是 的中点， 长 2 cm。求 的长。

思路： 已知的是一个比和一小段的长，都不能直接得出 。比 提示“每一份”设为 ，这样 、、、 都能用 表示；再看 在图上是哪两条线段的差，就得到一个方程。

解： 设 cm，则 cm， cm。因为 是 的中点，所以 cm。由图可知

所以 ，，（cm）。

检验： cm， cm，比是 ； cm，（cm），和已知一致。

例 2　如图，点 在线段 上，点 、 分别是 、 的中点， 长 10 cm， 长 6 cm。求 的长。

思路： 被点 分成 和 两段，每一段都是一条已知线段的一半。

解： cm， cm， cm，所以 cm。

想一想： 答案 5 正好是 的一半，是巧合吗？把具体的数换成字母再算一遍：

所以不论点 在线段 上的什么位置，都有 ， 的长其实用不着。如果点 在线段 的延长线上（、、 依次排列），、 仍然分别是 、 的中点：

这时 比 更靠近 ， 是 和 的差：，结论仍然成立。用数算只能得到一个答案，用字母算才看得出结论和 的位置无关。

角#

有公共端点的两条射线组成的图形叫作角。 公共端点叫角的顶点，两条射线叫角的边。

角也可以看成一条射线绕着它的端点旋转而成：射线从起始位置 转到终止位置 ，就形成了 。转得越多，角越大。转到终止边和起始边成一条直线时，得到平角；转满一圈回到原处，得到周角。用旋转的眼光看，平角和周角也是角，这是只看“两条射线”看不出来的。

角的表示方法：（顶点的字母写在中间）；顶点处只有一个角时可以写成 ；也可以在角内标上数字或希腊字母，写成 、。

角的度量。 把周角平均分成 360 份，每一份是 1 度，记作 。所以周角是 ，平角是 ，平角的一半是直角 。小于 的角是锐角，大于 而小于 的角是钝角。

比 1 度更小的单位是分和秒，采用六十进制，和钟表上的时、分、秒一样：，。换算时，小数部分乘 60 化成下一级单位，反过来除以 60：

角的比较也有度量法和叠合法：叠合时让两个角的顶点和一条边重合，另一条边放在这条边的同一侧；哪个角的另一条边落在另一个角的内部，哪个角就较小。

从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线。 平分 ，就是

角的平分线和线段的中点是一回事的两种样子：一个把角分成相等的两半，一个把线段分成相等的两半，计算方法也完全一样。

余角和补角#

如果两个角的和等于 ，就说这两个角互为余角；如果两个角的和等于 ，就说这两个角互为补角。

这是两个角之间的数量关系，和它们的位置无关：两个角不挨着，只要度数加起来是 ，也互为余角。 的余角是 ，补角是 ，所以一个锐角的补角比它的余角大 。

由定义可以推出一条常用的性质：同角（或等角）的余角相等，同角（或等角）的补角相等。

推导很短：如果 和 都是 的余角，即 ，，那么 ，，所以 。等角的情形也一样： 是 的余角， 是另一个角 的余角，而 ，那么 。补角把 换成 即可。

这条性质是后面证明角相等的第一个工具，“对顶角相等”就是由它推出来的（见第五部分“相交线与平行线”）。

例 3　一个角的补角比它的余角的 3 倍少 ，求这个角的度数。

思路： 余角、补角都由这个角决定，设这个角为 ，它的余角、补角就都能写出来，再把“比……的 3 倍少 ”翻译成等式。

解： 设这个角是 ，则它的余角是 ，补角是 。根据题意，

去括号，得 ；移项、合并，得 ，。这个角是 。

检验： 补角 ，余角 ，，符合题意。

易错点#

• 延长直线、延长射线。 直线本来就向两方无限延伸，不能说“延长直线 ”；射线只能说“反向延长射线 ”。能延长的只有线段。
• 射线的名字写反。 射线 和射线 端点不同、方向相反，是两条不同的射线。端点的字母必须写在前面。
• 把线段当作距离。 距离是线段的长度，是一个数；“线段 是 、 两点间的距离”的说法不对，应该说“线段 的长度是 、 两点间的距离”。
• 没有图时只考虑一种位置。 题目只说“点 在直线 上”， 可能在线段 上，也可能在它的延长线上；“，”，射线 可能在 的内部，也可能在外部。要分情况画图（见第十一部分“分类讨论”）。
• 度分秒按十进制换算。 ，不是 ； 是 ，不是 。
• 以为互余的角必须挨在一起。 互余、互补只看度数的和。另外，只有锐角才有余角，钝角没有余角。
• 一个顶点处有好几个角时写 。 这时 不知道指哪个角，必须用三个字母或数字表示。

联系#

• 投影与视图： 从不同方向看立体图形，得到三视图，是立体图形和平面图形互相转化的另一种方式。见第八部分“投影与视图”。
• 与圆有关的计算： 圆柱、圆锥的侧面积，要先把侧面展开成长方形、扇形再算。见第九部分“与圆有关的计算”。
• 一元一次方程： 线段、角的计算，只要一个量不知道，就设为 ，按线段的和差、角的和差列方程。见第四部分“一元一次方程”。
• 相交线与平行线： “同角的补角相等”推出“对顶角相等”；直角引出垂直。见第五部分“相交线与平行线”。
• 三角形： “两点之间，线段最短”推出三角形的三边关系。见第五部分“三角形”。
• 有理数： 数轴上两点的距离是两数之差的绝对值，线段的计算和数轴上的计算是一回事。见第二部分“有理数”。
• 尺规作图： 作一条线段等于已知线段、作角的平分线，都是这一页的概念用圆规和直尺实现出来。见第五部分“尺规作图”。

真题： 2026 年第 2 题、2025 年第 2 题、2025 年第 4 题、2022 年第 2 题。