全等三角形 ★
对应人教版八年级上册第十四章。
能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。 全等就是形状和大小都相同，只是位置不同：把一个三角形经过平移、翻折、旋转，就能和另一个完全重合。
从哪里来#
用同一块模板描出来的两个三角形、一块玻璃摔碎前后的形状、复印出来的图形，都是“一模一样”的。数学里用“能不能完全重合”来说清“一模一样”：
重合时，互相重合的顶点叫对应顶点，互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。上图中 和 、 和 、 和 重合，记作 ，读作“ 全等于 ”。
记号里的字母顺序就是对应关系： 写在相同位置上的字母是对应顶点。写成 ，就说明 对 、 对 、 对 ，所以 对 、 对 。反过来，对应关系没弄清，就不要急着写全等式。
全等三角形的性质#
既然能完全重合，重合的部分当然相等：
- 全等三角形的对应边相等；
- 全等三角形的对应角相等。
这是全等最常用的地方：要证两条线段相等或两个角相等，先找到分别包含它们的两个三角形，证明这两个三角形全等，再用这条性质。
怎样找对应边、对应角：
- 按全等式里字母的顺序找；
- 两个三角形共用的边（公共边）、共用的角（公共角）、对顶角，一定是对应的；
- 最长边对最长边，最大角对最大角。
判定：几个条件就够了#
三角形有三条边、三个角，共 6 个量。证明全等时，不必把 6 个量都比一遍。问题变成：最少知道几个量，三角形的形状和大小就被“定死”了？
只知道 1 个或 2 个量，定不死。 比如只知道两条边分别是 3 和 4，它们的夹角可大可小，第三条边就可长可短，能画出很多个不同的三角形。
知道 3 个量，大多数情况能定死：
| 已知 | 名称 | 为什么能定死 |
|---|---|---|
| 三边分别相等 | 边边边（SSS） | 先画一条边，另两条边的长度确定了第三个顶点到两端的距离，用圆规画两段弧，交点只有一个（在同一侧）。这就是三角形的稳定性 |
| 两边和它们的夹角分别相等 | 边角边（SAS） | 夹角确定了两条边的方向，两边的长度确定了两个端点，第三条边也就确定了 |
| 两角和它们的夹边分别相等 | 角边角（ASA） | 夹边确定了两个顶点，两个角确定了从两端出发的两条射线的方向，两条射线只交于一点 |
| 两角和其中一角的对边分别相等 | 角角边（AAS） | 三角形内角和是 ，两个角相等，第三个角也相等，于是转化成 ASA |
SSS、SAS、ASA 在教材里作为基本事实，直接使用，不再证明（见第一部分“基本事实”）。AAS 是由 ASA 和三角形内角和推出来的定理。
两个反例：3 个量也可能定不死。
两边和其中一边的对角（SSA）不能判定全等。 下图中， 的长度、 的大小都固定， 的长度也固定。以 为圆心、 为半径画弧，和 的另一边可能交于两个点 和 ，得到的 和 满足同样的三个条件，却明显不全等：
三个角分别相等（AAA）也不能判定全等。 把一个三角形按比例放大，三个角都不变，边却变长了。这样的两个三角形形状相同、大小不同，叫相似三角形（见第八部分“相似”）。
直角三角形的特例：斜边、直角边（HL）。 SSA 一般不行，但如果那个已知角是直角，就可以。下图中， 是直角，直角边 和斜边 的长度固定。以 为圆心、 为半径画弧，和直线 交于 和 两点，这两点关于直线 对称，所以 和 沿 翻折能重合，仍然是全等的：
所以斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简称“斜边、直角边”或 HL。学了勾股定理后还能换个角度看：直角三角形的斜边和一条直角边确定了，另一条直角边也就确定了，于是变成 SSS（见第五部分“勾股定理”）。
怎样找全等：从结论往回想#
例 1 如图，，。求证：。
思路： 要证两个角相等，先找分别含有 和 的两个三角形。连接 ， 在 里， 在 里。再看这两个三角形已经有哪些条件：，，还差一个。 是两个三角形共用的边，于是三边都相等，用 SSS。
证明： 连接 。在 和 中，
- （已知），
- （已知），
- （公共边），
所以 （SSS），所以 （全等三角形的对应角相等）。
回顾： 这道题的想法是“要证什么相等 → 找包含它们的两个三角形 → 数一数已有几个条件 → 缺的条件去图里找”。公共边、公共角、对顶角是图里最常见的“隐藏条件”。
角的平分线#
角平分线上的点到角两边的距离相等。 这里的“距离”是点到直线的垂线段的长度。
例 2 如图， 平分 ，点 在 上， 于点 ， 于点 。求证：。
思路： 要证 ，找含有这两条线段的三角形： 和 。已有 （角平分线）、（垂直），再加上公共边 ，是“两角和其中一角的对边”，用 AAS。
证明： 因为 ，，所以 。
在 和 中，
- （已证），
- （ 平分 ），
- （公共边），
所以 （AAS），所以 。
反过来也成立：角的内部到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 已知 、、， 和 是有公共斜边 的两个直角三角形，用 HL 证出全等，就得到 。这两个命题的条件和结论正好互换，互为逆命题，而且都是真命题（见第一部分“定义、命题与定理”）。
易错点#
- 对应顶点的顺序写错。 和 意思不同。写全等式前先确认对应关系，字母要一一对齐。
- 用 SSA 判定全等。 “两边和其中一边的对角”不能判定。检查一下：已知的角是不是夹在两条已知边中间？是夹角才是 SAS。
- 用 AAA 判定全等。 三个角相等只能说明形状相同，大小可能不同。
- 漏写公共边、公共角。 它们在图上“看得见”，但在证明里也要作为一个条件写出来，并注明理由。
- HL 用在非直角三角形上。 HL 只适用于直角三角形，证明时要先说明两个三角形都是直角三角形。
- 把角平分线上的点到边上任意一点的线段当作距离。 距离必须是垂线段，所以题目里要有“垂直”，或者自己作垂线。
联系#
- 图形的变化： 全等就是一个图形经过平移、轴对称（翻折）、旋转后与另一个重合。这三种变换都不改变形状和大小。见第六部分“平移、轴对称与旋转”。
- 等腰三角形： “等边对等角”“三线合一”都要借助全等来证明。见第五部分“轴对称与等腰三角形”。
- 尺规作图： “作一个角等于已知角”“作角的平分线”的依据是 SSS。见第五部分“尺规作图”。
- 相似： 全等是相似比为 1 的相似。相似的判定和全等的判定一一对应，只是把“边相等”换成“边成比例”。见第八部分“相似”。
- 勾股定理： HL 可以看成“勾股定理 + SSS”。见第五部分“勾股定理”。
- 一次函数： 一次函数的图象是直线，理由正是一级一级台阶三角形全等（SAS）。见第七部分“一次函数”。
真题： 2026 年第 19 题、2026 年第 23 题、2025 年第 23 题、2024 年第 23 题、2023 年第 14 题。